Problemas adicionales

VARIABLES ALEATORIAS - EJERCICIOS
1. Si X es una v.a. y f ( x) = kx(1 − x) , 0 ≤ x ≤ 1 ¿qué valor debe tomar k para que f (x ) sea
función de densidad de X ? ¿Cuál será FX ?
2. El tiempo de transmisión X de mensajes en un sistema de comunicación obedece una
ley de probabilidad exponencial del tipo: P( X > x) = e − λx , x > 0 , (siendo λ un
parámetro). Calcular la FX y la probabilidad de que el tiempo de transmisión de un
mensaje oscile entre 1 y 2 . Calcular también f x .
λ
λ
3. Se ha comprobado que la amplitud de las ondas de voz se deterioran
exponencialmente a razón de α de la siguiente manera:
f ( x) = ce
−α x
, x∈ℜ
¿Cuál es entonces la probabilidad de encontrar una amplitud por debajo del valor y ?
4. Sea Y la v. Aleatoria que representa la amplitud de una onda sinusoidal con fase
aleatoria ϑ :
Y = a ⋅ cos( wt + ϑ ) , con a, w, t constantes.
Calcular el valor esperado de Y y el de su potencia Y 2 , considerando que ϑ puede
tomar cualquier valor entre (0,2π ) con la misma probabilidad.
5. Una variable aleatoria cuenta el número de lanzamientos de una moneda hasta
obtener cruz. ¿Cuántos lanzamientos se esperan realizar?
6. Suponga que en una determinada comarca, el nº de hijos por familia puede
representarse mediante una v.a. con la siguiente función de probabilidad:
0.5 ⋅ k

p( x) = 1.5 ⋅ k
 k

x = 0,1
x = 2,3
x = 4,5
a) Hallar el valor de k para que p ( x) sea una función de probabilidad.
b) Hallar la media y la varianza
c) Si se escoge al azar una familia de esta comarca ¿cuál es la probabilidad de que
tenga por lo menos un hijo, si se sabe que tiene menos de dos?
d) Si mensualmente cada familia incurre en un gasto de 150 € por cada hijo y tiene
un gasto fijo de 900 € mensuales, hallar el coste mensual esperado y su varianza.
7. Se lanzan dos dados. Sea X la v.a. que representa el mayor entre los dos números
obtenidos. Calcular la media, la varianza y la probabilidad de que se obtenga menos de
5 puntos.
8. La siguiente función de densidad representa la distribución de los tiempos de
atención de un cliente en la ventanilla de un banco:
0 ≤ x <1
 x,
f ( x) = 
 2 − x, 1 ≤ x < 2
Hallar el tiempo medio y su varianza. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de
atención a un nuevo cliente esté entre tres cuartos de hora y una hora y cuarto?
x
, 0 ≤ x ≤ 2 . Calcular la media, la varianza, el
2
coeficiente de asimetría y el de curtosis.
9. Sea X una v.a. con f ( x) = 1 −
10. La demanda mensual de un artículo de consumo es una v.a. cuya:
3
f ( x) = (4 x − 2 x 2 ) ,
8
0≤ x≤2
( x en millones de unidades)
¿Cuál es la demanda mensual media? ¿Qué cantidad ha de estar disponible al principio de
cada mes para poder satisfacer plenamente la demanda de dicho mes la mitad de las
veces?
11. Sea X una v.a. con función de densidad f ( x) = 1 − x , x ≤ 1 . Representarla. Calcular
FX y representarla. Calcular la media, varianza, coeficiente de asimetría y curtosis.
12. Los datos de la tabla son referentes a las cuotas anuales (en miles de pesetas) de 40
Compañías de Seguros para un mismo precio base del seguro de un automóvil (seguro a
terceros para un Audi A4). Los datos se encuentran ordenados.
82
92
99
105
85
93
99
105
86
94
100
106
87
95
100
107
87
95
101
107
89
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101
107
89
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103
109
90
95
103
110
91
97
103
110
91
98
104
111
Resolver agrupando en clases los datos procedentes de las compañías de seguros.
Comparar los resultados al hacerlo sin agrupar.
13. En el laboratorio de Física se ha medido el voltaje que se produce cuando se hace
guiar una dínamo. Las medidas en voltios han sido las siguientes:
12,05
12,24
12,10
12,01
12,19
12,09
12,54
12,20
12,11
11,98
12,55
12,01
12,12
12,20
12,40
12,13
12,20
12,10
12,54
11,97
Calcular media, varianza y cuartiles con los datos agrupados y no agrupados.
14. Sea X una v.a. con función de densidad f ( x) = kx − 1 , 2 < x < 4 . Sea Y = 3 X + 2 .
Calcular su f Y y FY y representarlas.
15. Sea X una v.a. con función de densidad f ( x) = xe − x , x > 0 . Hallar la función de
distribución y el valor medio de Y = e − x .
16. Sea X una v.a. con FX ( x) = 1 − e − x , x > 0 . ¿Cuál es la función de densidad de la v.a.
Y = Ln( x + 1) ?.
2
17. La resistencia de un tornillo en gr/mm2 es una v.a. que puede ser representada por:
f ( x) = 1 −
x
,
2
0≤ x≤2
¿Cuál es la resistencia esperada? Si un tornillo se considera defectuoso cuando su
resistencia es menor que 0,5 gr/mm2 y los tornillos que salen de la fabricación se van
colocando en cajas de 10 unidades, ¿cuál es la probabilidad de que una caja tomada al
azar tenga como mucho un tornillo defectuoso?
18. El tiempo medio de respuesta de un ordenador de un determinado tipo y su
desviación típica son de 15 segs. y 3 segs. Respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de
que el tiempo de respuesta esté entre 10 y 20 segundos?
19. ¿Cuántas veces habrá que lanzar un dado para que la probabilidad de que la
frecuencia relativa de aparición del resultado “6” difiera en más de 0,01 de la
probabilidad teórica 1/6, sea menor que el 5%?
20. ¿Qué probabilidad tiene de ganar un individuo que apuesta a que el número de caras
en 100 tiradas consecutivas de una moneda equilibrada difiera de 50 al menos en 15?
r
r
Nota: ∑   = 2 r
i =0  i 
21. La experiencia a lo largo de los 2 últimos años indica que el tiempo semanal de
subcontratación de un servicio informático por parte de una determinada empresa tiene
el siguiente comportamiento:
f ( x) =
3 2
x (4 − x) ,
64
0≤ x≤4
(en horas)
¿Cuánto tiempo de alquiler de servicios informáticos se debe presupuestar por semana
para no retrasar esta partida más del 10% de las veces? Resolverlo de manera exacta y
aproximada si: µ = 2,44 y σ x = 0,84 .
22. La duración media de una resistencia es de 1000 horas con una desviación típica de
100 horas. Se compran 3 resistencias que se utilizan de manera consecutiva en el mismo
aparato, ¿cuál es la probabilidad de que el aparato haya durado al menos 3900 horas?