Soluciones al Examen 3

Examen 3
13-Dic-2008
Geometría Plana y Trigonometría (SEP-INAOE)
Nombre completo: __________________________________________
Nombre instructor:__________________________________________
No. de grupo: _____
Calificación: _____
1.- Explicar si son correctos o no los signos de las siguientes funciones:
a ) sec 240° = −2 ; b) cos150° = − 3 / 3
2.- Calcular el valor de las siguientes expresiones:
a ) csc2 30° + tan 2 45° ; b)
cos 60° + cos 30°
csc 2 30° + sen 2 45°
3.- Reducir las siguientes funciones trigonométricas a otras equivalentes de ángulos
menores de 45˚.
a ) csc 45°20 ' ; b) cos85°
4.- Reducir las siguientes funciones trigonométricas a las de un ángulo positivo menor de 45˚.
a ) tan(−220°) ; b) sec(−85°15')
5.- Probar las siguientes identidades con el mínimo de pasos algebraicos:
a ) sen x sec x cot x = 1 ; b) 2 tan x + cos x =
cos 2 x + 2sen x
cos x
6.- Resolver la siguiente ecuación trigonométrica dando todas las soluciones posibles:
1
1
cos 2 x = (1 − sen x)
3
2
7.- Calcular las seis funciones trigonométricas del ángulo de 15˚ empleando las fórmulas
para las funciones trigonométricas de suma o diferencia de ángulos y los valores de
estas funciones de los ángulos notables (30˚, 45˚ y 60˚).
8.- Demostrar la siguiente identidad: sen( x + y )sen( x − y ) = cos 2 y − cos 2 x
9.- Calcular las seis razones trigonométricas del ángulo 22˚30’.
10.- Demostrar, transformando en producto, las siguientes igualdades:
a ) cos 75° − sen15° = sen 75° − cos15° ; b) cos(45° + x) + cos(45° − x) = 2 cos x
Revisor: M.C. Anmi García
1.- Explicar si son correctos o no los signos de las siguientes funciones: [0,½,1]
a) el signo negativo de sec 240˚ es correcto ya que sec es el recíproco de cos 240˚ y
estando el ángulo en el III cuadrante el lado adyacente es negativo y la hipotenusa
es positiva, por tanto, cos 240˚ es negativo y lo mismo sec 240˚. Algebraicamente,
sec 240° =
1
1
1
1
=
=
=
= −2
cos 240° cos(180° + 60°) − cos 60° −1/ 2
[½]
b) el signo negativo de cos 150˚ es correcto ya que estando el ángulo en el II
cuadrante el lado adyacente es negativo y la hipotenusa es positiva; sin embargo
el valor de cos 150˚ en el texto es incorrecto ya que
cos150° = cos(180° − 30°) = − cos 30° = −
3
3
≠−
2
3
[1]
2.- Calcular el valor de las siguientes expresiones: estos problemas se resuelven por
substitución directa de los valores de las razones trigonométricas correspondientes
a los ángulos notables de 30˚, 45˚ y 60˚, es decir,
[0,½,1]
a) csc2 30° + tan 2 45° = 22 + 12 = 4 + 1 = 5
b)
1
+
cos 60° + cos 30°
2
=
csc2 30° + sen 2 45°

22 + 

[½]
1+ 3 1+ 3
1+ 3
= 2 = 2 =
2
1
9
9
2
4+

2
2
2 
3
2
[1]
3.- Reducir las siguientes funciones trigonométricas a otras equivalentes de ángulos menores
de 45˚. Estos problemas se resuelven empleando las relaciones trigonométricas de
ángulos complementarios, así,
[0,½,1]
a ) csc 45°20 ' = sec(90° − 45°20 ') = sec 44°40 ' y 44°40 ' < 45°
b) cos85° = sen(90° − 85°) = sen 5° y 5° < 45°
[1]
[½]
Revisor: M.C. Juan Carlos Valdiviezo
[0,¼,½,¾,1]
4.- Reducir las siguientes funciones trigonométricas a las de un ángulo positivo menor de 45˚.
Como los ángulos dados son negativos, estos problemas se resuelven empleando
primero las relaciones trigonométricas del ángulo –a y enseguida reduciendo
mediante las relaciones trigonométricas para ángulos complementarios o
suplementarios. De este modo,
a ) tan(−220°) = − tan 220° = tan(180° − 220°) = tan(−40°) = − tan 40° y 0°<40°<45°
[½]
[¼]
b) sec(−85°15') = sec85°15 ' = csc(90° − 85°15') = csc 4°45' y 0°<4°45'<45°
[1]
[¾]
5.- Probar las siguientes identidades con el mínimo de pasos algebraicos:
[0,¼,½,¾,1]
[¼]
a) sen x sec x cot x = sen x
1 cos x sen x cos x
=
= (1)(1) = 1
cos x sen x sen x cos x
[½]
cos 2 x + 2sen x
∴ (2 tan x + cos x) cos x = cos 2 x + 2sen x
cos x
sen x [¾] 2
cos x
+ cos 2 x
entonces, 2 tan cos x + cos2 x = 2
cos x + cos x = 2sen x
cos x
cos x
= cos 2 x + 2sen x (1) = cos 2 x + 2sen x
b) 2 tan x + cos x =
[1]
[0,¼,½,¾,1]
6.- Resolver la siguiente ecuación trigonométrica dando todas las soluciones posibles:
1
1
cos 2 x = (1 − sen x ) ∴ 2 cos 2 x = 2(1 − sen 2 x ) = 3(1 − sen x ) de donde
3
2
2
[¼]
2 − 2sen x = 3 − 3sen x, equivalentemente, 2sen 2 x − 3sen x + 1 = 0
1
ec. de 2do grado que factorizada queda así, (2sen x − 2)(sen x − ) = 0
2
expresión de la cual se obtienen dos ecuaciones lineales, a saber
[½]
2sen x − 2 = 0 ∴ sen x = 1 ∴ x = 90° y
sen x −
1
1
= 0 ∴ sen x =
∴ x = 30°,150° ya que sen 30° = sen (180° − 30°)
2
2
Finalmente a las soluciones fundamentales de 90˚, 30˚ y 150˚ basta añadir
un múltiplo entero (positivo o negativo) de 360˚ para obtener todas las
soluciones posibles.
[¾]
[1]
Revisor: Dr. Juan Pablo Torres
[0,1/6,1/3,1/2,2/3,5/6,1]
7.- Calcular las seis funciones trigonométricas del ángulo de 15˚ empleando las fórmulas
para las funciones trigonométricas de suma o diferencia de ángulos y los valores de
estas funciones de los ángulos notables (30˚, 45˚ y 60˚).
3 2
21 1
−
= ( 6 − 2)
2 2
2 2 4
1 2
3 2 1
cos15° = cos(60° − 45°) = cos 60° cos 45° + sen 60°sen 45° =
+
= ( 2 + 6)
2 2
2 2
4
tan 60° − tan 45°
3 −1
3 −1 3 −1 4 − 2 3
tan 15° = tan(60° − 45°) =
=
=
=
= 2− 3
1 + tan 60° tan 45° 1 + 3 ⋅ 1
2
3 +1 3 −1
sen 15° = sen (60° − 45°) = sen 60° cos 45° − sen 45° cos 60° =
cot 15° =
1
1 2+ 3
=
=2+ 3
tan 15° 2 − 3 2 + 3
sec 15° =
1
=
cos15°
4
2+ 6
2− 6
4
( 2 − 6) = 6 − 2
=
2 − 6 2−6
[5/6]
csc 15° =
1
4
=
sen15°
6− 2
6+ 2
4
( 6 + 2) = 6 + 2
=
6 + 2 6−2
[1]
[1/6]
[1/3]
[1/2]
[2/3]
[0,¼,½,¾,1]
8.- Demostrar la siguiente identidad: sen( x + y )sen( x − y ) = cos 2 y − cos 2 x
Esta identidad se demuestra empleando primero la 4ta fórmula de transformación
en producto, haciendo un cambio de variable para efectuar una substitución y
finalmente usando la fórmula del ángulo doble. Así,
[¼]
1
1
como − 2sen ( A + B ) sen ( A − B ) = cos A − cos B, poniendo A = 2 x y B = 2 y
2
2
se obtiene − 2sen( x + y ) sen ( x − y ) = cos 2 x − cos 2 y, entonces
1
1
sen( x + y ) sen ( x − y ) = [cos 2 y − cos 2 x ] = [2 cos2 y − 1 − ( 2 cos2 x − 1)]
2
2
1
= [2 cos2 y − 1 − 2 cos2 x + 1] = cos2 y − cos2 x
[1]
2
[¾]
[½]
Revisor: M.C. Carlos Ortiz
9.- Calcular las seis razones trigonométricas del ángulo 22˚30’.
[0,1/6,1/3,1/2,2/3,5/6,1]
sen 22°30 ' = sen
45°
1 − cos 45°
1− 2 / 2 1
2− 2,
=
=
=
2
2
2
2
[1/6]
cos 22°30 ' = cos
45°
1 + cos 45°
1+ 2 / 2 1
2+ 2,
=
=
=
2
2
2
2
[1/3]
tan 22°30 ' = tan
45°
1 − cos 45°
2− 2
2− 2 2− 2 2− 2
=
=
=
⋅
=
= 2 − 1,
2
1 + cos 45°
2+ 2
2+ 2 2− 2
2
cot 22°30 ' =
1
1
2 +1
=
= 2 + 1,
tan 22°30 '
2 −1 2 +1
sec 22°30 ' =
2
1
=
cos 22°30'
2+ 2
2− 2
csc 22°30 ' =
1
2
=
sen 22°30 '
2− 2
2+ 2
2− 2
2+ 2
[1/2]
[2/3]
=
2 2− 2
= 4−2 2,
2
=
2 2+ 2
= 4+2 2 .
2
10.- Demostrar, transformando en producto, las siguientes igualdades:
[5/6]
[1]
[0,¼,½,¾,1]
[¼]
a ) cambiando cos 75° − sen 15° = sen 75° − cos15° a cos 75° + cos15° = sen 75° + sen 15°
y usando las fórmulas de transformación de sumas en producto, se obtiene la igualdad ya que
1
1
cos 75° + cos15° = 2 cos (75° + 15°) cos (75° − 15°) = 2 cos 45° cos 30° = 2(
2
2
1
1
sen 75° + sen 15° = 2 sen (75° + 15°) cos (75° − 15°) = 2 sen 45°cos30° = 2(
2
2
2 1
2
)( ) =
2 2
2
2 1
2
)( ) =
2 2
2
b) aquí se emplea la 3era fórmula de transformación de suma en producto, así
1
1
cos(45° + x ) + cos(45° − x ) = 2 cos [( 45° + x ) + (45° − x )] cos [( 45° + x ) − (45° − x )]
2
2
1
1
2
= 2 cos (90°) cos ( 2 x ) = 2 cos 45° cos x = 2
cos x = 2 cos x
2
2
2
[½]
[¾]
[1]