Unidad 1: Números Complejos

Unidad 1: Números Complejos
1.1
Introducción
Además de los conjuntos de números naturales, enteros, racionales y reales existe el conjunto de números
complejos que juegan un rol importante no solo en matemáticas sino en las ciencias en general. La primera
aplicación matemática que tienen estos números es que sirven para resolver la siguiente ecuación
x2 =
1:
(1)
Babilónios, Griegos y Árabes consideraban imposible la solución de éste problema. El primer indicio de solución
surgió con Girolamo Cardano (1501-1576) y Tartaglia (1499-1557). A partir de entonces y durante varios siglos,
los matemáticos trabajaron con números complejos sin con…rmar su existencia. Actualmente son muy utilizados
en las aplicaciones prácticas como en las corrientes eléctricas y en la física subatómica.
Sabemos que esta ecuación no tiene solución real, ya que cualquier número real elevado al cuadrado es no
negativo. Para resolver la ecuación (1) introduciremos la unidad imaginaria, denotada por "i"; con la siguiente
propiedad
i2 = 1;
como su cuadrado es negativo, la letra "i" no representa un número real.
El sistema numérico que resultó al introducir la unidad imaginaria, se llama conjunto de números complejos.
1.2
Forma binómica o canónica
De…nición 1 Sean a y b números reales, de…nimos el número complejo z como
z = a + b i;
donde i2 =
1:
Ésta es la forma binómica o canónica del número complejo z: El conjunto de números complejos se lo denota
por C:
Notamos que si z = a + b i y b = 0 entonces el número complejo es simplemente un número real. Es decir,
que cualquier número real x; se lo puede ver o mirar como un número complejo de la forma z = x + 0 i: Esto
nos dice que el conjunto de número complejos contiene al conjunto de números reales. Por esto decimos que a
es la parte real y b la parte imaginaria del número complejo a + b i:
La igualdad, suma, resta y multiplicación de números complejos, están de…nidas de modo que se conservan
las reglas del álgebra de números reales. Esto es:
De…nición 2 Dos números complejos z = a + b i y w = c + d i son iguales cuando tienen la misma parte
real e imaginaria, es decir
z = w cuando a = c y b = d:
1.2.1
Operaciones entre números complejos
Producto por un real k :
De…nición 3 Dado un número complejo a + b i y un número real k entonces
k (a + b i) = ka + (kb) i:
Ejemplo 1 ( 2) (2
3 i) = ( 2) 2 + (( 2) ( 3)) i =
4 + 6 i:
Suma:
De…nición 4 Si z = a + b i y w = c + d i son dos números complejos entonces
z + w = (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i:
1
Álgebra 2009
Resta:
De…nición 5 Si z = a + b i y w = c + d i son dos números complejos entonces
z
w = (a
c) + (b
d) i:
Observación. La resta de dos números complejos se puede de…nir en forma similar al de números reales, es
decir
z w = z + ( 1)w:
Ejemplo 2 Calcular:
1. (2
3i) + ( 1 + 4i) = (2
1) + ( 3 + 4) i = 1 + 1i = 1 + i:
2. (2
3i)
( 1)) + ( 3
( 1 + 4i) = (2
4) i = (2 + 1) + ( 7) i = 3
7i:
Multiplicación o producto:
De…nición 6 Si z = a + b i y w = c + d i son dos números complejos entonces el producto es:
z:w = (a + b i) : (c + d i) = (ac
bd) + (ad + bc) i:
Para multiplicar dos números complejos podemos usar la de…nición anterior o la propiedad distributiva y que
i2 = 1:
Ejemplo 3
1. Resolver usando la de…nición del producto de complejos:
(2 3i) ( 1 + 4i) = (2 ( 1) ( 3) 4) + (2 4 + ( 3) ( 1)) i =
( 2 ( 12)) + (8 + 3) i = ( 2 + 12) + (11) i = 10 + 11i:
2. Resolver usando la propiedad distributiva:
(2 3i) ( 1 + 4i) = 2 ( 1) + 2 (4i) + ( 3i) ( 1) + ( 3i) (4i) =
2 + 8i + 3i + 12i2 = 2 + 11i 12 ( 1) = ( 2 + 12) + (11) i = 10 + 11i:
Las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la suma y la multiplicación, son ciertas para los
números complejos. Pero para analizar la existencia del inverso multiplicativo de un número distinto de cero
se deben hacer algunas consideraciones previas:
Conjugado de un número complejo:
De…nición 7 El conjugado del número complejo z = a + b i es z = a
1. 2 + 3i = 2
3i = 2
2.
2 + 4i
2
4i =
b i:
3i
3. 2 = 2 + 0i = 2
Propiedades del conjugado de un número complejo:
1. El conjugado de un número real es el mismo número.
2. El conjugado del conjugado de un número complejo es el mismo número.
z=z
3. El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados:
z+w =z+w
2
Álgebra 2009
4. El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados:
z:w = z:w
5. (Propiedad importante) El producto de un número complejo por su conjugado es un número real no
negativo. Es decir, si z = a + b i; entonces
b i) = a2
z:z = (a + b i) (a
ab i + ba i
b2 i2 = a2 + b2 :
De…nición 8 Sea el número complejo z 6= 0; el inverso multiplicativo o simplemente el inverso de z es el
número complejo w tal que z:w = 1; a w se lo denota por z 1: Si z = a + b i 6= 0; el inverso de z es
z
1
=
1
a
1
=
= 2
z
a+bi
a + b2
b
i:
a2 + b2
Observación. En la fórmula anteror observamos que el denominador de la parte real e imaginaria del inverso
de z es un número real a2 + b2 ; si usamos la propiedad 5 de conjugado de un número complejo, que es
multiplicar en el denominador y numerador por el conjugado de z tenemos otra forma de calcular el inverso de
z:
1
a bi
(a b i)
a
b
1
1 z
=
=
= 2
i:
z 1= =
2
2
a + bi
a bi
(a + b i) (a b i)
a +b
a + b2
z
z z
Cociente:
De…nición 9 El cociente de dos números complejos es el producto del numerador por el inverso del denominador, es decir, si z = a + bi y w = c + di, y w 6= 0, tenemos que
z
= z:w
w
1
=
a+bi
(ac + bd) (bc ad)
= 2
+ 2
i:
c+di
c + d2
c + d2
Observación. El número complejo que resulta de hacer el cociente entre z y w; podemos obtenerlo multiplicando por el conjugado del denominador, es decir que:
z
= z:w
w
1
=
a+bi
a+bi
=
c+di
c+di
c
c
di
di
=
(a + b i) (c
(c + d i) (c
d i)
(ac + bd) + (bc
=
d i)
c2 + d2
ad) i
=
(ac + bd) (bc ad)
+ 2
i:
c2 + d2
c + d2
Ejemplo 4 Cocientes de complejos:
1.
2.
1
2
3i
=
(2
(2 + 3i)
(2 + 3i)
(2 + 3i)
2
3
=
=
+ i:
2 =
2
3i) (2 + 3i)
13
13
13
2 + ( 3)
3 i
(3 i) ( 1 4i)
(3 ( 1)
=
=
1 + 4i
( 1 + 4i) ( 1 4i)
7
11
i:
17 17
( 1) ( 4)) + (3 ( 4) + ( 1) ( 1)) i
( 3
=
2
2
( 1) + 4
4) + ( 12 + 1)
=
1 + 16
La siguiente tabla proporciona un resumen de algunas de…niciones que usaremos, donde z = a + b i y
w =c+di
Terminología
Números complejos
Nro. imaginario puro
Igualdad, z = w
Suma, z + w
Producto, z:w
Producto por un real k; k:z
Resta, z w
Conjugado de z; z
1
Inverso de z; z 1 =
z
z
1
Cociente, z:w =
w
De…nición
a + b i donde a y b son reales e i2 = 1
a + b i cuando a = 0
a + b i = c + d i si y solo si a = c y b = d
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i
(a + b i) (c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i
k (a + b i) = ka + (kb) i
(a + b i) (c + d i) = (a c) + (b d) i
a+bi=a bi
1
a
b
= 2
i
2
2
a+bi
a +b
a + b2
a+bi
(ac + bd) (bc ad)
= 2
+ 2
i
c+di
c + d2
c + d2
3
Álgebra 2009
1.3
Forma polar o trigonométrica de un número complejo
Así como los números reales se pueden representar geométricamente en la recta, los números complejos se
pueden representar en el plano1 . Sea z = a + bi; lo representamos como el punto (a; b) del plano coordenado o
plano complejo, el eje horizontal se lo denomina eje real y al vertical eje imaginario
z2 =
Eje imaginario
2 + 3i
3 z4 = 0 + 3i
z1 = 3 + 2i
2
1
z5 = 2 + 0i
2
1
0
1
2
Eje real
3
1
z3 =
2
1i
z1 = 3
2i
2
Notemos que para representar el conjugado z = a bi de un número complejo z = a + bi solo hay que
re‡ejarlo en el eje real.
Recordemos que el valor absoluto de un número real a; que se denota por jaj es la distancia que hay al
origen. En forma similar podemos decir que el valor absoluto de un número complejo z = a + b i, es la distancia
del punto (a; b) al origen (0; 0) del plano coordenado, es decir que
p
De…nición 10 El módulo o valor absoluto de z = a + b i; es ja + bij = a2 + b2 :
Ejemplo 5 Calcular el módulo de
p
p
p
1. jz1 j = j3 + 2ij = 32 + 22 = 4 + 9 = 13;
q
p
p
2. jz1 j = j3 2ij = 32 + ( 2)2 = 4 + 9 = 13; (note que jz1 j = jz1 j :)
3. j3ij = j0 + 3ij =
p
02 + 32 =
p
9 = 3;
p
p
4. j2j = j2 + 0ij = 22 + 02 = 4 = 2; (note que ésta forma de calcular el módulo coincide con el cálculo
del valor absoluto como número real.)
Consideremos el número complejo z = a + bi distinto de cero. Sea el ángulo medido en sentido contrario
al de giro de las agujas de un reloj, entre el eje horizontal x y el segmento que une el punto (a; b) con el origen,
y dado que
8
a
>
cos =
>
<
r
p
con r = a2 + b2
>
>
: sen = b
r
vemos que a = r cos y b = r sen ; por lo tanto tenemos que
z = a + b i = (r cos ) + (r sen ) i = r (cos + i sen )
p
notemos que r = a2 + b2 ; es el módulo de z; y
de elegir el ángulo ; se restringe al intervalo 0
se denomina argumento de z: De las in…nitas posibilidades
<2 o0
< 360 :
1
Fue John Wallis (1673) el primero en sugerir la representación grá…ca de un número complejo, la cual no fue usada hasta 1800
por Karl F. Gauss.
4
Álgebra 2009
y
(a; b)
r
b
x
a
Usando el módulo y el argumento de un número tenemos otra forma de representar un número complejo que
se la denomina forma polar, esta representación juega un rol fundamental ya que simpli…ca ciertas operaciones
entre estos números. Formalmente
De…nición 11 La forma polar o trigonométrica de un número complejo z = a + b i es
z = r (cos + i sen ) = r cis ;
donde a = r cos ; b = r sen ; r =
p
a2 + b2 ; y
8
b
>
>
arctg
>
>
a
>
>
>
>
>
>
>
b
>
>
arctg + 2
>
>
a
>
>
>
>
<
b
=
arctg +
>
a
>
>
>
>
>
>
>
>
o 90
>
>
>
2
>
>
>
>
>
>
>
: 3 o 270
2
si a > 0 y b > 0
si a > 0 y b < 0
(2)
si a < 0
si a = 0 y b > 0
si a = 0 y b < 0
Ejemplo 6 Calcular la forma polar o trigonométrica de
z=
p
2 + 2 3 i:
Comenzamos por hacer la representación grá…ca.
z=
p
2 + 2 3i 4
y
p
2 3
3
jzj
2
1
3
2
1 x
1
1
5
Álgebra 2009
Calculemos el módulo y el argumento del número. Así, tenemos que el módulo es
r
p 2 p
p
jzj = ( 2)2 + 2 3 = 4 + 4 3 = 16 = 4
Para calcular , tenemos que
como a < 0 por (2)
3
=
+
3
p
2 3
tg =
=
2
=
p
3
2
(segundo cuadrante). Por lo tanto la forma polar de z es
3
z = 4 cos
2
2
+ i sen
3
3
:
Igualdad en forma polar:
De…nición 12 Dos números complejos en forma polar son iguales cuando tienen igual módulo y los argumentos
di…eren en un múltiplo entero de 2 ; es decir, si z = jzj(cos 1 + i sen 1 ) y w = jwj(cos 2 + i sen 2 ) cuando
jzj = jwj y existe k 2 Z; tal que 2 = 1 + 2k (o 2 = 1 + k:360 ).
Ejemplo 7 Tenemos que los siguientes números complejos son iguales:
3 cis 405 = 3 cis 765 = 3 cis 4005 = 3 cis 45 :
1.3.1
Operaciones en forma polar o trigonométrica
Multiplicación y cociente en forma polar:
Cuando los números complejos se expresan en forma polar, la multiplicación y la división se puede efectuar
según lo indica el siguiente teorema:
Teorema 1 (Producto y cociente de números complejos) Sean z1 = r1 (cos
z2 = r2 (cos 2 + i sen 2 ) entonces
a) z1 z2 = r1 r2 (cos (
+
1
2)
+ i sen (
z1
r1
=
(cos (
z2
r2
b) Si z2 6= 0; entonces
1
+
2 ))
2)
1
= r1 r2 cis (
+ i sen (
1
1
+
2) :
2 ))
=
r1
cis (
r2
1
+ i sen
1)
y
2) :
1
Para realizar la demostración se usan las siguientes fórmulas trigonométricas:
cos (
1
2)
= cos
sen (
1
2)
=
sen
1 cos 2
sen
1 sen
1 cos 2
sen
2 cos 1
2
3
Ejemplo 8 Sea z1 = 2 cis ; y z2 = 3 cis : Tenemos que
4
4
a) z1 z2 = 2 (3) cis
b)
2
z1
= cis
z2
3
4
4
+
3
4
3
4
=
= 6 cis ( ) = cos
2
cis
3
2
=
= (6) ( 1 + i 0) =
2
(0 + i ( 1)) =
3
6
6:
2
i:
3
Álgebra 2009
1.4
Potencias y raíces de números complejos
Usando la forma polar de un número complejo tenemos que para elevar a una potencia basta efectuar productos
sucesivos
z = r (cos + i sen )
z 2 = r2 (cos 2 + i sen 2 )
z 3 = r3 (cos 3 + i sen 3 )
..
.
z n = rn (cos n + i sen n )
La última igualdad se lo conoce como Teorema de De Moivre, formalmente
Teorema 2 (De Moivre) Si z = r (cos + i sen ) y n un entero positivo entonces
z n = (r (cos + i sen ))n = rn (cos n + i sen n ) :
Demostración. Se usa el método de Inducción Matemática, que se verá más adelante.
p
12
Ejemplo 9 Calcular
1 + 3 i : Primero escribimos el número complejo en forma polar y obtenemos que
p
2
2
z = 1 + 3i = 2 cos
+ i sen
: Luego cálculamos
3
3
z 12 = 212 cos 12
2
2
+ i sen 12
3
3
= 4096 (cos 8 + i sen 8 ) = 4096:
Las potencias de i siguen un patrón que es útil conocer
i1
i2
i3
i4
i5
i6
i7
i8
=i
= 1
= i2 :i = i
= i2 :i2 = ( 1) ( 1) = 1
= i4 :i = 1:i = i
= i4 :i2 = 1 ( 1) = 1
= i4 :i3 = 1 ( i) = i
= i4 :i4 = 1;
y así sucesivamente. Por tanto, las potencias de i se repiten cada cuarta potencia.
Ejemplo 10 Evaluar:
1. i25 = i24 :i = i4
6
(i) = 1:i = i
2. i103 = i100 :i3 = i4
25
( i) = 1: ( i) =
i
Recordemos que en los números reales, la raiz n ésima es la operación inversa de la potencia, para los
números complejos se da una situación similar, formalmente
De…nición 13 Un número complejo w = c + d i es una raíz n ésima del número complejo z = a + b i si
z = wn :
(3)
En lugar de usar la forma binomial del complejo en la ecuación (3) escribiremos a w y a z en forma polar,
sean
z = r (cos + i sen ) y w = s (cos + i sen ) ;
entonces la ecuación (3) queda
r (cos + i sen )
+ i sen ))n
= (s (cos
Teorema de DeMoivre
=
sn (cos n + i sen n )
por lo tanto tenemos que
r = sn
n = + 2k :
7
Álgebra 2009
es decir que
p
8
s= nr
>
<
Así tenemos
w=
p
n
>
:
r cos
n
+2 k
:
n
=
+
2 k
n
+ i sen
n
+
2 k
n
;
si sustituimos k = 0; 1; :::n 1; obtenemos n valores distintos de w; que se denominan raíces n esimas de z:
Ningún otro valor de k; producirá una nueva raíz. Por lo tanto tenemos demostrado el siguiente resultado
Teorema 3 (Raíces n ésimas de un número complejo) Sea z = r (cos + i sen ) un número complejo.
Si z 6= 0; existen n raíces enésimas complejas distintas de z dadas por la fórmula
wk =
donde k = 0; 1; :::; n
r cos
n
+
2 k
n
+ i sen
+
n
2 k
n
1. Usando que 2 = 360 tenemos equivalentemente que
wk =
donde k = 0; 1; :::; n
p
n
p
n
r cos
n
+
360 k
n
+ i sen
+
n
360 k
n
1:
p
Observación: Todas las raíces n esimas de z tienen el mismo módulo n r , de aquí que si hacemos su
p
repesentación geómetrica de la n raices, éstas se encuentran en una circunferencia de radio n r con centro en
2
360
0, e igualmente espaciadas ya que la diferencia en los argumentos de las raíces sucesivas es de
o
: Es
n
n
decir, las raíces n esimas de z; son los vértices de un polígono regular inscripto en la circunferencia de radio
p
2
360
n
r y con ángulo central
o
:
n
n
p
Ejemplo 11 Hallar las raíces terceras de z = 1 + 3 i y representar grá…camente las raíces.
Primero representamos a z =
1+
z=
p
3i en forma polar con grados.
p
1 + 3i = 2 (cos 120 + i sen 120 ) :
En este caso n = 3; por lo tanto tenemos
wk =
p
3
2 cos
360 k
120
+
3
3
+ i sen
360 k
120
+
3
3
=
p
3
2 (cos (40 + 120 k) + i sen (40 + 120 k))
donde k = 0; 1; 2: Es decir que
p
w0 = 3 2 (cos (40 + 120 0) + i sen (40 + 120 k))
=
p
3
2 (cos 40 + i sen 40 )
w1 =
p
3
2 (cos (40 + 120 1) + i sen (40 + 120 1)) =
p
3
2 (cos 160 + i sen 160 )
w2 =
p
3
2 (cos (40 + 120 2) + i sen (40 + 120 2)) =
p
3
2 (cos 280 + i sen 280 )
8
Álgebra 2009
2
1
w0 =
w1 =
p
3
2(cos160 + isen160 )
p
3
2(cos40 + isen40 )
160
40
2
1
p
3
280
1
2
2
1
w2 =
p
3
2(cos280 + isen280 )
2
Ejemplo 12 Resolver la ecuación z 4
1 = 0:
Si escribimos la ecuación equivalente z 4 = 1; vemos que las soluciones de la primera ecuación son las cuatro
raíces cuartas del número complejo 1:
Escribiendo 1; en forma polar, tenemos que z = 1 = 1 (cos 0 + i sen 0 ) y n = 4; por lo tanto
wk =
p
4
1 cos
0 + 360 k
0 + 360 k
+ i sen
4
4
= 1 cos
360 k
360 k
+ i sen
4
4
donde k = 0; 1; 2; 3: Es decir que las cuatro soluciones de la ecuación son
w0
w1
w2
w3
= 1 (cos 0 + i sen 0 )
= 1 + 0i = 1
= 1 (cos 90 + i sen 90 )
= 0 + 1i
= 1 (cos 180 + i sen 180 ) = 1 0i
= 1 (cos 270 + i sen 270 ) = 0 1i:
w1
w2
1
w0
90
1
180
1
0
270
1
w3
Observando lo anterior, podemos utilizar lo anterior para encontrar las dos números complejos que son
solución de una ecuación de segundo grado.
Ejemplo 13 Resolver la ecuación x2 =
1:
9
Álgebra 2009
Escribiendo
wk =
p
2
1; en forma polar, tenemos que z =
1 cos
1 = 1 (cos 180 + i sen180 ) y n = 2; por lo tanto
180 + 360 k
180 + 360 k
+ i sen
2
2
= 1 (cos 90 + 180 k + i sen 90 + 180 k)
donde k = 0; 1: Es decir que las dos soluciones de la ecuación son
w0 = 1 (cos 90 + i sen 90 )
=0+1i=i
w1 = 1 (cos 270 + i sen 270 ) = 0 1 i = i
Ejemplo 14 Sea p un número real positivo, resolver la ecuación x2 =
p:
Este ejemplo se puede resolver en forma similar al anterior, se deja como ejercicio. Lo hacemos usando la
fórmula para resolver una ecuación de segundo grado. Haciendo pasaje de términos tenemos que x2 = p; se
puede escribir como
x2 + 0x + p = 0;
(4)
p
p
p
p
2 p
1
0
02 4 1 p
1:4:p
p p
x1;2 =
=
=
=
p
1:
2 1
2
2
Así tenemos que las soluciones son:
p
p
x1 = pi y x2 =
pi:
Veri…quemos que x1 es solución de la ecuación (4)
p
p
x21 + p = ( pi)2 + p = ( p)2 i2 + p = p ( 1) + p =
p + p = 0:
En forma similar tenemos que x2 también es solución de la ecuación (4)
x22 + p = (
p
p
pi)2 + p = ( 1)2 ( p)2 i2 + p = p ( 1) + p =
p + p = 0:
Observación. Otra aplicación de los números complejos es que se puede resolver ecuaciones del tipo xn +p = 0;
para todo p 2 Z y n 2 N:
Ejemplo 15 Resolver la ecuación de segundo grado
3x2 + 4x + 5 = 0:
Usando la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado tenemos que
p
p
p
4
42 4 3 5
4
42 60
4
44
x1;2 =
=
=
:
2 3
6
6
Por Teorema 3 las raíces cuadradas del número complejo z = 44 son:
p
p
z1 = 44 i y z2 =
44 i:
Luego
x1 =
x2 =
4+
p
44
4
6p
44
6
=
=
p
4
44 i
+
=
6 p6
44 i
4
=
6
6
2 1p
+
11 i
3 3
2 1p
11 i:
3 3
Observación Importante. Notar que los números complejos pueden resolvar cualquier ecuación, en particular resuelven cualquier ecuación de segundo grado.
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Álgebra 2009