MATE 3171

MATE 3171
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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Variación directa e inversa
Variación directa:
Si las cantidades x e y están relacionadas por una ecuación
y = kx
para alguna constante k 6= 0, se dice que y varía directamente como x, o
y es directamente proporcional a x, o simplemente y es proporcional a x.
La constante k es llamada la constante de proporcionalidad.
Variación inversa:
Si las cantidades x y y están relacionadas por la ecuación
y=
k
x
para alguna constante k 6= 0, se dice que y es inversamente proporcional a
x, o y varía inversamente a x. La constante k es llamada la constante de
proporcionalidad.
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Variación conjunta:
Si las cantidades x, y e x están relacionadas por la ecuación
z = kxy
para alguna constante k 6= 0, se dice que z varía conjuntamente a x y y , o
z es conjuntamente proporcional a x e y . La constante k es llamada la
constante de proporcionalidad.
Ejemplos
1.11
1 Escriba una ecuación que represente: "P es directamente proporcional
a w"
P = kw
2 Escriba una ecuación que represente: "s es inversamente proporcional
a t"
k
s=
t
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3 Escriba una ecuación que represente: "y es proporcional a w e
inversamente proporcional a z"
w
y =k
z
4 Escriba una ecuación que represente: "m es proporcional al cuadrado
de n e inversamente proporcional a p y q"
n2
m=k
pq
5 Halle el valor de k, dado: R es inversamente proporcional a s, si
s = 4, entonces R = 3
k
R = , luego hallamos el valor de k, usando los valores dados
s
k
12
3 = ) k = 12 y R =
4
s
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6 Halle el valor de k, dado: R es conjuntamente proporcional a x y y e
inversamente proporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces
R = 25
kxy
, luego hallamos el valor de k, usando los valores dados
R=
s
2 3k
50xy
25 =
) k = 12 6 25 = 50 y R =
12
s
7 Halle el valor de k, dado: H es conjuntamente proporcional a los
cuadrados de l y w , si l = 2, w = 31 , entonces H = 36
H = kl 2 w 2 , luego hallamos el valor de k, usando los valores dados
2
36 = k (2)2 31 ) k = 81 y H = 81l 2 w 2
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8 La ley de Hooke establece "que la fuerza que se necesita para estirar
un resorte x unidades de su longitud natural es directamente
proporcional a x". En este caso la constante de proporcionalidad es
llamada la constante del resorte.
a Escriba la ley de Hooke como una ecuación.
Sea F la fuerza que se requiere para estirar la fuerza, entonces se tiene:
F = kx
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b Si el resorte tiene una longitud natural de 10 cm y una fuerza de 40 N
se requiere para mantener el resorte estirado una longitud de 15 cm,
halle la constante del resorte.
Se deben convertir los datos al mismo sistema de unidades
F = 40N, x = 15 10 = 5cm = 0.05m
Sustituyendo se tiene: 40 = 0.05k ) k = 800 y
F = 800x
c ¿Que fuerza se requiere para mantener el resorte estirado a una
longitud de 4 cm?
Recuerde: 4cm = 0.04m
F = 800 0.04 = 32N
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9 Un carro está viajando sobre una curva que tiene la forma de un arco
circular. La fuerza F necesaria para que el carro siga en la carretera
es conjuntamente proporcional al peso w del carro y al cuadrado de
su velocidad s e inversamente proporcional al radio r de la
curva.
a Escriba una ecuación que represente la variación
Sea F la fuerza que se requiere para que el carro se mantenga en la
carretera, entonces se tiene:
kws 2
F =
r
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b Un carro que pesa 1000 lb viaja sobre la curva a una velocidad de 60
mi/h. El próximo carro sobre la curva pesa 2500 lb y requiere la
misma fuerza que el primer carro para evitar que salga de la curva.
Determine la velocidad del segundo carro.
Primer carro:
1000 602
k
F1 =
r
Segundo carro:
2500s 2
F2 =
k
r
Como las fuerzas son iguales se tiene que:
1000 602
2500s 2
k=
k se cancelan k y r , y se obtiene:
r
r
60 2 = 1440 resolviendo la
1000 602 = 2500 s 2 ) s 2 = 1000
2500
ecuación:
p
p
s 2 = 1440, cuya solución es: s =
1440 ) s = 1440 = 37.947
mi/h
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