Unidad IV Derivadas

Unidad IV Derivadas
A continuación se presenta el método con el cual se obtuvieron las derivadas de la
mayoría de las funciones, por cuestiones prácticas únicamente se presentaran las mas
sencillas, sin embargo es importante dominar el uso del teorema fundamental del
cálculo.
Fórmula o. 1 La derivada de una constante f ( x) = c
f ' ( x) = lim
∆x →0
f ( x + ∆x) − f ( x) c − c
=
=0
∆x
∆x
Fórmula 1
d
(c ) = 0
dx
Regla. La derivada de una constante siempre es igual a cero.
Ejemplos. La derivada de:
1.- f ( x) = 5
f ' ( x) = 0
2.- y = 1
y '= 0
Fórmula o. 2 La derivada de una variable por si misma f ( x) = x
f ' ( x ) = lim
∆x →0
f ( x + ∆x) − f ( x) ( x + ∆x) − x x/ + ∆x − x/ ∆x
=
=
=
=1
∆x
∆x
∆x
∆x
Fórmula 2
d
( x) = 1
dx
Regla. La derivada de una variable por si misma siempre es igual a 1
Ejemplos. La derivada de:
1.- f ( x) = x
f ' ( x) = 1
2.- y = x
y '= 1
Fórmula o. 3 La derivada de una suma algebraica f ( x) = u ± v ± w
f ( x + ∆x) − f ( x) [(u + ∆u ) + (v + ∆v) + ( w + ∆w)] − (u + v + w)
=
∆x →0
∆x
∆x
f ' ( x) =
u + ∆u + v/ + ∆v + w/ + ∆w − u/ − v/ − w
/ = ∆u + ∆v + ∆w = ∆u ± ∆v ± ∆w
= /
∆x
∆x
∆x ∆x ∆x
lim
Fórmula 3
d
d
d
d
(u ± v ± w) = u ± v ± w
dx
dx
dx
dx
Regla. La derivada de una suma algebraica es igual a la derivada de cada uno de sus
términos.
Ejemplos. La derivada de:
1.- f ( x ) = x 3 + x 2 − x
f ´(x) = 3 x 2 + 2 x − 1
Fórmula o. 4 La derivada de una constante por una función f ( x) = C ⋅U
f ' ( x) = lim
∆x → 0
f ( x + ∆x) − f ( x) C (U + ∆U ) − CU (C/ U ) + C∆U − (C/ U ) C∆U
=
=
=
∆x
∆x
∆x
∆x
Fórmula 4
d
d
(C ⋅U ) = C U
dx
dx
Regla. La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la
derivada de la función.
Ejemplos. La derivada de:
1.- f ( x) = 5 x 2
d
f ´(x) = 5 ⋅ x 2
dx
f ´(x ) = (5)(2 x) = 10 x
2.- y = 5( x − 1)
d
y´= 5 ⋅ ( x − 1)
dx
y´= (5)(1)
y´= 5
Fórmula o. 5 La derivada del producto de dos funciones f ( x) = U ⋅V
f ( x + ∆x) − f ( x) (U + ∆U )(V + ∆V ) − UV (U/ V ) + U∆V + V∆U + ∆U∆V − (U/ V )
=
=
∆x
∆x
∆x
U
∆
V
V
∆
U
∆
U
∆
V
f ' ( x) =
+
+
U∆V + V∆U + ∆U∆V
∆
x
∆
x
∆x = U∆V + V∆U + ∆U∆V
=
=
∆
x
∆x
∆x
∆x
∆x
∆x
lim
∆x →0
Fórmula 5
d
d
d
(U ⋅V ) = U V + V U
dx
dx
dx
Regla. La derivada del producto de dos funciones es igual a U por la derivada de V más
V por la derivada de U.
Ejemplos. La derivada de:
1.- f ( x) = ( x + 1)( x − 2)
Donde: U=(x+1) y V=(x-2)
2.- y = x( x − 1)
Donde: U=x y V=(x-1)
Fórmula o. 6 La derivada de una división de dos funciones f ( x) =
U
V
(U + ∆U ) U V (U + ∆U ) − U (V + ∆V )
−
f ( x + ∆x) − f ( x ) (V + ∆V ) V
V ⋅ (V + ∆V )
lim
=
=
∆x →0
∆x
∆x
∆x
f ' ( x) = V/ U + V∆U − U/ V − U∆V V∆U − U∆V
V∆U U∆V
−
2
2
V
∆
U
−
U
∆
V
V
+
V
∆
V
V
+
V
∆
V
∆
x
∆x
=
=
= 2
=
∆x
∆x
V ∆x + V∆V∆x V 2 ∆x V∆V∆x
+
1
∆x
∆x
V∆U U∆V
−
∆
x
∆x
=
V2
Fórmula 6
d
d
V U −U V
d U 
dx
  = dx
dx  V 
V2
Regla. La derivada de la división de dos funciones es igual a V por la derivada de U
menos U por la derivada de V, todo entre V2.
Ejemplos. La derivada de:
( x + 1)
( x − 2)
Donde: U=(x+1) y V=(x-2)
1.- f ( x) =
x
( x − 1)
Donde: U=x y V=(x-1)
2.- y =