solución al sistema general de ecuaciones de euler para un fluido

Ciencia e Ingeniería Neogranadina, Vol. 21-1, pp, 115-124, Bogotá, Junio de 2011, ISSN 0124-8170
SOLUCIÓN AL SISTEMA GENERAL DE ECUACIONES DE EULER PARA UN
FLUIDO COMPRESIBLE
$62/87,2172$*(1(5$/6<67(02)(8/(5(48$7,216
)25$&2035(66,%/()/8,'
Adrian Ricardo Gómez Plata
'RFHQWHHQHO'epartamento de Matemáticas, 8QLYHUVLGDG0LOLWDU1XHYD*UDQDGD
[email protected]
Fecha de recepción: de HQHURGH
Fecha de aprobación: 11 GHPD\RGH
RESUMEN
(QHVWHDUWtFXORVHSUHVHQWDOD H[LVWHQFLD de soluciones viscosas al sistema general
GH (XOHU VLQ IXHQWH SDUD XQ IOXLGR comprensible. (O PpWRGR TXH VH XVy para
solucionar el sistema, no es el de las regiones invariantes que se encuentra en la
OLWHUDWXUD (Q SDUDOHOR, encontraremos las soluciones viscosas globales suaves del
sistema, usando el principio deOPi[LPR.
Palabras clave: lH\HV GH FRQVHUYDFLyQ KLSHUEyOLFD,
principio del Pi[LPR,
HVWLPDFLRQHVDSULRULHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUDEyOLFDV problema de CDXFK\.
ABSTRACT
7KLV SDSHU UHYHDOV WKH H[LVWHQFH RI VROXWLRQV WR D JHQHUDO (XOHU V\VWHP ZLWKRXW
VRXUFH IRU D FRPSUHVVLEOH IOXLG 7KH PHWKRG XVHG WR VROYH WKH V\VWHP LV QRW WKH
FRPPRQ LQYDULDQW UHJLRQV IRXQG LQ OLWHUDWXUH ,Q SDUDOOHO ZH ZLOO ILQG WKH VPRRWK
JOREDOYLVFRXVVROXWLRQVRIWKHV\VWHPXVLQJWKHPD[LPXPSULQFLSOH
Key words: K\SHUEROLF FRQVHUYDWLRQV ODZV PD[LPXP SULQFLSOH D SULRUL HVWLPDWH
CDXFK\ problems.
INTRODUCCIÓN
8Q IOXLGR compresible es aquel en donde H[LVWHQ YDULDFLRQHV GH GHnsidad
VLJQLILFDWLYDV SURGXFLGDV SRU FDPELRV GH WHPSHUDWXUD SUHVLyQ o por grandes
velocidades.
115
62/8&,Ï1$/6,67(0$*(1(5$/'((&8$&,21(6'((8/(53$5$81)/8,'2&2035(6,%/(
/D HFXDFLyQ GH (XOHU SDUD XQ IOXLGR FRPSUHVLEOH en coordenadas eulerianas, se
SXHGHHVFULELUHQODVLJXLHQWHIRUPDFRQVHUYDWLYD como:
Ut div( U v) 0
( U v)t div( U v … v) ’p 0
Et div(v( E p )) 0
'RQGHODHQHUJtDWRWDOHVWi dada por:
E
v2
2
e
U ( x, t ) es la densidad, v es el campo de velocidades, e HVODHQHUJtDLQWHUQD p
HVODSUHVLyQ termodinámica \ … UHSUHVHQWDHOSURGXFWRGH.URQHFNHUentre U v \
v.
Las ecuaciones representan en su OHFWXUD GH DUULED KDFLD DEDMR la OH\ GH
FRQVHUYDFLyQ GH PDVD OD OH\ GH FRQVHUYDFLyQ GH PRPHQWR OLQHDO \ OD OH\ GH
FRQVHUYDFLyQ GH HQHUJtD WRWDO (VWH VLVWHPD FRPSOHPHQWD XQD HFXDFLyQ GH HVWDGR
SDUDHOIOXLGRGHODIRUPD
p
g ( U , e)
que GHWHUPLQD OD SUHVLyQ HQ WpUPLQRV GH ODV GHQVLGDGHV GH PDVD \ GH HQHUJtD
interna. /D IRUPD GH OD IXQFLyQ g se establece mediante observaciones
H[SHULPHQWDOHV\GHEHVHUFRQVLVWHQWHFRQODVOH\HVGHODWHUPRGLQiPLFD según [1].
(V SRVLEOH HVWXGLDU HO VLVWHPD GH HFXDFLRQHV GH (XOHU HQ XQD GLPHQVLyQ HVSDFLDO,
FRPR FDVR SDUWLFXODU GHO VLVWHPD \ TXH PRGHOD SRU HMHPSOR: la dinámica de un
JDVTXHIOX\HDWUDYpVGHXQWXER\GRQGHODGHQVLGDGODYHORFLGDG\ODHQHUJtDVRQ
constantes a lo largo de sHFFLRQHV WUDQVYHUVDOHV GHO WXER este IHQyPHQR HV
claramente unidimensional.
(V LPSRUWDQWH GHFLU TXH KD\ VXILFLHQWHV HVWXGLRV GHVGH HO DQiOLVLV QXPpULFR SDUD
este tipo de sistemas, \D TXH OD GHPRVWUDFLyQ GH VROXFLRQHV H[SOLFLWDV HV casi
LPSRVLEOH SRU PpWRGRV FOiVLFRV 3RU HMHPSOR: SDUD HO VLVWHPD GH (FXDFLRQHV GH
(XOHUXQLGLPHQVLRQDOYpDVH>], SDUDODVHFXDFLRQHVGH(XOHUHQ'YpDVH[3] o para
HFXDFLRQHVGH(XOHUGHIRUPDJHQHUDO, Ypase [4], RXQDDSOLFDFLyQDODHFRQRPtDFRQ
PpWRGRVQXPpULFRV, se puede ver en [5].
(QHVWHDUWtFXOR, VHSUHVHQWDODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVYLVFRVDVDOVLVWHPDGHIOXMR
GHIOXLGRFRPSUHQVLEOHHQIRUPDJHQHUDO\TXHPDQWLHQHODVOH\HVGHFRQVHUYDFLyQ
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81,9(56,'$'0,/,7$518(9$*5$1$'$
GHPDVD\GHPRPHQWROLQHDOGHOVLVWHPD 3DUDtal ILQ se estudia el sistema de
HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUciales dado por:
­
§1 2
·
°ut ¨ u f (v) ¸ 0
©2
¹x
®
°v (uv g (v)) 0
x
¯ t
(2)
Con condiciones acotadas medibles en la norma Lf dadas por
(u ( x, 0), v( x, 0)) (u0 ( x), v0 ( x))
)tVLFDPHQWH, se puede entender este sistema como el modelo para la dinámica de
XQ IOXLGR FRPSUHVLEOH QR YLVFRVR TXH QR FRQGXFH FDORU \ FX\DV HFXDFLRQHV VH
pueden interpretar como lDFRQVHUYDFLyQGHODPDVD:
vt (uv g (v)) x
0
'onde la densidad por unidad de KLSHUYROXPHQ GH OD PDVD GHO IOXLGR VH SXHGH
representar por v \ODYHORFLGDGGHOIOXLGRHV representada por u . LDFRQVHUYDFLyQ
del momento lineal total, se puede entender como:
§1
·
ut ¨ u 2 f (v) ¸
©2
¹x
0
8QFDVRSDUWLFXODUGHOVLVWHPDGRVHVHOFRQRFLGRVLVWHPDGHHFXDFLRnes dinámico
SDUDXQJDVSROLWUypico como se puede encontrar en >@\>].
/DPHWRGRORJtD que se usa en este DUWtFXOR, se IXQGDPHQWa HQXQPpWRGRque H[Lste
HQODWHRUtD GHOH\HVGHFRQVHUYDFLyQKLSHUEyOLFDFRQVLVWHQWHHQTXH para encontrar
DSUR[LPDFLRQHV GH VROXFLRQHV YLVFRVDV GH XQ VLVWHPD KLSHUEyOLFR, se perturba en
FLHUWDIRUPDGLFKRVLVWHPD\VHFRQYLHUWHHQSDUDEyOLFRSDUDDSOLFDUHOPpWRGRGHODs
regiones invariantes o el SULQFLSLRGHOPi[LPR. 8QDOH\GHFRQVHUYDFLyQKLSHUEyOLFD
HVXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVTXDVLOLQHDOGHODIRUPD
ut G (u ) x
'onde:
u
0, con ( x, t )  R u > 0, f (u1 ,..., un )T  R n , n t 1 , HVXQDIXQFLyQYHFWRULDOGHVFRQRFLGD que modela
XQDFDQWLGDGItVLFD\ G ( f (u1 ),..., f (un ))T HVXQYHFWRUGDGRTXHGHQRWDXQWpUPLQRGH
FRQVHUYDFLyQDVRFLDGRJHQHUDOPHQWHDGLFKDFDQWLGDGItVLFD
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62/8&,Ï1$/6,67(0$*(1(5$/'((&8$&,21(6'((8/(53$5$81)/8,'2&2035(6,%/(
Se sabe que una SHUWXUEDFLyQ al anterior sistema para convertirlo en un sistema
KLSHUEyOLFR según >], VHSXHGHUHDOL]DUGHODVLJXLHQWHIRUPD
ut G (u ) x
H u xx con H ! 0
4XHHVXQVLVWHPDGHHFXDFLRQHVSDUDEyOLFDVVHPLOLQHDOHV\GRQGHODVVROXFLRQHVDO
VLVWHPD GH &DXFK\ D HVWH VLVWHPD, es lo que comúnmente se llaman soluciones
viscosas.
$ILQDOHVGHO siglo pasado, se descubrieron ORVPpWRGRV de compacidad compensada
\GHHQWURStD que permiten HVWDEOHFHUODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVGpELOHVDHVWHWLSR
de sistemas GH OH\HV GH FRQVHUYDFLyQ KLSHUEyOLFD FRPR VH SXHGH ver [8] [9] >@ \
[11]. *UDQ SDUWH GH ORV PiV UHFLHQWHV GHVDUUROORV GH QXHYRV PpWRGRV ORV KDQ
aportado investigadores en matemáticDVGH&KLQD\VRQHOORVTXLHQHQHl momento
VH KDQ DGHODQWDGR SDUD HVWDEOHFHU WpFQLFDV TXH SHUPLWHQ JHQHUDOL]DU VLVWHPDV GH
OH\HVGHFRQVHUYDFLyQ\DH[LVWHQWHV
1. PRINCIPIO DEL MÁXIMO-LEYES DE CONSERVACIÓN HIPERBÓLICA
(YDQV HQ [6], KDFH XQD FODUD LQWURGXFFLyQ D ODV HFXDFLRQHV SDUDEyOLFDV
RSHUDGRUHVSDUDEyOLFRV\DOSULQFLSLRGHOPi[LPRGpELO\IXHUWHHQSDUWLFXODU0XUUD\
\ RWUR HQ [] HVWXGLD HO SULQFLSLR GHO Pi[LPR SDUD HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV
RUGLQDULDV \ SDVD DO SULQFLSLR GHO Pi[LPR SDUD HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV
SDUDEyOLFDV(QHVSHFLDO/DQGLV[13] KDFHXQDSURIXQGD\HOHJDQWHSUHVHQWDFLyQGH
este tipo de ecuaciones.
Lu [], KDFH XQD EUHYH \ SUHFLVD LQWURGXFFLyQ D ORV VLVWHPDV GH OH\HV GH
FRQVHUYDFLyQ\GHILQHORVLQYDULDQWHVGH5LHPDQQ
2. CALCULO DE ESTIMACIONES A PRIORI
Se puede garantizar ODH[LVWHQFLDGHVRluciones viscosas locales suaves en Lf , \
para WDOILQver HOWHRUHPDHQ Lu [] \HQHOFDStWXOR , usa HOPpWRGRGHODV
regiones invariantes para JDUDQWL]DUODH[LVWHQFLDGHVROXFLRQHVGHOVLVWHPD con las
FRQGLFLRQHVDFRWDGDVPHGLEOHVHQXQFLDGDVHQ
­
§1 2
·
°ut ¨ u f (v) ¸ H u xx
©2
¹x
®
°v (uv g (v)) H v
x
xx
¯ t
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81,9(56,'$'0,/,7$518(9$*5$1$'$
Estimaciones a priori, usando el principio de máximo. Se estima cotas para las
VROXFLRQHVGHpor lo tanto, convertiremos el problema de encontrar la VROXFLyQ de
, HQHOSUREOHPDGHHQFRQWUDUODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQSDUDEyOLFD asociado al
problema KLSHUEyOLFR SODQWHDGRSDUD(VWDIRUPDGHDWDFDUHOSUREOHPDes lo que
se conoce como encontrar soluciones viscosas a un sistema de ecuaciones
GLIHUHQFLDOHV TXH SDUD HVWH FDVR HQ HVSHFLDO, usará el principio del Pi[LPR para
ecuaciones SDUDEyOLFDV. Considerando HOVLVWHPD con las condiciones acotadas
medibles HQXQFLDGDVHQ\VXSRQLHQGRSDUD f , g que:
A.
f , g  C 3 > 0, f y f1
C
f'
v
2
>0, f , g1
C
g'
v
2
>0, f SDWLVIDFH f1 t d , con d  R , \
2 f1' g1' ( s1 g1 ) t 0, para v t 0
2 f1' g1' ( s1 g1 ) t 0, para v t 0
'onde: s1
g12 4 f1 .
B. u0 y v0 DFRWDGDV\PHGLEOHV v0 t 0 .
([LVWHQ IXQFLRQHV TXH FXPSOHQ ODV FRQGLFLRQHV en $, por ejemplo: si se toma
f1 (v md )l , g1 k (v e) m donde k , d , l , e, m VRQFRQVWDQWHVSRVLWLYDV\ e ! d \ l ! m
VHSXHGHYHULILFDUTXH f1 , g1 VDWLVIDFHQGLFKDVFRQGLFLRQHV
(O VLJXLHQWH WHRUHPDHVWDEOHFH OD H[LVWHQFLD GH VROXFLRQHV JOREDOHV VXDYHV SDUD HO
VLVWHPD
Teorema 1. 3DUDXQ H ! 0 , HOSUREOHPDGH&DXFK\ FRQODVFRQGLFLRQHVGH\
suponiendo que FXPSOHODVFRQGLFLRQHVGH$\%WLHQHVROXFLyQ~QLFDJOREDOVXDYH
(u H ( x, t ), vH ( x, t )) TXHVDWLVIDFH:
u H ( x, t ) d M , 0 d v H ( x, t ) d M
'onde M es una constante positiva independiente de H .
Demostración(OVLVWHPDVHSXHGHHVFULELUFRPR
U t dFU x
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0
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'onde
(u , v)T , F
U
R2 o R2 ,
dF
§1
·
F : (u , v) ¨ u 2 f (v), uv g (v) ¸
©2
¹x
\
§u
f ' (v ) ·
¨
¸
'
© v u g (v ) ¹
3ara calcular los valores propios de esta matriz dF VHKDFH det(dF O I )
donde al resolver
0 , de
2O 2 O (3u vg1 ) (u 2 uvg1 v 2 f1 ) 0
Se tiene
O1
2u vg1 (v) vs1
, O2
2
2u vg1 (v) vs1
2
5HVROYLHQGR ORV VLJXLHQWHV VLVWHPDV GH HFXDFLRQHV UHVSHFWLYDPHQWH
> dF O1I 0@ y > dF O2 I 0@ VH REWLHQH TXH ORV YHFWRUHV SURSLRV D GHUHFKD GH
O1 ,O2 que son:
r1
(2 f1 , s1 g1 )T , r2
(2 f1 , s1 g1 )T
$O FDOFXODU ORV LQYDULDQWHV GH 5LHPDQQ HV GHFLU, al resolver ’w.r2
obtiene:
v
v
g s
g s
z u³ 1 1
w u ³ 1 1,
2
2
0
0
Calculando
0 Se
wv , wu , wuu , wuv , wvv zv , zu , zuu , z uv , zvv tenemos
wu
v
g1 s1 ·
w §
u
¨
¸,
³
wu ©
2 ¹
0
zu
wv
v
g1 s1 ·
w §
u
¨
³0 2 ¸¹ ,
wv ©
wv
wvv
0 y ’z.r1
g1' ( g1 s1 ) 2 f1'
, zvv
2 s1
v
g1 s1 ·
w §
u
¨
¸
³
wu ©
2 ¹
0
v
g1 s1 ·
w §
u
¨
³0 2 ¸¹
wv ©
g1' ( s1 g1 ) 2 f1'
2 s1
Adrian Ricardo Gómez Plata
81,9(56,'$'0,/,7$518(9$*5$1$'$
wuu
0, wuv
0XOWLSOLFDQGRHOVLVWHPDSRU ’z (u , t )
’zdF
0, zuu
0, zuv
0
( zu , zv ) , tenemos
’z (U t dFU x ) H'U , si
O1’z , encontramos:
zt O1 z x
H’z 'U
H ( zu , zv )(u xx , vxx ) H z xx H ( zuu u x2 2 zuvu x vx zvv vx2 )
5emplazando zuu , z uv , zvv encontramos:
zt O1 z x
Si v t 0,
H z xx H ( zvv )v
2
x
§ g1' ( s1 g1 ) 2 f1' · 2
H z xx H ¨
¸ vx
2 s1
©
¹
2 f1' g1' ( s1 g1 )
t 0 , entonces
2s1
zt O1 z x d H z xx 0XOWLSOLFDQGRHOVLVWHPDSRU ’w(u , t ) ( wu , wv ) , tenemos ’w(U t dFU x ) H'U , si
’wdF O2’w , encontramos:
wt O2 wx
’wH'U
H ( wu , wv )(u xx , vxx ) H wxx H ( wuu u x2 2 wuv u x vx wvv vx2 )
5emplazando wuu , w uv , wvv encontramos:
wt O2 wx
H wxx H ( wvv )vx2
§ 2 f1' g1' ( g1 s1 ) · 2
¸ vx
2 s1
©
¹
H wxx H ¨
Si v t 0, 2 f1' g1' ( g1 s1 ) t 0 , entonces
wt O2 wx d H wxx 7RPDQGR\DVt:
( zt ) O1 ( z x ) t H ( z xx ) wt O2 wx d H wxx
$O FRQVLGHUDU ODV GHVLJXDOGDGHV \ FRQ YDULDEOHV HQ w y z , por el principio
GHOPi[LPRVHSXHGHFRQVHJXLUHVWLPDFLRQHV
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62/8&,Ï1$/6,67(0$*(1(5$/'((&8$&,21(6'((8/(53$5$81)/8,'2&2035(6,%/(
w(u H , vH ) d M ,
z(u H , vH ) t M
\SRUlo tanto
u H ( x, t ) d M ,
0 d v H ( x, t ) d M
para una constante positiva M que depende de la norma Lf en los datos LQtFLDOHV.
3. CONCLUSIONES
/RVVLVWHPDVGHDVRFLDGRVDIOXLGRVFRPSUHQVLEOHVFRPRHQ , VHGLFHQVLQIXHQWH
que se puede tratar de generalizar este tipo de sistemas, FRORFDQGR XQ WpUPLQR
DGLFLRQDODVt:
­
§1 2
·
°ut ¨ u f (v) ¸ g1 (u , v) 0
©2
¹x
®
°v (uv g (v)) g (u, v) 0
x
2
¯ t
La idea en este caso, HV HQFRQWUDU VROXFLRQHV JOREDOHV GH JXLDGRV HQ HO
WUDEDMR TXH <DQ \ RWros realizan en [] [11] \ [14], usando OD LQIRUPDFLyQ
VXPLQLVWUDGDHQGLFKRVDUWtFXORV, se puede buscar soluFLRQHVGpELOHVDOVLVWHPD
GH KHFKR, Lu en [], encuentra VROXFLRQHV GpELOHV DO VLVWHPD , basados en
PpWRGRVGHFRPSDFLGDGFRPSHQVDGD
3RU RWUD SDUWH, es importante decir que son diversas las aplicaciones de este
sistema 3RU HMHPSOR: OD ItVLFD e LQJHQLHUtD UHVXHOYHQ GLYHUVDV PDQLIHVWDFLRQHV GHO
VLVWHPDSDUDUHVROYHUSUREOHPDVDSOLFDGRVSDUWLFXODUHV pero lo cierto es que cada
DSOLFDFLyQ HVXQUHWRGLIHUHQWHSRUTXHDXQTXHVHSXHGHJDUDQWL]DUla H[LVWHQFLDGH
VROXFLRQHV HQ OD PD\RUtD GH DSOLFDFLRQHV QR VH SXHGH GHFLU FRQ FHUWH]D TXH VH
pXHGHHVWDEOHFHUVROXFLRQHVH[SOtFLWDVRLPSOtFLWDVSRUORV PpWRGRVFOiVLFRV \HVSRU
esto, que es posiEOHHQFRQWUDUPXFKRVDUWtFXORVQXPpULFRVTXHUHVXHOYHQFDVRVPX\
concretos relacionados a este tipo de sistemas.
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