Desarrollos de Taylor

Desarrollos de Taylor
Marta Urciuolo
29 de Abril de 2009
Recordemos el desarrollo de Taylor de funciones de una variable. Si f tiene
una derivada de orden N en x0 el desarrollo de Taylor de orden N de f
en x0 es el polinomio
f (x0 ) + f (x0 ) (x
x0 ) +
1
f (x0 ) (x
2!
2
x0 ) + ::: +
1 (N )
f (x0 ) (x
N!
N
x0 ) :
El siguiente teorema expresa la relación entre f y su polinomo de Taylor, y
expresa la fórmula integral del resto.
Teorema Si f tiene una derivada de orden N + 1 continua en un entorno
de x0 entonces en ese entorno,
f (x) = f (x0 ) + f (x0 ) (x
x0 ) + ::: +
donde
RN +1 (x) =
para algún
0.1
1 (N )
f (x0 ) (x
N!
f (N ) ( )
(x
(N + 1)!
N +1
x0 )
N
x0 ) + RN +1 (x) ;
;
entre x0 y x:
Teorema de Taylor en dos variables
Sea f (x; y) varias veces continuamente diferenciable en un entorno de cierto
punto (x0 ; y0 ). Queremos representar f (x; y) como un polinomio en dos variables más un resto que es pequeño para (x; y) próximos a (x0 ; y0 ): Sean (r; ) las
coordenadas polares de (x x0 ; y y0 ); es decir x = x0 + r cos e y = y0 + r sin
y consideramos, para …jo, el valor de f en (x; y) como una función de r: En
otras palabras, tomamos la función auxiliar
F (r) = f (x0 + r cos ; x0 + r sin ) :
Calculamos las derivadas de F usando la regla de la cadena.
F (r) = fx (x0 + r cos ; x0 + r sin ) cos + fy (x0 + r cos ; x0 + r sin ) sin ;
F (2) (r) = fxx (:::) cos2 + 2fxy (:::) cos sin + fyy (:::) sin2 ;
1
F (3) (r) = fxxx (:::) cos3 +3fxxy (:::) cos2 sin +3fxyy (:::) cos sin2 +fyyy (:::) sin3
etcétera.
Ahora, el teorema de Taylor dice que si F es su…cientemente derivable,
F (r) = F (0) + F ( )r
1 (2)
F ( ) r2 ;
2!
1
1
F (r) = F (0) + F (0)r + F (2) (0) r2 + F (3) ( )r3
2!
3!
y así sucesivamente, donde es algún número ente 0 y r; que no es el mismo en
las distintas fórmulas. Ahora sustituimos los valores obtenidos para las derivadas
de F , observando que r cos = x x0 y r sin = y y0 y poniendo = x0 + cos
y = y0 + sin ;
F (r) = F (0) + F (0)r +
f (x; y) = f (x0 ; y0 ) + fx ( ; ) (x
x0 ) + fy ( ; ) (y
f (x; y) = f (x0 ; y0 ) + fx (x0 ; y0 ) (x
+
1 h
fxx ( ; ) (x
2!
2
x0 ) + 2fxy ( ; ) (x
x0 ) + fy (x0 ; y0 ) (y
x0 ) (y
y0 ) ;
y0 )
y0 ) + fyy ( ; ) (y
2
y0 )
i
;
f (x; y) = f (x0 ; y0 ) + fx (x0 ; y0 ) (x x0 ) + fy (x0 ; y0 ) (y y0 )
i
h
1
2
2
fxx (x0 ; y0 ) (x x0 ) + 2fxy (x0 ; y0 ) (x x0 ) (y y0 ) + fyy (x0 ; y0 ) (y y0 )
+
2!
1 h
3
2
2
+
fxxx ( ; ) (x x0 ) + 3fxxy ( ; ) (x x0 ) (y y0 ) + 3fxyy ( ; ) (x x0 ) (y y0 )
3!
i
3
+fyyy ( ; ) (y y0 ) ;
etcétera.
Observar que ( ; ) es un punto en el segmento entre (x0 ; y0 ) y (x; y) :
Vale la siguiente
Fórmula de Taylor Si f tiene derivadas de orden n + 1 continuas en un
entorno de (x0 ; y0 ) ; entonces
f (x; y) = Pn (x; y) + Rn+1 (x; y) ;
donde Pn ; llamado el polinomio de Taylor n-simo de f en (x0 ; y0 ) ; es
Pn (x; y) =
con
n
X
X ap;q
(x
p!q!
j=0 p+q=j
p
x0 ) (y
p+q
ap;q =
f
xp y q
2
(x0 ; y0 ) ;
q
y0 )
y
X
Rn+1 (x; y) =
p;q
p!q!
p+q=n+1
con
(x
p
x0 ) (y
q
y0 )
(1)
p+q
p;q
=
xp
f
yq
( ; )
para algún ( ; ) en el segmento entre (x0 ; y0 ) y (x; y) :Rn+1 se llama el resto de
orden n:
Omitimos la demostración, que se hace por inducción.
j p;q j n+1;
donde es la
Nota 1. Cada término de (1) está acotado por p!q!
distancia entre (x0 ; y0 ) y (x; y) ; por lo tanto si los valores absolutos de todas las
derivadas parciales de orden n + 1 están acotados por una constante, podemos
acotar el resto de orden n por
jRn+1 (x; y)j
cte:
n+1
:
Esto en particular implica que
f (x; y) Pn (x; y)
n = 0:
(x;y)!(x0 ;yo ) j(x
x0 ; y y0 )j
lim
(2)
Nota 2. Se puede demostrar que Pn es el único polinomio de grado n con
la propiedad (2).
Ejemplo Hallar el polinomio de Taylor de grado 3 de f (x; y) = exy en el
origen.
Primera solución: Tenemos fx = yexy ; fy = xexy ; fxx = y 2 exy ; fxy = exy +
xyexy ; fyy = x2 exy ; fxxx = y 3 exy ; fxxy = 2yexy +xy 2 exy ; fxyy = 2xexy +x2 yexy ;
fyyy = x3 exy : En x0 = y0 = 0; f = 1; fx = fy = fxx = fyy = fxxx = fxxy =
fxyy = fyyy = 0 y fxy = 1: Por lo tanto el polinomio buscado es 1 + xy y
entonces en
exy = 1 + xy + terminos de orden superior a tres:
(3)
Segunda solución. Como
eu = 1 + u +
u2
u3
+
+ :::
2!
3!
entonces si u = xy obtenemos (3).
Justi…cación de la segunda solución: Sabemos del análisis I que
eu
1+u+
lim
u2
u!0
u2
2
= 0;
(4)
ahora
lim
(x;y)!(0;0)
exy
(1 + xy)
3
j(x; y)j
exy
=
lim
1 + xy +
3
j(x; y)j
(x;y)!(0;0)
3
(xy)2
2
2
lim
(x;y)!(0;0)
(xy)
3
2 j(x; y)j
exy
=
lim
(x;y)!(0;0)
por (4) y el hecho que
1 + xy +
(xy)2
3
j(x;y)j
(x;y)!(0;0)
lim
2
(xy)
(xy)2
2
2
(xy)
3
j(x; y)j
=0
= 0: De la Nota 2 se deduce que 1 + xy
es el polinomio de Taylor de orden tres de f en el origen.
4