MATE 4009

MATE 4009
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
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Curvas soluciones sin solución algebraica
I.
Campos direccionales
∂f
Recuerde que dada la ED y 0 = f (x, y ), si f y ∂y
satisfacen
ciertas condiciones, la ED de primer orden tiene solución
única. Aquí surgen una serie de preguntas, que hacer con
ED de primer orden cuya solución no es simple determinar
en forma algebraica.
Es importante recordar lo siguiente: la derivada
de
una función diferenciable y = y (x ) representa la pendiente
de la recta tangente en todos los puntos de la grá…ca.
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Pendiente: como una solución y = y (x ) a una EDO de
primer orden y 0 = f (x, y ) es necesariamente diferenciable en
un intervalo I por de…nición, debe ser continua en I. Por
esta razón la curva solución en I debe ser una curva suave
y debe poseer una recta tangente en cada punto (x, y ) . La
función f es llamada función pendiente o función de
cambio.
Ejemplo
Dada la ED y 0 = x + y , si se considera el punto (1, 1) la
curva solución en el punto (1, 1) tiene una recta tangente
con pendiente f (1, 1) = .
Si la función f se evalúa sistemáticamente sobre un
conjunto de puntos en el plano y se traza un segmento de
la recta tangente en cada punto (x, y ) con pendiente f (x, y )
se obtiene lo que se le llama campo direccional de la ED
y 0 = f (x, y ).
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Trace un campo direccional de la ED y 0 = sin(x + y ) = f (x, y )
y luego trace curvas soluciones que pasen por los puntos
(0, 0) , ( 1, 0) , (2, 1)
y
y'=sin(x+y)
4
3
2
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
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II.
ED autónomas de 1er orden
Una ED es autónoma si la variable independiente no
aparece en forma explícita. Si la variable independiente
es x , entonces una ED autónoma puede ser escrita en la
dy
forma f (y , y 0 ) = 0 o en la forma
= f (y ) .
dx
Ejemplos:
1.
dy
=
dx
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,
2.
dy
=
dx
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Puntos críticos
Los ceros de la función f (y ) , es decir, f (y ) = 0, son
llamados puntos críticos de la EDA. Un punto crítico
también es llamado un punto de equilibrio o punto
estacionario.
dy
= f (y ) se considera la función
Nota: Si en la ED
dx
constante y (x ) = c , ambos lados de la ecuación son cero.
Esto signi…ca que:
dy
Si c es un punto crítico de la ED
= f (y ) , entonces
dx
y (x ) = c es una solución constante de la EDA.
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Una solución constante y (x ) = c de la EDA es llamada una
solución de equilibrio.
Es importante indicar que una solución no constante
y = y (x ) de la EDA es creciente o decreciente, cuyos signos
dy
se determinan analizando los signos de la derivada .
dx
dy
= y2
dx
Ejemplo Considere la EDA
puntos críticos.
y2
y 3 = 0 ) y 2 (1
Intervalo
y) = 0 ) y =
Signo de f (y )
y3
determine los
,y =
f (y )
Dirección
( ∞, )
( , )
( , ∞)
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Curvas solución
Cuando se resuelve una EDA, como la función f es
independiente de la variable independiente x , se puede
considerar que f está de…nida para todo número real,
como f y f 0 son funciones continuas de y en alguna región
R del plano xy . Algunas conclusiones:
1 Si (x , y ) está en la subregión R , y y = y (x ) es una
0 0
i
solución cuya grá…ca pasa por ese punto, entonces
y (x ) se mantiene en la i -ésima región.
2 Por continuidad de f se tiene que f (y ) > 0 o f (y ) < 0
para todo x en la región Ri .
dy
3 Como
= f (y (x )) es siempre positiva o negativa en la
dx
región Ri , entonces y (x ) es creciente o decreciente en
dicha región.
4 Si y (x ) es acotada inferiormente o superiormente,
entonces esa cotas representan asíntotas horizontales.
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dy
Ejemplo: Considere la EDA
= y 2 + y 3 , esboce las
dx
grá…cas de las curvas solución.
dy
= y 2 + y 3 , la solución es: f
g
dx
y
2
1
−2
−1
1
2
−1
−2
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Puntos críticos
Estable asíntoticamente si todas las soluciones y = y (x )
que pasan por el punto (x0 , y0 ) su…cientemente cerca de c
tiene un comportamiento asíntotico xlim
y (x ) = c.
!∞
Inestable si todas las soluciones y = y (x ) que pasan por el
punto (x0 , y0 ) su…cientemente cerca de c se alejan de c
cuando x ! ∞.
Semi-estable si todas las soluciones y = y (x ) que pasan por
el punto (x0 , y0 ) su…cientemente cerca de c , unas se alejan
y otras se acercan a c.
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dy
= y2 + y3
dx
Ejemplo Considere la EDA
puntos críticos.
y 2 + y 3 = 0 ) y 2 (y + 1) = 0 ) y =
Intervalo
determine los
,y =
Signo de f (y )
f (y )
Dirección
( ∞, )
( , )
( , ∞)
c=:
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y
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c=:
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dy
= y (y + 2) (y
dx
Ejemplo Considere la EDA
los puntos críticos.
y (y + 2) (y
4) = 0 ) y =
Intervalo
(
(
(
(
,y =
,y =
Signo de f (y )
f (y )
4)
determine
,
Dirección
∞, )
,
)
,
)
, ∞)
c=:
yc=:
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,c = :
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