MATE 4009

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Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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Modelos lineales
Introducción En esta sección se resolverán algunos modelos lineales que se
consideraron en la sección 1.3.
Creciemiento y decaimiento El problema de valor inicial es de la forma:
dx
=
dt
(1)
donde k es una constante de proporcionalidad, x es la población presente
en el tiempo t y permite resolver modelos de crecimiento o decaimiento.
Nota Si la constante k < 0, x
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y si k > 0, x
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.
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Ejemplos
1 La población de una bacteria crece a una razón proporcional al
número de bacterias presente en el tiempo t. Después de 3 horas se
observa que 400 bacterias están presentes. Luego de 10 horas hay
2,000 bacterias. Determine el número inicial de bacterias.
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2 Inicialmente 100 miligramos de sustancia radioactiva estuvo presente.
Después de 6 horas decreció por un 3%. Si la razón de decaimiento
es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t,
halle:
a. La cantidad que queda después de 24 horas.
b. La vida media de la sustancia.
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Ley de enfriamiento de Newton La formulación matemática de la LEN es
dada por la EDL de la forma:
dT
= k ( T Tm )
(2)
dt
donde k es una constante de proporcionalidad, T es la temperatura del
cuerpo en el tiempo t y Tm es la temperatura del medio.
3 Un termómetro se lleva de un cuarto a otro donde la temperatura del
aire es 5 F. Después de un minuto la temperatura del termómetro
lee 55 F y luego de 5 minutos lee 30 F. DEtermine la temperatura
inicial del cuarto.
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4 Dos depósitos grandes A y B del mismo tamaño se llenan con
diferentes ‡uidos. Los ‡uidos en los depósitoas A y B se mantienen a
0 C y 100 C, respectivamente. Una barra pequeña de metal, cuya
temperatura es de 100 C, se introduce en el depósito A. Después de
un minuto la temperatura de la barra es 90 C. Después de 2
minutos la barra se remueve de A y se lleva a B. Después de un
minuto en B la temperatura de la barra aumenta 10 C. Determine el
tiempo, desde el inicio y durante todo el proceso, que le toma a la
barra alcanzar 99 C
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Mezclas La mezcla de dos ‡uidos algunas veces lleva a una EDL de primer
orden y es de la forma:
dA
=
(3)
dt
donde A es la sustancia presente en el tiempo t, Rin es la razón de entrada
y Rout es la razón de salida.
5 Un tanque de 500 galones está completamente lleno de agua pura.
Agua salada entra al tanque con una concetración de 2 libras de sal
por galón a una razón de 5 gal/min. La solución bien mezclada sale
a la misma razón. Halle la cantidad de sal en el tiempo t.
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Ley de Kirchho¤ "La suma de la caída del voltaje a través del inductor
di
y la caída del voltaje a través del resistor (Ri ) es igual al voltaje
dt
E (t ) en el circuito.
L
Circuitos Para un ciruito en serie con un resistor y un inductor, por la ley
de Kirchho¤ se obtiene la EDL de primer orden y es de la forma:
(4)
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia,
respectivamente. La corriente i se conoce como la respuesta al sistema.
La caída del voltaje a través del capacitor con capacitancia C es dado por
q (t )
, donde q es la carga del capacitor y el circuito en serie RC tiene por
C
EDL a:
(5)
(6)
ó
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6 Una fuerza electromotriz de 200 voltios se aplica a circuito en serie
RC en el cual la resistencia es de 100 ohms y la capacitancia es
5 10 6 farad. Halle la carga q (t ) en el capacitor si i (0) = 0.4.
Determine la carga y corriente después de 5 segundos. Determine la
carga cuando t ! ∞.
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