3.6.1. Bondad de un ajuste

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Bioestadı́stica: Métodos y Aplicaciones
Y
,
Observacion
(x , y )
i i
,
Aproximacion
( x i , y i)
y=f(x)
X
Figura 3.4: Mediante las técnicas de regresión de una variable Y sobre una
variable X, buscamos una función que sea una buena aproximación de una
nube de puntos (xi , yi ), mediante una curva del tipo Ŷ = f (X). Para ello
hemos de asegurarnos de que la diferencia entre los valores yi e ŷi sea tan
pequeña como sea posible.
3.6.1.
Bondad de un ajuste
Consideremos un conjunto de observaciones sobre n individuos de una población, en los que se miden ciertas variables X e Y :
X ; x1 , x2 , . . . , xn
Y
; y1 , y 2 , . . . , y n
Estamos interesamos en hacer regresión para determinar, de modo aproximado, los valores de Y conocidos los de X, debemos definir cierta variable
Ŷ = f (X), que debe tomar los valores
Ŷ ;ŷ1 = f (x1 ), ŷ2 = f (x2 ), . . . , ŷn = f (xn )
de modo que:
3.6. REGRESIÓN
Modelo lineal
Buen ajuste
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Modelo lineal
Mal ajuste
Modelo no lineal
Buen ajuste
Cuando x crece,
y crece
Cuando x crece,
y crece
Modelo lineal
Buen ajuste
Cuando x crece,
y decrece
Cuando x crece,
y crece
Modelo no lineal
Buen ajuste
Variables no relacionadas
Ninguna curva de regresion
es adecuada
Cuando x crece,
y decrece
Figura 3.5: Diferentes nubes de puntos y modelos de regresión para ellas.
Y − Ŷ ;y1 − ŷ1 ≈ 0, y2 − ŷ2 ≈ 0, . . . , yn − ŷn ≈ 0
Ello se puede expresar definiendo una nueva variable E que mida las diferencias entre los auténticos valores de Y y los teóricos suministrados por la
regresión,
E = Y − Ŷ ;e1 = y1 − ŷ1 , e2 = y2 − ŷ2 , . . . , en = yn − ŷn
y calculando Ŷ de modo que E tome valores cercanos a 0. Dicho de otro
modo, E debe ser una variable cuya media debe ser 0 , y cuya varianza
SE2 debe ser pequeña (en comparación con la de Y ). Por ello se define el