MATE 3171

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Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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Funciones cuadráticas y modelos
De…niciónUna función polinómica de grado n se de…ne por:
P ( x ) = an x n + an
donde n 2 N y an , an
1,
1x
n 1
+
+ a1 x + a0
, a1 , a0 2 R.
Nota: Recuerde que ya se ha estudiado las funciones de grado 0 y 1:
P (x ) = a y P (x ) = a1 x + a0 , respectivamente.
De…niciónUna función cuadrática es una función polinómica de grado 2 y
es de la forma:
f (x ) = ax 2 + bx + c,
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a 6= 0
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Forma estándard de una función cuadrática
Una función cuadrática f (x ) = ax 2 + bx + c se puede expresar en la
forma estándard
f (x ) = a (x
h )2 + k
completando cuadrados. La grá…ca de f es una parábola con vértice
(h, k ) ; la parábola se abre hacia arriba si a > 0 y se abre hacia abajo si
a < 0.
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Valores máximos y mínimos de una función cuadrática
Sea f una función cuadrática en su forma estándard
f (x ) = a (x h)2 + k. Los valores máximos o mínimos de f ocurren en
x =h
Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es: f (h) = k.
Si a < 0, entonces el valor máximo de f es: f (h) = k.
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Valores máximos y mínimos de una función cuadrática
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática
f (x ) = ax 2 + bx + c ocurre en:
b
2a
Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es: f
Si a < 0, entonces el valor máximo de f es: f
b
.
2a
b
2a
Modelando con funciones cuadráticas
Se discutirán algunos ejemplos de la vida real que se pueden modelar por
medio de funciones cuadráticas.
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Ejemplos
3.1.1 La grá…ca de una función cuadrática f (x ) =
dada:
1 2
2x
2x + 6, es
a. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = (?, ?)
b. Halle el valor máximo o mínimo de f : posee un __?__ en x =? y el
valor __?__ es f (h =) =?
c. Halle el dominio y rango de f : dom (f ) = ___; rango (f ) = ___
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3.1.2 La grá…ca de la función cuadrática f (x ) = 3x 2 + 6x
1, es dada:
a. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = (?, ?)
b. Halle el valor máximo o mínimo de f : posee un __?__ en x =? y el
valor __?__ es f (h =) =?
c. Halle el dominio y rango de f : dom (f ) = ___; rango (f ) = ___
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3.1.3 Una función cuadrática f (x ) = x 2 + 2x + 2, es dada:
a. Exprese la función cuadrática en su forma estándard
Completando cuadrados:
2
2
+ 2 = (x + 1)2 + 1
b. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = ( 1, 1) y sus interceptos
con los ejes
Eje X: y = 0 ) x 2 + 2x + 2 = 0 no tiene solución real
Eje Y: x = 0 ) y = f (0) = 02 + 2 (0) + 2 = 2
f (x ) = x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x +
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2
2
2
2
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c. Trace la grá…ca de f
y
4
3
2
1
(-1,1)
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
d. Halle los valores máximos o mínimos: tiene un mínimo en h =
valor mínimo es: f (h) = f ( 1) = 1 = k
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1 y su
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3.1.4 Una función cuadrática f (x ) =
es dada:
5 + 6x
2x 2 =
2 x2
3x
5,
a. Exprese la función cuadrática en su forma estándard
5=
Completando cuadrados: f (x ) = 2 x 2 3x
2 x2
3x +
3
2
2
3
2
2
5=
2 x
3
2
2
5+
9
2
b. Halle las coordenadas del vértice: (h, k ) = 32 , 12 y sus interceptos
con los ejes
Eje X: y = 0 ) 5 + 6x 2x 2 = 0 no tiene solución real
Eje Y: x = 0 ) y = f (0) = 5 + 6 (0) 2 (0)2 = 5
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c. Trace la grá…ca de f
y
x
−4
−3
−2
−1
1
(3/2,-1/2)
2
3
4
5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
d. Halle los valores máximos o mínimos: tiene un máximo en h =
valor máximo es: f (h) = f
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3
2
=
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1
2
3
2
y su
=k
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3.1.5 Halle los valores máximos o mínimos de la función
f (x ) = 10x 2 + 70x 90.
b
= 2 (70
Como a = 10 > 0, la función posee un mínimo en 2a
=
10 )
y su valor mínimo es:
2
b
f
90 = 212.5
2a = f ( 3.5) = 10 ( 3.5) + 70 ( 3.5)
3.5
3.1.6 Halle los valores máximos o mínimos de la función
f (x ) = 3x 2 + 12x + 100.
Como a = 3 < 0, la función posee un máximo en
su valor máximo es:
b
3 (2)2 + 12 (2) + 100 = 112
f
2a = f (2) =
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b
2a
=
12
2( 3)
=2 y
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3.1.7 Halle todos los valores máximos y mínimos locales de la función cuya
grá…ca se muestra:
Tiene máximos en x = 2, x = 1 y sus valores máximos son: 3 y 2,
respectivamente.
Tiene mínimos en x = 1, x = 2 y sus valores mínimos son: 0 y -1,
respectivamente.
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3.1.9 Un vendendor de bebidas en una playa analiza su registro de ventas y
encuentra que si vende x latas de la bebida de soda en un día, su
ganancia en dólares es dada por:
P (x ) = 0.001x 2 + 3x 1800
Determine la ganancia máxima diaria y la cantidad de latas que debe
vender.
Como a = 0.001 < 0, P (x ) posee un máximo y se alcanza cuando vende
3
b
= 1500 latas
2a =
2 ( 0.001 )
y la máxima ganancia es
b
0.001 (1500)2 + 3 (1500) 1800 = $450 por día.
f
2a = f (1500) =
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