+ P( B) : P(A|B)

(16)
Si A, B ∈ F y A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B).
Prueba
Como A y B \ A son disjuntos, P(B) = P(A) + P(B \ A) ≥ P(A).
!
Suele ser útil dibujar diagramas de Venn al trabajar con probabilidades. Por
ejemplo, para ilustrar la igualdad (15) podemos dibujar el de la Figura 1.1 y
observar que la probabilidad de A ∪ B es P(A) + P(B) − P(A ∩ B) porque esta
última se cuenta dos veces en la suma P(A) + P(B).
PROBABILIDAD BASICA
P(A ∪ B) + P(A ∩ B) = P(A) + P(B) :
y+!y
y
A
B
x x+!x
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) ;
Fig. 1.1 Diagrama de Venn que ilustra la igualdad P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
si los Ai son una partición de Ω ,
!
1 i de la suma P(B) =
P(Ai ∩ B) es el sumando
i P(B|Ai )P(Ai ) :
F (x)
X
B
p(0)+p(1)+p(2)
DISTRIBUCIONES
DE PROBABILIDAD (una variable)
p(0)+p(1)
p(0)
nombre
Binomial(n, p)
0
1
2
A1
función de masa (o densidad)
x
" # k
3
4 = n
5 p (1 − p)n−k
p(k)
k
p(k) = exp(−λ) λ /k!
Poisson(λ)
k
Geométrica(p)
. . . pero la que cuenta sólo los
j = k − 1 “fracasos hasta 1er éxito”,
p(k) = p(1 − p)k−1
A2
A4
A3
media
varianza
np
np(1 − p)
λ
λ
1/p
(1 − p)/p2
(1/p) − 1
Uniforme(0,1)
p(j) = p(1 − p)j
"k−1# n
p(k) = n−1
p (1 − p)k−n
"j+n−1# n
p(j) = n−1 p (1 − p)j
f (x) = 1 , para 0 < x < 1
1/2
1/12
Exponencial(c)
f (x) = c e−cx , para x > 0
1/c
1/c2
w/c
w/c2
n
2n
0
1
µ
σ2
Binomial Negativa(n, p)
. . . y la que cuenta sólo los
j = k − n “fracasos hasta el éxito n”,
f (x) =
Gamma(w, c)
y la Gamma( n2 , 12 ) es la
χ2n
:
Normal(0,1)
Normal(µ, σ) . . . o Normal(µ, σ 2 ) :
1
w w−1 −cx
e
Γ(w) c x
, para x > 0
√
f (z) = exp(−z 2 /2) / 2π
X = σZ + µ , con Z ∼ Normal(0,1)
A5
n(1 − p)/p2
n/p
(n/p) − n
La variable Y = eX = abZ , con a = eµ , b = eσ se llama entonces LogNormal; tiene E(Y ) = aeσ
2
/2
.
DEFINICIONES CLAVE
Función de distribución:
FX (x) = P(X ≤ x) , para una X : Ω → R,
FX (x1 , . . . , xn ) = P(Xi ≤ xi , i = 1, . . . , n) , para una X = (X1 , . . . , Xn ) : Ω → Rn ,
y la función de densidad es, en cada punto x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
∂n
fX (x) =
FX (x)
∂x1 · · · ∂xn
Varianza, covarianza y correlación:
"
" #
#
2
σX
= var(X) = E |X − µX |2 = E X 2 − µ2X
cov(X, Y )
Coeficiente de correlación: ρX,Y =
σX σY
cov(X, Y ) = E ((X − µX )(Y − µY )) = E (XY ) − µX µY
σY
La recta de regresión de Y sobre X pasa por el punto de las medias y tiene pendiente = ρX,Y
σX
VARIABLES PIVOTE (para intervalos de confianza o contrastes de hipótesis)
Notación usada y otros detalles generales: En cada caso,
• µ, σ 2 designan a la media y varianza de ‘la población’: la v.a. X cuyos valores muestreamos,
• x̄, s2 a la media y cuasi-varianza de la muestra, n al tamaño de ésta;
• cuando hay dos muestras, sus tamaños son m, n y los subı́ndices A, B distinguen los estadı́sticos de
ambas y los parámetros de las dos variables ‘observadas’.
• En el caso de un IC con “desconfianza” (significance level) = α , los cuantiles de la variable pivote que
correspondan al α elegido, producen, al despejar el parámetro, los extremos del intervalo buscado.
• En el caso de un contraste de hipótesis, el parámetro viene dado por H0 , el nivel de significación
decide qué cuantiles usar, y al despejar el estadı́stico resulta la frontera de la región de rechazo.
Se fije o no a priori una región de rechazo, el p-valor que sale de los datos es la P, si H0 fuese cierta,
de que la variable pivote Y se aleje de lo esperado tanto o más que el valor que producen los datos.
x̄ − µ
T = $
∼
s 1/n
Media:
%
td , con d = n − 1 si la X no difiere mucho de una Normal,
≈ N (0, 1) ,
si n es grande;
√
2
si se conoce σ, se usa en el lugar de s . Si la X es Poisson(λ) , x̄ estima
λ
=
σ
y
podemos
usar
σ
=
x̄
X
X
√
en lugar de s ; en el caso de un contraste de hipótesis, el valor σX = λ0 dado por la hipótesis H0 .
2
2
Diferencia de dos medias: En %
los mismos dos casos de antes, y si podemos suponer que σA
= σB
,
2
td , con d = m + n − 2
(x̄A − x̄B ) − (µA − µB )
(m − 1) sA + (n − 1) s2B
$
T =
.
∼
y con sp 2 =
m+n−2
que es ≈ N (0, 1) si d grande,
sp 1/m + 1/n
Proporción, o la diferencia de dos de ellas: Ahora x̄ es la proporción muestral, y x̄(1 − x̄) estima σ 2
Z=$
x̄ − p
x̄(1 − x̄)/n
≈ N (0, 1),
Z=$
(x̄A − x̄B ) − (pA − pB )
x̄A (1 − x̄A )/m + x̄B (1 − x̄B )/n
√
≈ N (n, 2n) si n es grande.
(n − 1) s2
∼ χ2n−1
σ2
%
n (f − e )2
!
fi son frecuencias observadas,
i
i
2
S=
∼ χd , donde
e
ei las frecuencias esperadas,
i
i=1
Varianza:
S=
≈ N (0, 1) .


n − 1 ,
d= n−1−r ,


(n − 1)(m − 1) ,
según los casos: si se estiman r parámetros, o en los otros dos casos vistos (tabla n × m).
Pearson:
LR: Para estimar Y − (α + βX) ∼ N (0, σ) , o contrastar la H0 : β = 0 , usando n datos (xi , yi ) :

!
!
sy
2

β̂ = b = (yi − ȳ)(xi − x̄)/ (xi − x̄) = r s ,
*
√

x

sx n − 1
n−2
α̂ = a = ȳ − b x̄ ; es decir, ȳ = α̂ + β̂ x̄ ,
Si β = 0 , T = b
=
r ∼ tn−2 .

sR
1 − r2

"
#
"
n
−
1
n
−
1

σ̂ 2 = s2 =
s2 − b2 s2x =
1 − r2 ) s2y .
R
n−2 y
n−2
mini-TABLAS de: Normal(0,1) ,
y para S ∼ χ2n , del cocienteNormal(0,1)
S/n (que esP∼=Exp
p 1 si n = 2)
Dan: • el valor (en %) de P(Z > z) para z ≥ 0 dado, si Z ∼ Normal(0,1);
z
• para p dado, el valor de t que cumple P(T > t) = p , si T ∼ Student tn ;
• para p dado, los valores r0 , r1 que cumplen P(S/n < r0 ) = p = P(S/n > r1 ) , si S ∼ χ2n .
Student tn ,
S ! Chi2n
P=pP=p
Student
t
Student
t
n
Normal(0,1)
Normal(0,1)
P=p P=p
z
z
z=
0.
1.
t
2.
2
S2 ! Chi
50.0
15.9
2.30
.00 S ! Chi
n
n
48.0 14.7 2.00
.05
.10
46.0 13.6
1.80
P=p P=p
P=p P=p
.15
44.0
12.5
1.60
nr
nr
nr0
nr1
1
1.40
.20 0 42.1 11.5
40.1 10.6 1.20
.25
38.2 9.68 1.10
.30
36.3 8.85 0.94
.35
.40
34.5 8.08 0.82
32.6 7.35 0.71
.45
30.9 6.68 0.62
.50
29.1 6.06 0.54
.55
27.4 5.48 0.47
.60
25.8 4.95 0.40
.65
24.2 4.46 0.35
.70
22.7 4.01 0.30
.75
21.2 3.59 0.26
.80
19.8 3.22 0.22
.85
18.4 2.87 0.19
.90
.95
17.1 2.56 0.16
Para z mayores que 3 , . . .
P(Z > z) ≈ 40% · e−z
Con R:
2
/2
/z
100*(1-pnorm(z)) ,
P=p
n
p=
n
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
18
20
30
40
50
60
120
600
5%
2.5%
1%
0.5%
2.35
2.13
2.02
1.94
1.89
1.86
1.83
1.81
1.80
1.78
1.77
1.76
1.75
1.75
1.73
1.72
1.70
1.68
1.68
1.67
1.66
1.65
3.18
2.78
2.57
2.45
2.36
2.31
2.26
2.23
2.20
2.18
2.16
2.14
2.13
2.12
2.10
2.09
2.04
2.02
2.01
2.00
1.98
1.96
4.54
3.75
3.36
3.14
3.00
2.90
2.82
2.76
2.72
2.68
2.65
2.62
2.60
2.58
2.55
2.53
2.46
2.42
2.40
2.39
2.36
2.33
5.84
4.60
4.03
3.71
3.50
3.36
3.25
3.17
3.11
3.05
3.01
2.98
2.95
2.92
2.88
2.85
2.75
2.70
2.68
2.66
2.62
2.58
∞ 1.65
nr0
t
1.96 2.33 2.58
qt(1-p,n) ,
1%
P=p
nr1
2.5%
r0
=p=
n
1
0.01 0.025
2
0.04 0.07
3
0.07 0.12
4
0.11 0.17
5
0.15 0.21
6
0.18 0.24
7
0.21 0.27
8
0.23 0.30
9
0.26 0.32
10
0.28 0.35
11
0.30 0.37
12
0.32 0.39
13
0.33 0.40
14
0.35 0.42
15
0.36 0.43
16
0.39 0.46
18
0.41 0.48
20
0.50 0.56
30
0.55 0.61
40
0.59 0.65
50
0.70 0.74
100
0.97 0.97
104
qchisq(p,n)/n ,
5%
2.5% 1%
r1
3.84 5.02 6.63
3.00 3.69 4.61
2.60 3.12 3.78
2.37 2.79 3.32
2.21 2.57 3.02
2.10 2.41 2.80
2.01 2.29 2.64
1.94 2.19 2.51
1.88 2.11 2.41
1.83 2.05 2.32
1.79 1.99 2.25
1.75 1.94 2.18
1.72 1.90 2.13
1.69 1.87 2.08
1.67 1.83 2.04
1.64 1.80 2.00
1.60 1.75 1.93
1.57 1.71 1.88
1.46 1.57 1.70
1.39 1.48 1.59
1.35 1.43 1.52
1.24 1.30 1.36
1.02 1.03 1.03
qchisq(1-p,n)/n