Práctica 6

Práctica 6
Lógica de primer orden
Lógica y Computabilidad
Verano 2011
Ejercicio 1. Decidir si las siguientes interpretaciones son apropiadas para los siguientes lenguajes,
en donde f es un smbolo unario y g es binario:
√
a. C = ∅, F = {f, g}, P = {=}, UI = N, fI (n) = n, gI (n, m) = n + m.
b. C = {c}, F = {f, g}, P = {=}, UI = N, fI (n) = n2 , gI (n, m) = n + m, cI = 2.
c. C = {c, d}, F = {f, g}, P = {=}, UI = N,
fI (n) =
1
2
si n es primo
si n no es primo
gI (n, n) = n2 − n, cI = dI = 0.
Ejercicio 2. En cada uno de los siguientes ejemplos, describir la propiedad que determinan los
siguientes enunciados. El universo de la interpretación es un conjunto de personas, PI (x, y) significa
x quiere a y, donde P es un sı́mbolo de predicado binario.
a. ∃x∀yP (x, y)
b. ∀y∃xP (x, y)
c. ∃x∃y(∀zP (y, z) → P (x, y)).
d. ∃x∀y¬P (x, y).
Ejercicio 3. Usando como lenguaje el que contiene únicamente la igualdad, escribir enunciados
que expresen:
a. Existen al menos dos elementos.
b. Existen exactamente dos elementos.
c. Existen a lo sumo dos elementos.
Agregando al lenguaje un sı́mbolo de predicado unario P , escribir:
d. Existen a lo sumo dos elementos y al menos uno que cumplen la propiedad P .
e. Si existe un elemento que cumple la propiedad P , es único.
f. Existe un elemento que cumple la propiedad P y es único.
Ejercicio 4. Considerar un lenguaje con un sı́mbolo de función f unario. Escribir una fórmula
ϕ que cumpla A |= ϕ sii fA es inyectiva pero no sobreyectiva. ¿Es ϕ satisfacible? ¿Es satisfacible
por un modelo finito?
1
Ejercicio 5. Decimos que un elemento e del universo de una interpretación I es distinguible con
el lenguaje L si existe una L-fórmula ϕ(x) con una sola variable libre x tal que I |= ϕ(x)[v] si y
sólo si v(x) = e.
Dar un ejemplo de un lenguaje y una interpretación de dicho lenguaje con universo infinito tal
que todo elemento del universo de la interpretación dada sea distinguible.
Ejercicio 6. Sea L un lenguaje con igualdad y un sı́mbolo de función binario, y sean I1 e I2 las
siguientes interpretaciones:
I1 = (N, +)
I2 = (N, ·)
donde N denota el conjunto de los números naturales. Probar que 1 es un elemento distinguido
en ambas interpretaciones.
Ejercicio 7. Sea L un lenguaje de primer orden y con un sı́mbolo de predicado binario ≤. Probar
que todos los elementos del universo de la siguientes interpretaciones son distinguibles,
4
6
3
5
4
5
2
2
a)
3
b)
1
1
Ejercicio 8. Probar que si el universo de una interpretación es finito con n + 1 elementos, y
tiene la propiedad que n elementos del universo son distinguibles, entonces todos los elementos
son distinguibles.
Ejercicio 9. Dada una interpretación I con universo A, decimos que una relación R ⊆ An es
expresable con el lenguaje L si existe una L-fórmula ϕ(x1 , . . . , xn ) con n variables libres tal que
para toda valuación v cumpla I |= ϕ(x1 , . . . , xn )[v] sii (v(x1 ), . . . , v(xn )) ∈ R. Demostrar que las
siguientes relaciones son expresables.
a. I1 = hN, ∗, =i con ∗ el producto de naturales.
R1 = {(n, m) : n divide a m}.
P1 = {n : n es primo}.
b. I2 = hN, +, =, 0, 1i con + la suma de naturales.
R2 = {(n, m) : n < m}.
c. I3 = hL, ◦, =i con L el conjunto de todas las listas, ◦ la concatenación de listas.
R3 = {(a, b) : a es sublista de b}.
Ejercicio 10. Decimos que una clase de modelos K es definible con el lenguaje L si existe una
sentencia ϕ tal que para toda interpretación I y valuación v cumpla I |= ϕ[v] sii I ∈ K. Demostrar
que las siguientes clases de modelos son definibles con su respectivo lenguaje.
a. L0 = {=}. K0 = ∅.
b. L1 = {=}. K1 = {todas las interpretaciones}.
c. L2 = {P, =} con P predicado binario. K2 = {I : P I es reflexivo y transitivo}.
d. L3 = {f, g, =} con f, g funciones unarias. K3 = {I : Im f I ⊆ Im g I }.
2