Procesamiento estad´ıstico de se˜nales Gu´ıa 1

Procesamiento estadı́stico de señales
Guı́a 1
Gastón Schlotthauer y Roberto Leonarduzzi
2012
1. Calcule el vector de medias, la matriz de correlación y la matriz de covarianza de los datos dados por:
1
1
2
0
x(1) =
, x(2) =
, x(3) =
, x(4) =
.
1
2
0
1
Muestre que las matrices de correlación y covarianza satisfacen la relación Rx = Cx + mx mH
x .
Suponiendo que los datos son gaussianos, ¿cuál es la función de densidad de probabilidad?
2. Genere una matriz de datos con 1000 elementos de ruido gaussiano con media cero y varianza unitaria de
dimensión N = 32. Indique y justifique cuál es la matriz de autocorrelación correspondiente.
Ayuda: en Matlab utilice x=normrnd(media, varianza, filas, columnas).
3. Considere un proceso aleatorio ergódico X en el que X[n] es una variable aleatoria gaussiana con media cero y
varianza unitaria. Genere una realización de 1000 muestras.
a) Estime con los métodos dados la matriz de autocorrelación de tamaño 5 x 5. ¿Qué resultado espera?
Compare en una gráfica los elementos de la diagonal de la matriz, sus autovalores, y los valores que usted
espera.
b) Repita lo anterior pero con un vector de datos 100000 elementos.
4. Considere un proceso aleatorio WSS autorregresivo (AR) del tipo:
x[n] = a x[n − 1] + u[n].
en donde |a| < 1 y el proceso aleatorio u[n] tiene distribución gaussiana con media cero y varianza σu2 para todo
n.
a) Encuentre analı́ticamente la serie de autocorrelación.
σu2
.
Ayuda: r[0] =
1 − a2
b) Estime y grafique r[k] simulando el proceso dado con Matlab. Considere los siguientes casos:
a = 0,25,
a = 0,98,
σu2 = 1 − a2
σu2 = 1 − a2
c) Estime la matriz de autocorrelación de tamaño 5 × 5 con todos los métodos vistos. Grafique las estimaciones
y la matriz de autocorrelación teórica. Analice las diferencias entre todos los métodos.
Ayuda: Para graficar las matrices puede utilizar la función imagesc(R) en Matlab.
5. Para cada uno de los siguientes procesos estocásticos, determine si es (1) WSS o (2) ergódico en la media:
a) X(t) = A, donde A es una variable aleatoria distribuı́da uniformemente entre 0 y 1.
b) Xn = A cos ω0 n, donde A es una variable aleatoria gaussiana con media 0 y varianza 1.
c) Un proceso Bernoulli con P[Xn = 1] = p y P[Xn = −1] = 1 − p
Ayuda: recuerde que puede calcular la varianza de una variable aleatoria en forma sencilla mediante la relación
var[X] = E[X 2 ] − E2 [X].
6. Considere un vector aleatorio normal x con componentes mutuamente descorrelacionadas, es decir, ρi,j = 0, i 6=
j. Demuestre que (a) la matriz de covarianza Γx es diagonal y (b) las componentes de x son mutuamente
independientes.
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