MATE 4009

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Dr. Pedro V·squez
UPRM
P. V·squez (UPRM)
Conferencia
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Modelos lineales
IntroducciÛn En esta secciÛn se resolverÛn algunos modelos lineales que
se consideraron en la secciÛn 1.3.
Creciemiento y decaimiento El problema de valor inicial es de la forma:
dx
= kx
dt
(1)
donde k es una constante de proporcionalidad, x es la poblaciÛn presente
en el tiempo t y permite resolver modelos de crecimiento o decaimiento.
Nota Si la constante k < 0, x decrece y si k > 0, x crece.
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Ejemplos
1 La poblaciÛn de una bacteria crece a una razÛn proporcional al
n˙mero de bacterias presente en el tiempo t. DespuÈs de 3 horas se
observa que 400 bacterias est·n presentes. Luego de 10 horas hay
2,000 bacterias. Determine el n˙mero inicial de bacterias.
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2 Inicialmente 100 miligramos de sustancia radioactiva estuvo presente.
DespuÈs de 6 horas decreciÛ por un 3%. Si la razÛn de decaimiento
es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo t,
halle:
a. La cantidad que queda despuÈs de 24 horas.
b. La vida media de la sustancia.
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Ley de enfriamiento de Newton La formulaciÛn matem·tica de la LEN es
dada por la EDL de ka forma:
dT
= k ( T ! Tm )
(2)
dt
donde k es una constante de proporcionalidad, T es la temperatura del
cuerpo en el tiempo t y Tm es la temperatura del medio.
3 Un termÛmetro se lleva de un cuarto a otro donde la temperatura del
aire es 5" F. DespuÈs de un minuto la temperatura del termÛmetro
lee 55" F y luego de 5 minutos lee 30" F. DEtermine la temperatura
inicial del cuarto.
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4 Dos depÛsitos grandes A y B del mismo tamaÒo se llenan con
diferentes áuidos. Los áuidos en los depÛsitoas A y B se mantienen a
0" C y 100" C, respectivamente. Una barra pequeÒa de metal, cuya
temperatura es de 100" C, se introduce en el depÛsito A. DespuÈs de
un minuto la temperatura de la barra es 90" C. DespuÈs de 2
minutos la barra se remueve de A y se lleva a B. DespuÈs de un
minuto en B la temperatura de la barra aumenta 10" C. Determine el
tiempo, desde el inicio y durante todo el proceso, que le toma a la
barra alcanzar 99" C
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Mezclas La mezcla de dos áuidos algunas veces lleva a una EDL de primer
orden y es de la forma:
dA
= Rin ! Rout
(3)
dt
donde A es la sustancia presente en el tiempo t, Rin es la razÛn de entrada
y Rout es la razÛn de salida.
5 Un tanque de 500 galones est· completamente lleno de agua pura.
Agua salada entra al tanque con una concetraciÛn de 2 libras de sal
por galÛn a una razÛn de 5 gal/min. La soluciÛn bien mezclada sale
a la misma razÛn. Halle la cantidad de sal en el tiempo t.
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Ley
! de" Kirchho§ "La suma de la caÌda del voltaje a travÈs del inductor
di
y la caÌda del voltaje a travÈs del resistor (Ri ) es igual al voltaje
dt
E (t ) en el circuito.
L
Circuitos Para un ciruito en serie con un resistor y un inductor, por la ley
de Kirchho§ se obtiene la EDL de primer orden y es de la forma:
di
+ Ri = E (t )
(4)
dt
donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia,
respectivamente. La corriente i se conoce como la respuesta al sistema.
La caÌda del voltaje a travÈs del capacitor con capacitancia C es dado por
q (t )
, donde q es la carga del capacitor y el circuito en serie RC tiene por
C
EDL a:
q (t )
Ri +
= E (t )
(5)
C
dq q (t )
oR
+
= E (t )
(6)
dt
C
L
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6 Una fuerza electromotriz de 200 voltios se aplica a circuito en serie
RC en el cual la resistencia es de 100 ohms y la capacitancia es
5 # 10!6 farad. Halle la carga q (t ) en el capacitor si i (0) = 0.4.
Determine la carga y corriente despuÈs de 5 segundos. Determine la
carga cuando t ! ∞.
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