MATE 3171

MATE 3171
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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Números complejos
Surgen como necesidad para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma
x 2 + a2 = 0
las cuales no tiene solución en los números reales. Por ejemplo: considere
la ecuación cuadrática:
p
x2 + 9 = 0 ) x =
9
como se sabe es imposible que un número real elevado al cuadrado sea
negativo. Para resolver ecuaciones como las anteriores se de…ne un nuevo
número:
p
i=
1 , i2 = 1
De…nición Un número complejo es una expresión de la forma
a + bi
donde: a y b son números reales e i 2 = 1. La parte real del número
complejo es a y la parte imaginaria es b.
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Nota: Dos números complejos son iguales si sus partes reales e
imaginarias son iguales.
Ejemplos
5.1 Dado 4
5.2 Dado
3i : 4 es la parte real y 3 es la parte imaginaria.
p
p
3 + 2i : 3 es la parte real y 2 es la parte imaginaria.
Nota: Si la parte real de un número complejo es cero, se dice que es un
número imaginario puro.
5.3 7i es un número imaginario puro.
p
5.4 3 5 es un número real cuya parte imaginaria es cero.
p
5.5 Indique la parte real e imaginaria de 2 +
5
Parte real:
Parte imaginaria:
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Operaciones de números complejos
Adici ón
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i
Substracci ón (a + bi ) (c + di ) = (a c ) + (b d ) i
Multiplicaci ón (a + bi ) (c + di ) = (a c bd ) + (ad + bc ) i
Conjugado El conjugado de un número complejo z = a + bi
por z = a
se de…ne
bi.
Para dividir números complejo se multiplica y divide el denominador por el
conjugado del denominador.
a + bi
a + bi c di
(ac + bd ) + (bc ad ) i
Divisi ón
=
=
c + di
c + di c di
c2 + d2
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5.6 Evalúe (3 + 4i ) + ( 4 + 6i ) = (3 4) + (4 + 6) i = 1 + 10i
p
p
5.7 Evalúe ( 2 + 3i )
2 + 7i = ( 2 ( 2)) + 3
7 i=
p
3
7 i
5.8 Evalúe (6 5i ) (4 + 3i ) = 6 (4 + 3i ) 5i (4 + 3i )
= 24 + 18i 20i 15i 2 = 24 2i 15 ( 1) = 39 2i
2 + 4i 3 + 2i
2 (3 + 2i ) + 4i (3 + 2i )
2 + 4i
=
=
5.9 Evalúe
3 2i
3 2i 3 + 2i
32 + 22
2
6 4i + 12i + 8i
14 + 8i
14
8
=
=
=
+ i
13
13
13 13
11
5.10 Evalúe i 23 = i 22 +1 = i 22 i = i 2
i = ( 1)11 i = i
5.11 Evalúe i 104 = i 2
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57
= ( 1)57 =
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5.12 Evalúe 38 4 +
p
38 4
=
19
p
3i
1
=
3i
=2 4
38
p
4 + 3i
p
3i
=8
4
4
p
p
38
3i
4
3i
p =
p 2
3i
42 +
3
p
2 3i
Raíces cuadradas de números negativos
Si
r es un número negativo, entonces la raíz cuadrada principal de r es:
p
p p
p
r= r
1 = ri
p
p
Las dos raíces cuadradas de r son r i y
r i.
5.13 Evalúe
p
p
p
p
p p
p
3
15 =
3i
15i = 3 15i 2 =
32 5 = 3 5
p
p p
Note que:
3
15 6= (p 3) ( 15) p
p
p
1 + 2i
1 + 2i
1+
2
1 + 2i
p
p =
p
p
5.14 Evalúe
=
1
2
1
2i
1
2i
1 + 2i
p
p 2
p
p
2i
( 1)2 2 2i +
1 2 2i
1 2 2
=
=
=
i
p 2
3
3
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Solución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas
Considere la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0, con a.b.c 2 R, y si su
discriminante b 2 4ac < 0, las soluciones son complejas y conjugadas.
5.15. Resolver 2x 2 3x + 3 = 0
Se halla: b 2 4ac = ( 3)2 4 (2) (3) = 15 < 0
Aplicando lapfórmula cuadrática:
p
p
3
b
b 2 4ac
15
15i
( 3)
=
=
=
x=
2a
2 2
4
p
8
>
< x = 3 + 15i
4p
>
15i
: x=3
4
Note que las raíces son complejas y conjugadas.
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5.16. Resolver z + 4 + 12
z = 0, z 6 = 0
Multiplicando por z, se tiene: z 2 + 4z + 12 = 0
Se halla: b 2 4ac = 42 4 (1) (12) = 32 < 0
Aplicando lapfórmula cuadrática:p
p
4
4 4 2i
b
b 2 4ac
32
=
=
=
x=
2a p
2 1
2
x = 2 + 2p2i
x = 2 2 2i
Note que las raíces son complejas y conjugadas.
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