Notas sobre Lógica Aristotélica

Notas sobre Lógica Aristotélica
Félix Bou
[email protected]
Facultad Filosofı́a (UB)
7 de octubre de 2010
Los enunciados básicos categóricos son de alguno de los cuatro tipos siguientes:
Universal Afirmativo (A): Todo S es P.
Universal Negativo (E): Ningún S es P.
Particular Afirmativo (I): Algún S es P.
Particular Negativo (O): No todo S es P (es decir, algún S no es P).
Es importante destacar que el papel que juegan los sı́mbolos S y P en los
enunciados anteriores es el de variables.
A continuación vamos a fijarnos en estos cuatro tipos de enunciados y
vamos a discutir algunos aspectos lógicos de ellos. Estos detalles que discutimos están relacionados con los valores de verdad asociados a los enunciados
categóricos.
1.
Comparación de los valores de verdad de
los enunciados categóricos
Para comenzar esta discusión en primer lugar introducimos una definición
que nos relaciona dos enunciados arbitrarios. Esta definición sólo nos va a
interesar en la discusión siguiente en el caso de enunciados categóricos, pero
es claro que es una definición con perfecto sentido para cualquier par de
enunciados.
1
Definición 1.1. Sean α y β dos enunciados. Se dice que
α y β son contradictorios en el caso que todas las asignaciones de
valores de verdad para estas dos fórmulas se encuentran entre las dos
de la tabla siguiente
α
V
F
β
F
V
α y β son contrarios en el caso que todas las asignaciones de valores de
verdad para estas dos fórmulas se encuentran entre las tres de la tabla
siguiente
α
V
F
F
β
F
V
F
α y β son subcontrarios en el caso que todas las asignaciones de valores
de verdad para estas dos fórmulas se encuentran entre las tres de la
tabla siguiente
α
V
V
F
β
V
F
V
α es subalterno de β en el caso que todas las asignaciones de valores de
verdad para estas dos fórmulas se encuentran entre las tres de la tabla
siguiente
α
V
F
F
β
V
V
F
Nota 1.2. Es evidente que las tres primeras nociones son simétricas, mientras
que la última no lo es. También conviene enfatizar que no son nociones independientes: por ejemplo, si α y β son enunciados contradictorios entonces
también son contrarios.
2
Nota 1.3. Es interesante destacar que las nociones anteriores se podrı́an haber
introducido utilizando el concepto de verdad lógica, puesto que se cumple que
α ↔ ¬β es una verdad lógica.
α y β son contradictorios
sii
α y β son contrarios
¬(α ∧ β) es una verdad lógica.
sii
α y β son subcontrarios
α es subalterno de β
sii
sii
α ∨ β es una verdad lógica.
α → β es una verdad lógica.
Además, afirmar que α sea subalterno de β expresa exactamente lo mismo
que afirmar que α implica β; y lo mismo que afirmar que β es consecuencia
lógica de α.
Pregunta 1.4. ¿Son contradictorios los enunciados “Todos los humanos son
mamı́feros” y “algunos humanos son mamı́feros”?
A continuación vamos a comparar los valores de verdad de los cuatro
tipos de enunciados categóricos. Para poder llevar a cabo esta comparación
tenemos que tener totalmente precisado (sin ambigüedades) el significado
asociado con cada uno de los enunciados categóricos. Nosotros vamos a considerar tres formas diferentes de precisar el significado de los enunciados
categóricos A,E,I,O.
1.1.
Una Primera interpretación de A,E,I,O
En esta primera interpretación consideramos que
1. siempre estamos considerando propiedades S y P que son realizadas
por algún objeto1 , y
2. el enunciado de tipo A expresa lo mismo que la fórmula ∀x(Sx → P x),
3. el enunciado de tipo E expresa lo mismo que la fórmula ∀x(Sx → ¬P x),
4. el enunciado de tipo I expresa lo mismo que la fórmula ∃x(Sx ∧ P x),
5. el enunciado de tipo O expresa lo mismo que la fórmula ∃x(Sx ∧ ¬P x).
1
En otras palabras, en este caso exigimos que por definición las interpretaciones cumplan que para cada uno de los predicados considerados, hay algún objeto que cumple el
predicado en cuestión.
3
Bajo las condiciones expresadas en los cinco puntos anteriores resulta que
obtenemos el siguiente cuadro como resultado de comparar los cuatro tipos
de enunciados categóricos.
A
E
I
O
A — contrarios subalterno de contradictorios
E —
—
contradictorios subalterno de
I —
—
—
subcontrarios
O —
—
—
—
Obviamente, el contenido recogido en el cuadro anterior puede representarse gráficamente de muchas formas. Tradicionalmente, la forma más habitual de representarlo es a través del diagrama (ya posterior a Aristóteles)
conocido como el cuadrado de la oposición 2
La información que nos da el cuadro anterior es exactamente la misma
que afirmar que las únicas posibles distribuciones de valores de verdad se
encuentran entre las de la tabla siguiente:
A
E
A — hV, F i, hF, V i, hF, F i
E —
—
I —
—
O —
—
I
hV, V i, hF, V i, hF, F i
hV, F i, hF, V i
—
—
O
hV, F i, hF, V i
hV, V i, hF, V i, hF, F i
hV, V i, hV, F i, hF, V i
—
Ejercicio 1. Justificar que la distribución de valores de verdad dada en el
cuadro anterior es la mejor que podemos dar. En otras palabras, justificar
que para cada una de las distribuciones de valores de verdad escrita en el
cuadro anterior es posible encontrar términos S y P para los cuales realmente
se cumple esa distribución de valores de verdad.
1.2.
Una Segunda interpretación de A,E,I,O
En esta segunda interpretación vamos a seguir la semántica que a dı́a de
hoy es habitual considerar para la lógica de primer orden. La interpretación
que hacemos queda resumida en los cinco puntos siguientes:
2
Lo podéis ver en la pág. 4 de las notas de Calixto Badesa.
4
1. no asumimos nada con respecto a los predicados S y P (i.e., su interpretación tanto puede ser vacı́a como no vacı́a),
2. el enunciado de tipo A expresa lo mismo que la fórmula ∀x(Sx → P x),
3. el enunciado de tipo E expresa lo mismo que la fórmula ∀x(Sx → ¬P x),
4. el enunciado de tipo I expresa lo mismo que la fórmula ∃x(Sx ∧ P x),
5. el enunciado de tipo O expresa lo mismo que la fórmula ∃x(Sx ∧ ¬P x).
Nótese que la única diferencia con la interpretación dada en 1.1 está en el
primer punto.
Ejercicio 2. A imagen y semejanza de lo hecho en la sección 1.1 escribir el
cuadro correspondiente a esta semántica. Escribir el cuadro de las dos formas
siguientes:
usando la terminologı́a de contradictorio, contrario, subcontrario y subalterno,
escribiendo las distribuciones de valores de verdad que se realizan.
Además, justificar que vuestra respuesta es la mejor posible (en el mismo
sentido que en el Ejercicio 1).
1.3.
Otra interpretación de A,E,I,O
En esta tercera interpretación consideramos que
1. no asumimos nada con respecto a los predicados S y P (i.e., su interpretación tanto puede ser vacı́a como no vacı́a),
2. el enunciado de tipo A expresa lo mismo que ∃xSx ∧ ∀x(Sx → P x),
3. el enunciado de tipo E expresa lo mismo que la fórmula ∀x(Sx → ¬P x),
4. el enunciado de tipo I expresa lo mismo que la fórmula ∃x(Sx ∧ P x),
5. el enunciado de tipo O expresa lo mismo que ¬∃xSx ∨ ∃x(Sx ∧ ¬P x).
5
Bajo estas condiciones resulta que volvemos a obtener el mismo cuadro que
ya obtuvimos en 1.1. Destacamos que en la interpretación anterior se atribuye
alcance existencial a los enunciados afirmativos, pero no a los negativos.
Ası́ pues, ante la falta de precisión en los textos aristotélicos sobre cuál es
la semántica considerada resulta que tanto la primera interpretación como la
tercera interpretación que aquı́ hemos considerado pueden considerarse como
compatibles con el cuadrado de la oposición.
¿En cuál de estas dos semánticas estaba pensando Aristóteles? A dı́a de
hoy, los historiadores en general se inclinan más3 por atribuir a Aristóteles
nuestra tercera interpretación. No obstante, tanto la primera de las interpretaciones como la tercera de las interpretaciones están de acuerdo con los
resultados obtenidos por Aristóteles4 , tanto en tanto al cuadrado de la oposición (visto en esta sección que acaba ahora) como en tanto a los modos
silogı́sticos válidos (según veremos en la siguiente sección).
2.
Estudio de los modos silogı́sticos válidos
En esta sección 2 siempre supondremos (a no ser que se diga lo contrario
explı́citamente) que estamos consideración la tercera interpretación anterior.
Definición 2.1. Un argumento de modo silogı́stico (o simplemente modo
silogı́stico) es un argumento con dos (y sólo dos) premisas y una conclusión,
donde además se cumple que las premisas y la conclusión involucran a tres
términos S, M y P de la forma siguiente:
una premisa (llamada la premisa mayor ) es un enunciado categórico
combinando a los términos M y P,
la otra premisa (llamada la premisa menor ) es un enunciado categórico
combinando a los términos S y M,
la conclusión es un enunciado categórico combinando a los términos S
y P en este preciso orden.
Es habitual referirse a los términos S, M y P como, respectivamente, término
menor, término medio y término mayor.
3
Esto es lo que sugiere Calixto Badesa en sus notas sobre silogı́stica.
Y el autor de estas páginas se inclina más por considerar la primera interpretación
como más natural, y por ende, como la que tiene más números de haber sido la considerada
por Aristóteles.
4
6
¿Cuántos enunciados hay que pueden ser la premisa mayor? Es claro que
hay exactamente las 8 posibilidades siguientes
Amp
Apm
Emp
Epm
Imp
Ipm
Omp
Opm
Para el caso de premisa menor hay exactamente las 8 siguientes posibilidades:
Asm
Ams
Esm
Ems
Ism
Ims
Osm
Oms
Y por último, para el caso de la conclusión hay exactamente las 4 siguientes:
Asp
Esp
Isp
Osp.
Por tanto, resulta que hay 8 × 8 × 4 (i.e., 256) modos silogı́sticos..
El objetivo de esta sección es comentar cuáles de estos 256 modos silogı́sticos son válidos; comentaremos que hay exactamente 24 modos válidos.
Definición 2.2. Tradicionalmente se utiliza el término silogismo sólo para
los modos silogı́sticos que son válidos (es decir, lógicamente correctos)5 .
Antes de comentar la validez de los diversos modos silogı́sticos, vamos a
describir la clasificación de los modos silogı́sticos en figuras.
1. Un modo es de la primera figura en el caso que la premisa mayor
combine M y P en este orden, y la premisa menor combine S y M en
este orden.
2. Un modo es de la segunda figura en el caso que la premisa mayor
combine P y M en este orden, y la premisa menor combine S y M en
este orden.
3. Un modo es de la tercera figura en el caso que la premisa mayor combine
M y P en este orden, y la premisa menor combine M y S en este orden.
5
Recordemos que un argumento se dice que es válido cuando sucede que para cualquier
interpretación en que las premisas son verdaderas resulta que también la conclusión es
verdadera en esa misma interpretación. En consecuencia, un argumento se dice que no es
válido cuando sucede que hay una interpretación en que las premisas son verdaderas y la
conclusión falsa.
7
4. Un modo es de la cuarta figura en el caso que la premisa mayor combine
P y M en este orden, y la premisa menor combine M y S en este orden.
Por tanto, desde un punto de vista gráfico podemos resumir esquemáticamente las cuatro figuras anterior atendiendo a la forma expuesta a continuación
1a Figura
2a Figura
3a Figura
4a Figura
mp
sm
sp
pm
sm
sp
mp
ms
sp
pm
ms
sp
Nota 2.3. Es claro que se trata de una clasificación (es decir, una partición)
puesto que
toda figura tiene algún modo silogı́stico de esa figura,
todo modo silogı́stico es de alguna de esas cuatro figuras,
ningún modo silogı́stico está simultáneamente en dos figuras.
Estas propiedades se pueden resumir esencialmente diciendo que
todo modo silogı́stico está en una y sólo en una de esas figuras.
Y recordemos que las clasificaciones (i.e., particiones) corresponden a relaciones de equivalencia. ¿Qué relación de equivalencia corresponde a la clasificación anterior?
Teniendo en cuenta las (cuatro) figuras anteriores es evidente que podemos usar expresiones, con exactamente 4 sı́mbolos, de la siguiente forma:
los tres primeros sı́mbolos pertenecen al conjunto {A, E, I, O},
el cuarto sı́mbolo pertenece al conjunto {1, 2, 3, 4},
para referirnos a cada uno de los distintos modos silogı́sticos. Por ejemplo,
las expresiones AAA1, EAO3 y AEE4 corresponden, respectivamente, a los
modos silogı́sticos
Amp
Asm
Asp
Emp
Ams
Osp
8
Apm
Ems
Esp
Teniendo esto en cuenta obtenemos otro método para justificar que hay 256
(= 44 ) modos silogı́sticos.
La introducción de las (cuatro) figuras anteriores nos permite ir discutiendo la validez de los modos silogı́sticos figura a figura. Aristóteles dedujo que
hay exactamente 24 modos válidos, habiendo exactamente 6 modos válidos
por figura. Este resultado se suele resumir diciendo que los modos válidos son
los siguientes:
1a Figura : Barbara (AAA1), Celarent (EAE1), Darii (AII1) y Ferio (EIO1).
2a Figura : Cesare (EAE2), Camestres (AEE2), Festino (EIO2) y Baroco
(AOO2).
3a Figura : Darapti (AAI3), Felapton (EAO3), Disamis (IAI3), Datisi (AII3),
Bocardo (OAO3) y Ferison (EIO3).
4a Figura : Bramantip (AAI4), Camenes (AEE4), Dimaris (IAI4), Fesapo
(EAO4) y Fresison (EIO4).
Obviamente, las cuentas no cuadran. La razón es que en el resumen anterior no se escribe explı́citamente aquellos modos válidos que lo son en tanto
aprovechamos la relación de ser subalterno (que recordemos que corresponde
con la implicación lógica), i.e., no hemos escrito aquellos que se obtienen al
cambiar una conclusión A por una I, ni tampoco aquellos que se obtienen al
cambiar una conlcusión E por una O. Si los escribimos todos explı́citamente,
obtenemos que los modos válidos son exactamente:
1a Figura : los 4 anteriores más AAI1 y EAO1.
2a Figura : los 4 anteriores más EAO2 y AEO2.
3a Figura : los 6 anteriores.
4a Figura : los 5 anteriores más AEO4.
¿Cómo podemos deducir que estos son los únicos modos válidos?
Para justificarlo procedemos esencialmente en dos partes bien diferenciadas.
Por una parte, justificaremos que todos estos modos son válidos uando el
método axiomático. Y por la otra parte, justificremos que todos los otros no
son modos válidos explicitando interpretaciones concretas de los términos S,
M y P en las cuales las premisas son verdaderas y la conclusión falsa.
9
Justificando que los otros modos no son válidos. Consideremos por
ejemplo el caso del modo silogı́stico EAI2. ¿Cómo justificamos que este modo no es válido? En primer lugar constatamos que con la expresión EAI2
sabemos que nos referimos al modo silogı́stico
Epm
Asm
Isp
Por tanto, la única forma de justificar que es un modo no válido consiste en
encontrar una interpretación concreta de los términos S, M y P en la cual
Epm y Asm sean verdad, mientras que Isp sea falso. Una posibilidad que
cumple estas condiciones es la que corresponde a la interpretación en que
S se corresponde con los humanos,
P se corresponde con los invertebrados, y
M se corresponde con los mamı́feros.
Razonando de forma análoga a lo explicado en el párrafo anterior uno
puede justificar la no validez de los 232 (= 256 − 24) modos que resultan no
ser válidos.
Ejercicio 3. Justificar por qué el modo silogı́stico EEI3 no es válido.
Justificando que los 24 modos anteriores sı́ son válidos. Vamos a
utilizar el método axiomático (a veces nos referimos a él como a un sistema
deductivo) para justificar la validez de los 24 modos en cuestión (ver más
arriba).
En primer lugar observamos que los argumentos del Cuadro 1 son todos
ellos claramente válidos6 . Las dos primeras reglas de la lı́nea superior se conocen como reglas de conversión simple, mientras que las dos últimas son
las reglas de conversion per accidens. Destacamos que los cuatro modos silogı́sticos que aparecen en la segunda lı́nea del Cuadro 1 son exactamente los
4 modos de la 1a figura que tienen nombre en la tradición escolástica (i.e.,
Barbarr, Celarent, Darii y Ferio). Estos 4 silogismos se conocen habitualmente como los modos perfectos; mientras que el resto de silogismos (i.e., modos
silogı́sticos válidos) suelen llamarse imperfectos.
10
(s1 )
Esp
Eps
Amp
(AAA1) Asm
Asp
(s2 )
Isp
Ips
(p1 )
Emp
(EAE1) Asm
Esp
Asp
Ips
Amp
(AII1) Ism
Isp
(p2 )
Esp
Ops
Emp
(EIO1) Ism
Osp
Cuadro 1: Reglas Primitivas de la Silogı́stica (s, p, m son variables)
A continuación comentamos por qué basta utilizar las reglas del cuadro
anterior para justificar cada uno de los 24 modos silogı́stios válidos. Esto es
ası́ porque cada uno de los 24 modos válidos se puede obtener a partir de las
reglas del Cuadro 1 utilizando una de las dos posibilidades siguientes:
una demostración directa de la conclusión a partir de las premisas utilizando únicamente las reglas del cuadro.
una demostración por reducción al absurdo, i.e., una demostración directa del contradictorio7 de una de las premisas a partir de las premisas
y del contradictorio de la conclusión utilizando únicamente las reglas
del cuadro.
Es interesante destacar que en general no es cierto que para todos los modos silogı́sticos válidos se puedan dar tanto demostraciones directas como
demostraciones por reducción al absurdo.
Seguidamente ilustramos con dos ejemplos la justificación de algunos de
los 24 modos silogı́sticos válidos. Conviene destacar que en principio no es
para nada trivial encontrar la demostración de los modos silogı́sticos válidos. ¿Cómo podemos justificar la validez del modo Festino (EIO2)? Una
6
Aquı́ es conveniente enfatizar que estamos considerando la tercera de las interpretaciones anteriores, i.e., la de la sección 1.3 (comparar con la Nota 2.4) .
7
Obviamente se sobreentienden las siguientes leyes para la contrariedad :
• Asp y Osp son contradictorios, y
• Esp y Isp son contradictorios.
Ası́ pues, cuando se lleva a cabo una demostración por reducción al absurdo, además de
las reglas del Cuadro 1 hay que tener en cuenta las leyes para la contrariedad.
11
demostración directa a partir de las reglas del Cuadro 1 de este modo es la
siguiente
1. Epm
2. Ism (s ) para 1
3. Emp 1
(EIO1) para 3,2
4. Osp
¿Cómo podemos justificar la validez del modo Baroco (AOO2)? Una demostración por reducción al absurdo a partir de las reglas del Cuadro 1 (y
teniendo en cuenta las leyes para la contrariedad) de este modo es la siguiente
1.
2.
3.
4.
Apm
Osm
Asp
(AAA1) para 1,3
Asm
Análogamente a los dos ejemplos anteriores se puede proceder para justificar
todos los otros modos silogı́sticos válidos.
Como hemos comentado más arriba en general no es fácil encontrar la demostración de un modo silogı́stico válido. Afortunadamente, los escolásticos
pusieron los nombres a los diferentes modos válidos de forma que proporcionan pistas de cómo encontrar una demostración para cada uno de los
diversos modos válidos. Las pistas que están escondidas en los nombres son
las siguientes:
la primera letra del nombre del modo (que es B, C, D o F ) indica
qué modo de la primera figura hemos de utilizar en la demostración;
hemos de utilizar el modo de la primera figura que comienza por la
misma consonante.
“m” indica que hay que intercambiar los papeles de la premisa mayor
y menor (cuando utilicemos el modo de la primera figura al que hemos
reducido la demostración).
“c” indica que hay que proceder por reducción al absurdo de forma que
se llegue a una contradicción con la premisa correspondiente a la vocal
que precede la “c”. [Casos: ac, ec, ic, oc]
“s” indica la aplicación de la regla de conversión simple al enunciado
correspondiente a la vocal que precede la “s”. [Casos: es, is]
12
“p” indica la aplicación de la regla de conversión per accidens al enunciado correspondiente a la vocal que precede la “p”. [Casos: ap, ep]
Teniendo estas pistas en cuenta es mucho más fácil obtener demostraciones
para cada uno de los 24 modos válidos. El lector puede comprobar que las
demostraciones dadas más arriba para EIO2 y AOO2 siguen de hecho las
ideas recién comentadas. Y a continuación explicitamos algunas demostraciones para otros modos válidos.
¿Cómo podemos justificar la validez del modo Camenes (AEE4)? Una
demostración directa a partir de las reglas del Cuadro 1 de este modo es la
siguiente
1. Apm
2. Ems (EAE1) para 2,1
3. Eps
(s ) para 4
4. Esp 1
¿Cómo podemos justificar la validez del modo Bocardo (OAO3)? Una
demostración por reducción al absurdo a partir de las reglas del Cuadro 1 (y
teniendo en cuenta las leyes para la contrariedad) de este modo es la siguiente
1. Omp
2. Ams
3. Asp
(AAA1) para 3,2
4. Amp
¿Cómo podemos justificar la validez del modo Cesare (EAE2)? Una demostración directa a partir de las reglas del Cuadro 1 de este modo es la
siguiente
1. Epm
2. Asm (s ) para 1
3. Emp 1
(EAE1) para 3,2
4. Esp
Ejercicio 4. Justificar el modo Dimaris.
Ejercicio 5. Justificar el modo Felapton con la ayuda del modo Ferio (tal y
como sugiere el nombre).
Ejercicio 6. Justificar el modo Felapton mediante una demostración por reducción al absurdo sin usar el modo Ferio. Destacamos que esta no es la
estrategia que sugiere el nombre.
13
Ejercicio 7. Identificar la figura del modo silogı́stico
Ipm
Ems
Osp
Decir si es un modo válido o no, y justificar vuestra respuesta (si creéis que
es válido justificarlo dando una demostración con las reglas del Cuadro 1)
Nota 2.4. ¿Cambia algo si utilizamos la primera o la segunda de las
interpretaciones anteriores? ¿Obtendrı́amos exactamente los mismos modos válidos? En primer lugar consideramos la segunda de las interpretaciones, la de 1.2. Ya vimos en su momento que esta interpretación no
genera el mismo cuadrado de la oposición que las otras 2 interpretaciones; y
obviamente nos da unos modos silogı́sticos válidos diferentes de los 24 modos citados anteriormente: si nos fijamos en las reglas del Cuadro 1 conviene
destacar que las 2 reglas de la conversión per accidens (i.e., (p1 ) y (p2 )) no
son válidas.
Ahora consideramos la primera de las interpretaciones, la de 1.1. Ya vimos en su momento que esta interpretación genera el mismo cuadrado de la
oposición que se obtiene con la tercera interpretación (i.e., con la que hemos
analizado la validez de los modos silogı́sticos). En primer lugar, es interesante
destacar que todos los modos que son válidos según la tercera interpretación
son también válidos según la primera interpretación: esto es ası́ porque claramente todos las reglas del Cuadro 1 son válidas según la primera de las
interpretaciones. Ası́ pues, los 24 modos silogı́sticos destacados anteriormente también són válidos según la primera de las interpretaciones. Por tanto,
para saber si ambas interpretaciones tienen exactamente los mismos modos
silogı́sticos válidos sólo falta responder a la pregunta: ¿hay algún modo no
válido según la tercera de las interpretaciones que sea válido según la primera de las interpretaciones? La respuesta es que no lo hay, es decir, los
modos silogı́sticos válidos según la primera de las interpretaciones coincide
con exactamente con los 24 modos válidos para la tercera interpretación que
hemos comentado más arriba. La justificación de este hecho se basa en comprobar uno a uno que los 232 modos no válidos según la tercera interpretación
tampoco son válidos según la primera interpretación. Esta es una tarea muy
tediosa de comprobar, pero no tiene ninguna idea original, ası́ que no nos
vamos a entretener en hacer todos los casos.
Ejercicio 8. Considerar uno (el que queráis) de los 232 modos no válidos
14
(s1 )
Esp
Eps
(p1 )
Amp
(AAA1) Asm
Asp
Asp
Ips
Emp
(EAE1) Asm
Esp
Cuadro 2: Simplificación de las Reglas Primitivas de la Silogı́stica (s, p, m
son variables)
según la tercera de las interpretaciones, y justificar que tampoco es válido
según la primera de las interpretaciones.
Nota 2.5 (Simplificación de las reglas primitivas). En esta nota destacamos
que no son necesarias las 8 reglas escritas en el Cuadro 1, de hecho son
suficientes las explicitadas en el Cuadro 2. Para justificar esto es suficiente
justificar que las cuatro reglas del Cuadro 1 que hemos quitado se pueden
deducir utilizando sólo las dadas en el Cuadro 2. Seguidamente damos demostraciones por reducción al absurdo para las tres primeras de ellas, y dejamos
la última como ejercicio.
1. Isp
2. Eps
(s ) para 2
3. Esp 1
1. Esp
2. Aps
(p1 ) para 2
3. Isp
1. Amp
2. Ism
3. Esp
(s ) para 3
4. Eps 1
(EAE1) para 4,1
5. Ems (s ) para 5
6. Esm 1
Ejercicio 9. Justificar el modo silogı́stico EIO1 con una demostración por
reducción al absurdo utilizando sólo la reglas del cuadro 2.
A.
Ejercicios Resueltos
Ejercicio 1. Con los cuatro casos siguientes
15
S humano, P mamı́fero
S humano, P invertebrado
S mujer, P humano
S humano, P mujer
A
V
F
V
F
E
F
V
F
F
I
V
F
V
V
O
F
V
F
V
es suficiente para justificar que realmente se realizan todas las posibilidades
indicadas en la tabla de la pág. 4.
A modo de ejemplo vamos a justificar que realmente se da la distribución
de valores de verdad hF, F i para el caso de los enunciados de tipo E y O
(en todos los otros casos se procede de forma análoga). Este caso queda
justificado, por ejemplo, con la primera lı́nea de la tabla de más arriba.
Ejercicio 2. El cuadro que se obtiene para esta semántica (la segunda) es el
siguiente
A
A —
E —
I —
O —
A
A —
E —
I —
O —
E
I
O
sin vı́nculos
sin vı́nculos
contradictorios
—
contradictorios
sin vı́nculos
—
—
sin vı́nculos
—
—
—
Escribiendo esplı́citamente las distribuciones de valores de verdad obtenemos
la tabla
E
I
O
hV, V i, hV, F i, hF, V i, hF, F i hV, V i, hV, F i, hF, V i, hF, F i
hV, F i, hF, V i
—
hV, F i, hF, V i
hV, V i, hV, F i, hF, V i, hF, F i
—
—
hV, V i, hV, F i, hF, V i, hF, F i
—
—
—
La justificación de que todas las posibilidades expresadas en esta última tabla
realmente se cumplen se puede justificar con los cinco ejemplos siguientes
(observamos que sólo hemos añadido uno con respecto a los considerados en
el Ejercicio 1)
A
S cristiano ateo, P humano V
S humano, P mamı́fero
V
S humano, P invertebrado F
S mujer, P humano
V
S humano, P mujer
F
16
E
V
F
V
F
F
I
F
V
F
V
V
O
F
F
V
F
V
Ejercicio 3. El modo llamado EEI3 es el correspondiente al argumento
Emp
Ems
Isp
La única forma de justificar que EEEI3 no es válido consiste en encontrar
una interpretación concreta de los términos S, M y P en la cual Emp y
Ems es verdad, mientras que Isp es falso. Una posibilidad que cumple estas
condiciones es la que corresponde a la interpretación en que
S se corresponde con los humanos,
P se corresponde con los perros, y
M se corresponde con los gatos.
Ejercicio 4. El modo Dimaris (IAI4) es el correspondiente al argumento
Imp
Ams
Isp
Una demostración directa del modo IAI4 a partir de las reglas del Cuadro 1
es la siguiente
1. Ipm
2. Ams (AII1) para 2,1
3. Ips
(s2 ) para 3
4. Isp
Ejercicio 5. El modo Felapton (EAO3) es el correspondiente al argumento
Emp
Ams
Osp
Una demostración directa del modo EAO3 a partir de las reglas del Cuadro 1
es la siguiente
1. Emp
2. Ams (p ) para 2
1
3. Ism (EIO1)
para 1,3
4. Osp
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Ejercicio 6. A continuación damos una demostración por absurdo del modo
EAO3 a partir de las reglas del Cuadro 1 (y teniendo en cuenta las leyes para
la contrariedad).
1. Emp
2. Ams
3. Asp
(AAA1) para 3,2
4. Amp
(p ) para 4
5. Ipm 1
(s ) para 5
6. Imp 2
Ejercicio 7. El modo silogı́stico
Ipm
Ems
Osp
es de la 4a figura. Por tanto, este modo es el que hemos llamado anteriormente como IEO4. Seguidamente justificamos que se trata de un modo no
válido. La única forma de justificar que IEO4 no es válido consiste en encontrar una interpretación concreta de los términos S, M y P en la cual Ipm y
Ems es verdad, mientras que Osp es falso. Una posibilidad que cumple estas
condiciones es la que corresponde a la interpretación en que
S se corresponde con los humanos,
P se corresponde con los mamı́feros, y
M se corresponde con los gatos.
Ejercicio 8. Para este ejercicio aquı́ vamos a considerar el modo AOI2, i.e.,
el modo silogı́stico
Apm
Osm
Isp
Este modo sabemos que no válido según la tercera de las interpretaciones.
Antes de justificar que no es válido según la primera de las interpretaciones,
voy a dar una justificación de porque no és válido según la tercera de las
interpretaciones. Que no es válido según la tercera de las interpretaciones se
debe a que existe una interpretación en la que
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∃xP x ∧ ∀x(P x → M x) es verdad,
¬∃xSx ∨ ∃x(Sx ∧ ¬M x) es verdad, y
∃x(Sx ∧ P x) es falso.
Un ejemplo de interpretación que cumple estas tres condiciones es la que
interpreta S como los humanos,
interpreta M como animales domésticos (gatos, perros, etc),
interpreta P como los gatos.
¿Cómo justificar que este modo no es válido según la primera de nuestras interpretaciones? Para justificar esto hemos de dar una interpretación
(conforme a la primera interpretación que hemos dicho antes8 ) en la que
∀x(P x → M x) es verdad,
∃x(Sx ∧ ¬M x) es verdad, y
∃x(Sx ∧ P x) es falso.
Y resulta que la misma interpretación del párrafo anterior nos sirve para
justificar esto.
Ejercicio 9. Una demostración por absurdo del modo EIO1 a partir de las
reglas del Cuadro 2 (y teniendo en cuenta las leyes para la contrariedad) es
la siguiente.
1. Emp
2. Ism
3. Asp
(s ) para 1
4. Epm 1
(EAE1) para 4,3
5. Esm
8
Esto obliga a que, por definición, sólo permitimos interpretaciones en que las interpretaciones de S, M y P son no vacı́as.
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