EJERCICIOS MODELO DE REGRESI´ON M´ULTIPLE 1. Demostrar

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EJERCICIOS
Tema 3
MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE
1. Demostrar, utilizando transformaciones apropiadas de las variables (ej.: logaritmos,
inversas, etc.) que los siguientes modelos no lineales que relacionan Y con las variables
explicativas X1 , X2 y un término de error ε, se pueden convertir en modelos lineales en
parámetros.
β
β
1. Y = AX1 1 X2 2 exp(ε)
2. Y = exp(β 0 + β 1 X1 + β 2 X2 + ε)
3. Y = (β 0 + β 1 X1 + β 2 X2 + ε)−1
4. Y = (1 + exp(β 0 + β 1 X1 + β 2 X2 + ε))−1
2. En una clase de 124 estudiantes, las puntuaciones obtenidas en un examen de primer
año se ajustan al siguiente modelo estimado por Mínimos Cuadrados Ordinarios,
ŷi = 2.178 + 0.469xi1 + 3.369xi2 + 3.054xi3
(1.10) (0.089)
(0.208)
(1.457)
donde, yi = puntuación del estudiante (escala 0 a 100), xi1 = puntuación esperada por el
estudiante (escala 0 a 100), xi2 = número de horas de estudio dedicadas a la asignatura,
xi3 = puntuación media del estudiante en las otras asignaturas (escala 0 a 100). Los errores
estándar aparecen entre paréntesis.
Se sabe, además, que R2 =0.686,
P
e2i = 12000.
1. Calcula un intervalo (tomando α = 0.05) para el coeficiente β 1 de la puntuación
esperada por el estudiante. Interpreta el resultado.
2. Contrasta individualmente con α = 0.05 que cada una de las tres variables explicativas
es significativa.
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3. Alternativamente, se propone un modelo de regresión simple
ŷi = 4.178 + 4.345xi2
con
P
e2i = 18000. ¿Es justificable la reducción del número de variables en este segundo
modelo, con respecto al primer modelo planteado?.
4. Un alumno de otra clase desea utilizar el primer modelo propuesto para predecir su
puntuación, dado que espera una puntuación de 80, trabaja 5 horas a la semana y su nota
media es de 4. ¿Cuál es el resultado de la predicción?
3. En el modelo de regresión lineal múltiple, Yi = β 0 + β 1 xi1 + β 2 xi2 + εi se cumple que
xi2 = 5 + 2xi1 . Sean β̂ 1 y β̂ 2 los respectivos estimadores MCO, si existen. ¿Cuál de las
siguientes explicaciones es cierta?. Razonar la respuesta.
a) β̂ 1 es el doble de β̂ 2
b) β̂ 1 es la mitad de β̂ 2
c) β̂ 1 y β̂ 2 son iguales
d) No es posible estimar β 1 y β 2
4. Se piensa que los gastos de mantenimiento de la maquinaria de unos altos hornos (Y) son
función de : la antigüedad de la maquinaria (A), el volumen de producción mensual (V), la
calidad del combustible utilizado en las máquinas (C) y el salario medio de los trabajadores
(W).
a) Formula un modelo de regresión lineal que refleje esta relación.
b) Discute cuál sería el signo esperado de cada uno de los coeficientes del modelo anterior.
c) Comenta la posible interpretación económica del término constante.
5. Considera el modelo de regresión
Yi∗ = β 1 + β 2 Xi∗ + εi
donde Yi∗ y Xi∗ son las observaciones centradas de las variables originales, es decir Xi∗ =
(Xi − X̄) y Yi∗ = (Yi − Ȳ ). En este caso, la línea de regresión debe pasar a través del origen.
¿Cierto o falso? Muestra los cálculos.
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6. En un estudio sobre el consumo de cerveza en 30 países se estima la siguiente ecuación
de demanda:
ln C = −3, 224 − 1, 020 ln Pc + 0, 583 ln Pl + 0, 210 ln Pb + 0, 923 ln M
R2 = 0, 825
SCR = 0, 089
donde C es el consumo en litros de cerveza, Pc el precio del litro de cerveza, Pl el precio del
litro de otros licores, Pb el precio de otros bienes de consumo y M es la renta. La matriz
de varianzas-covarianzas estimada es la siguiente:






d ar(β̂) = 
P opV







14, 010
0, 630
0, 057
0, 460
0, 050
0, 314
0, 124
0, 010
−0, 008
0, 006
−0, 510 −0, 055 −0, 200 −0, 011 0, 172












[Nota: β̂ es el vector de todos los coeficentes estimados; de este modo, los elementos
de la diagonal principal son las varianzas estimadas de los estimadores MCO (así, p.ej.,
d ar(β̂ ) = 14, 010), y el resto son las covarianzas estimadas respectivas]
P opV
0
Se pide:
a) Interpreta los coeficientes del modelo.
b) Contrasta la hipótesis de que la elasticidad-renta es igual a uno.
c) Contrasta la hipótesis de que si el precio de la cerveza y la renta suben en la misma
proporción, entonces la cantidad demandada no debería variar.
d) A continuación considera el siguiente modelo estimado:
ln C = −5, 279 − 1, 318 ln Pc + 0, 159(ln Pl + ln Pb ) + 1, 000 ln M
R2 = 0.808
SCR = 0, 098
en el que, como puede observarse, se ha supuesto que la elasticidad-precio de otros licores
y la elasticidad-precio de otros bienes de consumo son iguales. Contrasta si esta hipótesis
es cierta. [Nota: Para todos los contrastes considérese α = 0, 05.]
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