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Impedancia y Respuesta en Frecuencia
B2API-1
Circuito RC lineal de primer orden
• Circuito RC serie con fuente de tensión sinusoidal:
R
ic
vi
+
−
C
+
vc
−
vi  Vi cos t  , t  0 , Vi  real
vi  vc  ic R 
dv

dvc   vi  vc  RC c
ic  C
dt
dt 
B2API-2
1
Solución
• Solución de la ecuación diferencial:
– Solución de la ecuación homogénea más una solución
particular.
vc  vch  vcp
• Solución de la ecuación homogénea:
dv
RC ch  vch  0  vch  K1e t RC
dt
• Solución particular:
dv
Vi cos t   vcp  RC cp  vcp  K 4 cos t   
dt
• Procedimiento tedioso para determinar K1, K4 y .
B2API-3
Análisis Generalizado
• Fuente de tensión exponencial:
v~i  Vi e st  s  j , Vi  real
v~  V cos t   j sin  t 
i
i
• Respuesta forzada:
dv~
v~i  Vi e st  v~cp  RC cp
dt
Vi e st  Vc e st  RCsVc e st
 v~cp  Vc e st
 Vc 
Vi
1  RCs
B2API-4
2
Análisis Generalizado
• Desarrollo de la respuesta forzada:
Vi
v~cp 
e jt
1  j RC
Vi
v~cp 
e e jt    tan 1   RC 
2
1   RC 
v~cp  vcp1  jvcp 2
v~cp 
Vi
cos t     j
2
1   RC 
vcp1 
Vi
1   RC 
2
Vi
1   RC 
2
sin  t   
cos t   
B2API-5
Respuesta a la Fuente Sinusoidal
• Respuesta completa del circuito RC a la fuente
sinusoidal:
Vi
vc  K1e t RC 
cos t   
2
1   RC 
• Respuesta en régimen estacionario sinusoidal:
Vi
t    vc 
cos t   
2
1   RC 
vc  Vc cos t  argVc 
Vc 
Vi
1  j RC
B2API-6
3
Interpretación Circuital
Vc 
Vi
1  j RC
1
 Vc  sC Vi
1
R
sC
B2API-7
Impedancia
iC
dv
dt
 v  Ve st
i  sCVe st  Ie st
V
1
I
sC
, s  j
 I  sCV
 Zc 
1
1

sC j C
Z L  sL  j L , Z R  R
B2API-8
4
Ejemplo
vi  Vi cos2ft  , Vi  1 V , R  1 kΩ , C  1 μF
Vc 
1 sC
1
ZC
Vi 
Vi 
Vi
Z R  ZC
R  1 sC
1  RCs
Vc 
1
Vi
1  j RC
B2API-9
Ganancia de Amplitud
Vc
1

2
Vi
1   RC 
1
Vc

 0.8467
2
Vi
1  2  100  103 
f  100 Hz 
f  1 2 kHz 
f  1 kHz 
Vc
1
1


 0.707
3
3 2
Vi
2
1  2  10 2   10 
1
Vc

 0.1571
3
3 2
Vi
1  2  10  10 
B2API-10
5
Diagrama de Magnitud (db)
20 log10 Vc Vi
B2API-11
Diagrama de Magnitud
B2API-12
6
Cambio de Fase
V 
  arg c   tan 1   RC 
 Vi 
V 
f  100 Hz  arg c   tan 1  2  102  103   32.14o
 Vi 
V 
f  1 2 kHz  arg c   tan 1  2  103 2   103   45o
 Vi 
V 
f  1 kHz  arg c   tan 1  2  103  103   80.95o
 Vi 
B2API-13
Diagrama de Fase
Vc ⁄ Vi
0º
-90º
159.15
f Hz
10
100
1000
B2API-14
7
Formas de Onda
• Formas de onda para f = 159.15 Hz y Vi = 1V:
v
vi(t)
vc(t)
t
B2API-15
Ejemplo
vi  Vi cos2ft  , Vi  1 V , R  1 kΩ , C  1 μF
Vr 
ZR
R
RCs
Vi 
Vi 
Vi
Z R  ZC
R  1 sC
1  RCs
Vr 
jRC
Vi
1  jRC
B2API-16
8
Ganancia de Amplitud
Vr
RC

2
Vi
1  RC 
Vr
2  100  103

 0.4923
3 2
Vi
1  2  100  10 
f  100 Hz 
f  1 2 kHz 
f  1 kHz 
Vr
2  103 2   103
1

 0.707

2
Vi
2
1  2  103 2   103 
2  103  103
Vr

 0.9875
2
Vi
1  2  103  103 
B2API-17
Diagrama de Magnitud (db)
20 log10 Vc Vi
B2API-18
9
Diagrama de Magnitud
B2API-19
Cambio de Fase
V 
arg r   tan 1 1 RC 
 Vi 
V 
f  100 Hz  arg r   tan 1 1 2  102  103   57.85o
 Vi 
V 
f  1 2 kHz  arg r   tan 1 1 2  103 2   103   45o
 Vi 
V 
f  1 kHz  arg r   tan 1 1 2  103  103   9.04o
 Vi 
B2API-20
10
Diagrama de Fase
B2API-21
Formas de Onda
• Formas de onda para f = 159.15 Hz y Vi = 1V:
B2API-22
11