Coordinación de Matemática I (MAT021)

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Coordinación de Matemática I (MAT021)
1er Semestre 2009
Hoja de Trabajo “Trigonometrı́a-1”
1. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas:
1 + sin α
1 − sin α
b) sin(4α) cos(α) − sin(3α) cos(2α) = sin(α) cos(2α)
a) (tan α + sec α)2 =
c) 4(cos6 α + sin6 α) = 1 + 3 cos2 2α
µ
¶
1
d ) sin4 α + 2 sin2 α 1 −
= 1 − cos4 α
csc2 α
µ
¶2
1 + tan2 α
1 − tan α
e)
=
1 − cot α
1 + cot2 α
f ) (sec α − 1)2 − tan2 α = (1 − cos α)2
2. Si α + β + γ = π, demuestre que:
a) tan α + tan β + tan γ = tan α · tan β · tan γ
b) cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin α2 · sin β2 · sin γ2
3. Si 0 < α <
π
y sec α + tan α = 2. Calcule cos α.
2
n sin α cos α
, pruebe que: tan(α − γ) = (1 − n) tan α.
1 − n sin2 α
√
5. Pruebe que: cot(15◦ ) = 2 + 3
4. Si tan γ =
6. Pruebe que: cos(36◦ ) − sin(18◦ ) =
7. Demuestre que:
1
2
√
1
3
−
=4
sin(10◦ ) cos(10◦ )
√
8. Hallar el ángulo de elevación del sol cuando la sombra de un poste de 6 mts. de altura es de 2 3 mts.
9. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre es de 30◦ ; acercandose 100 mts. se encuentra que el
ángulo de elevación es de 60◦ . Hallar la altura de la torre.
10. Desde la cúspide de un monumento de 30m. de altura, los ángulos de depresión de dos objetos, que están
sobre el terreno en la dirección oeste del monumento son de 45◦ y 30◦ respectivamente. Hallar la distancia
que los separa.
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11. Un poste telegráfico está inclinado con un ángulo de 15◦ de la vertical del sol. El poste emite una sombra de
10 metros de largo cuando el ángulo de elevación del sol es de 24◦ . Encuentre la longitud del poste.
12. Los puntos A y B son los extremos de un túnel que pasará debajo de una montaña. Desde un punto C, lejos de
la montaña, un topógrafo puede ver esos puntos y determina que AC mide 480 metros, CB mide 320 metros
y el ángulo C mide 72◦ . ¿Cuál es la longitud del túnel.
13. La gran pirámide de Egipto, es regular y de base cuadrada. El ángulo de inclinación de las caras con respecto
a la base es de 52◦ . Desde una distancia de 100 metros, perpendicular al punto medio de un lado de la base,
se ve la punta de la pirámide con un ángulo de elevación de 34◦ . Calcule la altura de la pirámide.
14. Probar que
sen(x + y)
tan x + tan y
=
sen(x − y)
tan x − tan y
15. Aplique la ley de los senos para mostrar que el área de un triángulo ABC puede darse como:
S=
16. Probar
a2 sen β sen γ
2 sen α
sen 3α cos 3α
−
=2
sen α
cos α
17. Demostrar que
cos(10◦ ) + sen(40◦ ) =
18. Si en un 4ABC, el ángulo β =
√
3 sen(70◦ )
π
, demuestre que:
3
1
1
3
+
=
.
a+b b+c
a+b+c
19. Demostrar que un 4ABC se cumple que :
4 · Area(4) · (cot(α) + cot(β) + cot(γ)) = a2 + b2 + c2 .
20. Considere resolver los ejercicios de Sección 2.6: Stein & Barcellos. Vol 1.
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