Tema 2

EJERCICIOS
´ LINEAL SIMPLE
Tema 2: MODELO DE REGRESION
Ejercicio 1.- Para el modelo de regresión simple siguiente:
Yi = βxi + εi
i = 1, ..., 100
se tienen las siguientes medias muestrales:
(
(
(
P
P
P
yi ) /n = 0.3065
x2i ) /n = 25.2693
P
(
P
(
P
yi2 /x2i ) /n = 0.5951 (
P
yi2 ) /n = 16.003
(
P
xi yi ) /n = 15.4195
(
x4i ) /n = 1269.589
xi ) /n = −0.0985
yi /xi ) /n = 0.5646
a) Obtener la estimación MCO de β y la desviación típica del estimador MCO de
β cuando se cumplen los supuestos habituales.
b) Si la varianza del término de perturbación ui fuese conocida y tal que σ 2u = 0.25 ·
x2i , ¿cuál sería la verdadera desviación típica del estimador MCO de β? Interpretar
Ejercicio 2.- Se ha estimado el modelo yi = βxi + εi y, para medir la bondad de
ajuste, se ha calculado el R2 y se ha obtenido un valor igual a -1.74 ¿A qué se debe
este resultado?
Ejercicio 3.- Para estimar el modelo yi = β 0 +β 1 xi +ui se dispone de dos muestras,
A y B. Justifica para cada uno de los siguientes casos, qué muestra sería más deseable:
a) la única diferencia entre ambas muestras es que el número de observaciones de
la muestra A es menor que el de la muestra B.
b) la única diferencia entre ambas muestras es que
1
Pn
A
A 2
i=1 (xi −x̄ )
<
Pn
B
B 2
i=1 (xi −x̄ )
%&' ()* !"# #$%&$'()'# #&*+)",$"# #' "-)$'('( + .+,)$, /' 01 "-#',2+3$"('#
Ejercicio 4.- Los siguientes sumatorios se obtienen a partir de 16 observaciones
$+-4'# ! ' "
!
de las variables x e y
"!!
5 671
!
!
"! 5 19
!
"
"
!
!!! 5X
168
!! "! 5X
9:7
2
!
!
yi = 526
x2i = 657
!
i
i
!! 5 :1
X
X
!
yi = 64
xi = 96
"
i
X
xi yi = 492
i
i
>;! ? P ! =!! !>;="P
>;
!"
! =!! !
P
a) Calcula i (yi − ȳ)2 , i (xi − x̄)2 y i (xi − x̄)(yi − ȳ)
&'(),+ 4+# '#)$*+3$"('# A<B /' 4+ ,'%,'#$C"( "! 5 q " D q # !! D $! %
b) Encuentra las estimaciones MCO de la regresión yi = β 0 + β 1 xi + ui .
&4+ '4 3"'!3$'()' /' /')',*$(+3$C"( &! ? 3"*'()+ 4"# ,'#&4)+/"#E
c) Calcula el coeficiente de determinación R2 y comenta los resultados.
&4+
>;! #
! ="! "
!
%&' +)* F+/" '4 *"/'4" /' ,'%,'#$C"( #$*.4' "! 5 q # D q ! !! D $! G /'*"#),+,
s
Ejercicio 5.- Dado el modelo de regresión simple yi = β 1 + β 2 xi + ui , demostrar
$ %&$#%
√
("# s
/"(/' ("# '# '4 3"'!3$'()'
/' 3",,'4+3$C"( 4$('+4 =*&'#),+4; '(),'
V ar(y)
$ %&$"%
que b2 = rxy √
donde rxy es el coeficiente de correlación lineal (muestral) entre
V ar(x)
x e y.
%&' ,)* @( '4 *"/'4" /' ,'%,'#$C"( #$*.4' "! 5 k D q!! D 0! G ) 5 0# %%%# * -+I"
Ejercicio 6.- En el modelo de regresión simple yi = α + βxi + εi , i = 1, ..., n bajo
#$# &#&+4'# #' J+( "-)'($/" 4"# #$%&$'()'# 2+4",'#K qL 5 0%0 ? '4 3"'!3$'()'
las hipótesis usuales se han obtenido los siguientes valores: β̂ = −1.1 y el coeficiente
3$C"( 4$('+4 ( 5 M%N:E O$ #' *&4)$.4$3+( )"/"# 4"# 2+4",'# !! G .", 6 ? )"/"# 4"#
de correlación lineal r = 0.89. Si se multiplican todos los valores xi , por 5 y todos los
0M;K
yi por (-10):
4", /' , #$%&' #$'(/" MEN: .'," '4 /' qL # .+#+ + #', 7E7E
a) el valor de r sigue siendo 0.89 pero el de β̂ 1 pasa a ser 2.2.
" '4 2+4", /' ( 3"*" '4 /' qL # .',*+('3'( 3"(#)+()'#E
b) tanto el valor de r como el de β̂ 1 permanecen constantes.
-$+( )+()" '4 2+4", /' ( 3"*" '4 /' qL # %
c) cambian tanto el valor de r como el de β̂ 1 .
4", /' ( .+#+ + #', PMEN:G .'," '4 /' qL # .',*+('3' 3"(#)+()'E
d) el valor de r pasa a ser -0.89, pero el de β̂ 1 permanece constante.
%&' -)* !+ /$,'33$C"( /' &(+ '*.,'#+ H&$',' '#)&/$+, 4+ ,'()+-$4$/+/ /' #&
Ejercicio 7.- La dirección de una empresa quiere estudiar la rentabilidad de su
'( .&-4$3$/+/E Q+,+
'44" J+ en
,'3"%$/"
/+)"#Para
/'4 2"4&*'(
/' 2'()+#
? /'4del
%+#)"
inversión
publicidad.
ello ha recogido
datos
volumen de ventas y del gasto
/+/ ,'R',$/"# + 4"#en+S
("# ("2'()+ ? 'T.,'#+/"# '( *$44"('# /' .'#')+#
publicidad referidos a los años noventa, en miles de euros
7
2
Año
Ventas Gasto publicidad
1990
50
10
1991
100
15
1992
150
18
1993
200
20
1994
200
25
1995
300
35
1996
400
50
1997
500
55
1998
650
60
1999
700
65
a) Especifica y estima el modelo lineal que explique las ventas de la empresa en
función de la inversión publicitaria. Interpreta los parámetros estimados.
b) En el año 2003, la empresa va a invertir 450.000 euros en publicidad. Calcula el
volumen de ventas esperado.
c) Se plantea el modelo
Yi = βXi + εi
i = 1, .....n
Halla el estimador mínimo cuadrático de β.
d) Aplica el resultado del apartado anterior para explicar el volumen de ventas en
función de los gastos en publicidad. Comprueba que la media de los residuos no es
nula.
Ejercicio 8.- Dado el modelo Yi = β 0 + β 1 Xi + εi y realizada su estimación por
mínimos cuadrados ordinarios para una muestra de 6 observaciones, se obtiene el
vector de residuos que aparece en la tercera columna de la tabla siguiente,
3
Observación X
e
1
2
-1
2
3
3
3
4
?
4
2
-2
5
1
-1
6
2
?
A partir de esta información, recuperar los datos desconocidos en la tabla anterior.
Ejercicio 9.- En una empresa el salario anual de cada individuo, Y, se determina
por la fórmula
Y = 10.000 + 500S + 200T
donde S es el número de años de estudios del individuo y T es el número de años que
ha estado empleado. Sea X la edad del individuo. Calcule Cov(X, Y ), Cov (X, S) y
Cov (X, T ) para la muestra de individuos que figura en la tabla de abajo y compruebe
que
Cov (X, Y ) = 500Cov (X, S) + 200Cov (X, T )
y además
V (Y ) = 250.000V (S) + 40.000V (T ) + 200.000Cov (S, T )
Deduzca analíticamente estas expresiones.
18
Años
Estudio
11
Años
Empleo
1
2
29
14
6
18.200
3
33
12
8
17.600
4
35
16
10
20.000
5
45
12
5
17.000
Individuo
Edad
1
4
Salario
15.700
Ejercicio 10.- La tabla de abajo muestra la tasa media de crecimiento del PIB, g,
y del empleo, e, para 25 países de la OCDE para el periodo 1988-97. Adicionalmente
se presentan los resultados de realizar la regresión de e frente a g :
3.1) Realice un gráfico entre la tasa de empleo y la tasa de crecimento del PIB.
3.2) Describa cada uno de los conceptos de la salida de ordenador de la regresión,
hallando los resultados que faltan e interprete los coeficientes de la regresión
Tasas de crecimiento medio del Empleo y PIB 1988-97
Empleo PIB
Empleo
PIB
Australia
1.68
3.04 Corea
2.57
7.73
Austria
0.65
2.55 Luxemburgo
3.02
5.64
Bélgica
0.34
2.16 Holanda
1.88
2.86
Canadá
1.17
2.03 Nueva Zelanda
0.91
2.01
Dinamarca 0.02
2.02 Noruega
0.36
2.98
Finlandia
-1.06
1.78 Portugal
0.33
2.79
Francia
0.28
2.08 España
0.89
2.60
Alemania
0.08
2.71 Suecia
-0.94
1.17
Grecia
0.87
2.08 Suiza
0.79
1.15
Islandia
-0.13
1.54 Turquía
2.02
4.18
Irlanda
2.16
6.40 RU
0.66
1.97
Italia
-0.30
1.68 EEUU
1.53
2.46
Japón
1.06
2.81
e
Coef.
Std.Err. t P>|t|
g
.48468
.08409
? 0.000
cons -.52086 -1.924
? 0.067
5
Ejercicio 11.- Usando el conjunto datos de EEUU, un individuo realizó la regresión
del ingreso por hora, EARNINGS, medido en dólares, frente a años de educación, S,
y obtuvo el siguiente resultado
cIN GS = −1.39 + 1.07S
EARN
Un segundo individuo ajusta la misma regresión pero se equivoca y estima la regresión
de S frente a EARN INGS y obtiene
y de ésta deriva
Sb = 12.25 + 0.097EARNINGS
c
GS = −126.29 + 10.31S
EARNIN
Explique por qué existe esta discrepancia entre esta ecuación y la que ajustó el primer
individuo.
Ejercicio 12.- Se llama curva de aprendizaje a las mejoras que experimenta un
individuo en la realización de una actividad cuando éste la repite. Las curvas de
aprendizaje se utilizan, por ejemplo, para analizar el coste de incorporación de un
nuevo trabajador a una cadena de montaje. Supongamos que el número de piezas
correctas que hace un operario en una máquina está determinada por la siguiente
curva de aprendizaje
Y = 500 + 100X + u
donde Y es el número de piezas sin fallos, X es el número de veces que ha repetido la
operación en el mes de incorporación a la empresa y u es un término de perturbación.
La tabla siguiente da los resultados de las primeras 20 veces que el operario trabajó
en la cadena: X va de 0 a 19; los valores de la perturbación - que a priori son
inobservables- se obtuvieron de muestrear en una normal con media cero y varianza
1 y multiplicar el valor obtenido por 400; el valor de Y se obtuvo de los valores de X
y u aplicados a la curva de aprendizaje
6
Observación X
u
Y
1
0
-236
264
2
1
-96
504
3
2
-332
368
4
3
12
812
5
4
-152
748
6
5
-876
124
7
6
412
1.512
8
7
96
1.296
9
8
1.012 2.312
10
9
-52
1.348
11
10 636
2.136
12
11 -368
1.232
13
12 -284
1.416
14
13 -100
1.700
15
14 676
2.576
16
15 60
2.060
17
16 8
2.108
18
17 -44
2.156
19
18 -364
1.936
20
19 568
2.968
La regresión de Y frente a X se estimó con los datos de esta tabla
Yb =369 + 116.8 X
(190)
(17.1)
donde los errores standard están entre paréntesis.
(a) Explique con sus palabras el significado de la tabla anterior.
7
(b) ¿Por qué el valor estimado de la constante no es igual a 500 y el coeficiente de
X no es igual a 100?
(c) ¿Cuál es el significado del error standard y para qué se utiliza?
(d) El mismo proceso de aprendizaje se ha repetido con otros 10 operarios nuevos,
generando nuevamente el término de perturbación a partir de una normal, y los
resultados de las regresiones fueron las siguientes
Operario
Constante
St.error
Coef. de X
St.error
1
369
190
116.8
17.1
2
699
184
90.1
16.5
3
531
169
78.5
15.2
4
555
158
99.5
14.2
5
407
120
122.6
10.8
6
427
194
104.3
17.5
7
412
175
123.8
15.8
8
613
192
95.8
17.3
9
234
146
130.1
13.1
10
485
146
109.6
13.1
(d.1)¿Por qué la constante, el coeficiente de X y su error standard varían de operario
a operario?
(d.2) Realice un gráfico donde en el eje de abcisas figure el número de operario y en
el de ordenadas el valor del coeficiente de X. ¿Qué observa en dicho gráfico? Realice
la media matemática de los coeficientes de X y discuta su resultado.
(d.3) La varianza de X es 33.25 y la de u es 160.000. Usando la expresión de abajo,
demostrar que la desviación típica del coeficiente de X es 15.5. ¿Cree que los errores
standard presentados en la tabla son buenas estimaciones de la desviación típica?
8
Justifique su respuesta.
σ 2b2 =
σ 2u
nV ar (X)
Ejercicio 13.- Un investigador cree que la verdadera relación entre dos variables
está dada por la ecuación
Y = β 1 + β2X + u
Dada una muestra de n observaciones, el investigador estima β 2 como la media de
Y dividida por la media de X. Discuta las propiedades de este estimador. ¿Qué
diferencias habría si hubiéramos supuesto β 1 = 0?
9