Ayudantia 4 MAT-266

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
MAT-266
Profesor: Eduardo Valenzuela
Ayudante: Alberto Rubio
Segundo Semestre 2015
Ayudantı́a #4 Análisis de Regresión
1. Considere la regresión por mı́nimos cuadrados de y en K variables X. Considere ahora
un conjunto de regresores alternativos X = XP , donde P es una matriz no singular.
ASı́, cada columna de Z es una mezcla de algunas columnas de X. Pruebe que el vector
de residuos en la regresión de y sobre X e y sobre Z son idénticos. ¿Qué interpretación
le puede dar bajo la idea de un cambio de escala en la variable medida?.
2. Un conjunto de datos consiste de n observaciones en xn e yn . El estimador mı́nimo
cuadrático basado en dichas observaciones viene dado por:
βˆn = (Xn> Xn )−1 Xn> yn
Considere ahora que se disponde de una nueva observación ys y xs . Pruebe que los
estimadores mı́nimos cuadrados basados en las observaciones quedan:
βˆn,s = βˆn +
1
1+
>
−1
x>
s (Xn Xn ) xs
ˆ
(Xn> Xn )−1 xs (y − x>
s βn )
Note que el último término corresponde al residuo de la observación s basado en xs y
βˆn . Concluya que la nueva observación modifica la predicción solo si y no puede ser
exactamente predecido.
3. Sea X un un vector aleatorio p-dimensional con E(X) = µ y COV (X) = Σ. Sea A una
matriz de orden p × p. ENtonces pruebe que:
E(X > AX) = tr(AΣ) + µ> Aµ
Hint: Recuerde que vió en Álgebra Lineal numérica que:
(A ± uv > ) = A−1 ∓
A−1 uv > A−1
1 ± v > A−1 u
4. Dada una muestra aleatoria X1 , X2 , ..., Xn de variables aleatorias con media µ y varianza
σ 2 . Considere la forma cuadrática:
Q=
n
X
(Xi − X)2
i=1
Usando el resultado anterior calcule su esperanza.