UNIDAD 2 MATE3

Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
MATEMÁTICAS III
UNIDAD 2
SISTEMAS DE
COORDENADAS
Y
LUGARES GEOMÉTRICOS
Para facilitar la ubicación de un lugar en un mapa, se elige una recta horizontal y una
recta vertical, se dividen en partes iguales y se numeran, considerando determinada
unidad.
Al espacio determinado por dos rectas numéricas, que se cortan perpendicularmente en
un punto, se le llama Plano Cartesiano.
A la recta numérica vertical se la llama eje de las "Y" o de las ordenadas.
A la recta numérica horizontal se la llama eje de las "X" o de las abscisas.
59
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
UNIDAD 2.
SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS
2.1 Propósitos de la Unidad.
60
2.2 Aprendizajes significativos y temática.
60
2.3 Diagrama Estructural.
62
2.4 Bosquejo histórico.
63
2.5 Conceptos y fórmulas.
65
2.5.1 Estudio analítico de un punto en el plano.
65
2.5.2 Representación geométrica de un punto en coordenadas rectangulares.
68
2.5.3 Representación de un punto en coordenadas polares.
69
2.5.4 Relación entre coordenadas rectangulares y coordenadas polares.
70
2.5.5 Para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
71
2.5.6 Para pasar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
73
2.5.7 Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el pleno cartesiano.
75
2.6 Distancia entre dos puntos.
76
2.7 División de un segmento.
80
2.8 Pendiente de una recta.
82
2.9 Los dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica son.
84
2.10 Ejercicios propuestos.
87
2.11 Respuestas a los ejercicios propuestos.
89
Propuesta de Evaluación.
91
Bibliografía.
92
60
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
UNIDAD 2.
SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES
GEOMÉTRICOS.
2.1 PROPÓSITOS: Proporcionar una visión global del método de la geometría
Analítica como el medio para resolver problemas de corte euclidiano
reduciéndolos a problemas algebraicos, así como proporcionar los elementos que
servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones más
complejas.
2.2 APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS Y TEMÁTICA
APRENDIZAJES
Al finalizar la unidad, el alumno:
• Identificará que el punto clave para el propósito de estudio de la
Geometría Analítica, estriba en definir en un plano un sistema de
referencia.
• Encontrará las coordenadas de un punto en el plano utilizando los
sistemas de referencia polar y cartesiano.
• Localizará puntos en el plano cuando se proporcionen sus coordenadas
polares o rectangulares.
• Representará un punto cualquiera del plano o un conjunto de puntos.
• Aprenderá que para representar un segmento rectilíneo en el plano
cartesiano, basta con determinar las coordenadas de sus puntos
extremos, o bien, las coordenadas de uno de ellos junto con su longitud
y su ángulo de inclinación.
• Comprenderá la deducción de la formula de distancia entre dos puntos
en el plano cartesiano.
• Calculará la longitud de un segmento dadas las coordenadas de sus
puntos extremos de un segmento, calculará su ángulo de inclinación a
través de su pendiente.
• Será capaz de realizar actividades inversas a las dos anteriores.
61
Matemáticas III
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Resolverá analíticamente problemas que impliquen determinar un
segmento a partir de algunas de las propiedades que lo definen.
Comprenderá el concepto de razón en que un punto divide a un
segmento rectilíneo.
Dadas las coordenadas de los extremos de un segmento y las de un
punto interior a él, calculara la razón en que este último divide al
segmento.
Encontrará las coordenadas del punto que divide a un segmento en
una razón dada. En particular, las coordenadas del punto medio.
Realizará actividades inversas al aprendizaje anterior.
Concebirá a una ecuación con dos variables, como la expresión general
que satisfacen las coordenadas de los puntos de una curva en el plano.
Resolverá problemas geométricos de intersección entre curvas y entre
éstas y los ejes coordenados.
Reforzará la estrategia de resolver un problema, reduciéndolo a otros
mas sencillos que ya sabe resolver.
Incrementará su capacidad de generalizar, al obtener fórmulas
generales a partir de analizar casos concretos, y al interpretar un
concepto en dos representaciones distintas.
Identificará los procesos inversos presentes en esta unidad, lo que
reforzará su capacidad de inversión de pensamiento.
TEMÁTICA
• Estudio Analítico de un punto en el plano.
a) Representación numérica de un punto en el plano:
- En el Sistema de coordenadas polares.
- En el Sistema de coordenadas rectangulares.
• Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el Plano cartesiano.
a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano. Condiciones necesarias
y suficientes.
b) Longitud del segmento. Distancia entre dos puntos.
c) Ángulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente.
d) Razón en que un segmento es dividido por uno de sus puntos.
e) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada.
• Estudio analítico de algunos lugares Geométricos en el Plano Cartesiano.
a) Lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas y circunferencias.
-Su representación algebraica.
-Intersecciones entre ellas o con los ejes cartesianos.
2.3 DIAGRAMA ESTRUCTURAL
62
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
GEOMETRÍA PLANA
O EUCLIDIANA
ÁLGEBRA DE LOS
REALES
ESTUDIO ANALÍTICO
DE UN PUNTO
EN EL PLANO
SISTEMA DE
COORDENADAS
RECTANGULARES
SISTEMA DE
COORDENADAS
POLARES
ESTUDIO ANALÍTICO
DE UN SEGMENTO
RECTILÍNEO
ESTUDIO ANALÍTICO
DE UN ÁNGULO
ESTUDIO ANALÍTICO
DE UN TRIÁNGULO
63
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
René Descartes
(1596-1650), filósofo, científico
y
matemático
francés,
considerado el fundador de la
filosofía moderna.
Considerado el primer filósofo
moderno, René Descartes
utilizó la ciencia y las
matemáticas para explicar y
pronosticar acontecimientos
en el mundo físico. Su famosa
frase "Cogito, ergo sum"
("Pienso, luego existo") fue el
punto de partida que le llevó a
investigar las bases del
conocimiento.
Descartes
desarrolló el sistema de
coordenadas cartesianas para
ecuaciones gráficas y figuras
geométricas.
Los
mapas
modernos utilizan todavía un
sistema de cuadrícula que
puede ser trazado volviendo a
las
técnicas
gráficas
cartesianas.
2.4 BOSQUEJO HISTÓRICO
Nacido el 31 de marzo de 1596 en La Haye , hoy Descartes (Indre-et-Loire), era
hijo de un miembro de la baja nobleza y pertenecía a una familia que había dado
algunos hombres doctos. Cuando tenía ocho años de edad fue enviado al colegio
jesuítico de La Flèche (en Anjou), donde permaneció 10 años. Junto a las
disciplinas clásicas tradicionales, también aprendió matemáticas y las principales
doctrinas del escolasticismo, tendentes a orientar la razón humana hacia la
comprensión de la doctrina cristiana. El catolicismo ejerció una gran influencia en
Descartes a lo largo de toda su vida. Tras concluir su periodo de formación
primaria en dicho centro, cursó estudios de Derecho en la Universidad de Poitiers,
donde se licenció en 1616. Sin embargo, nunca llegó a ejercer como jurista. En
1618 entró al servicio del príncipe Mauricio I de Nassau-Orange, con la intención
de seguir la carrera militar; posteriormente sirvió en otros ejércitos. Pero su interés
se centró siempre en los problemas de las matemáticas y la filosofía, a los que
dedicó el resto de su vida. Tras realizar numerosos viajes residió en París desde
64
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
1625 a 1628. Durante este periodo se dedicó al estudio de la filosofía y también
realizó experimentos de óptica. En 1628, después de vender las propiedades que
poseía en Francia, se trasladó a las Provincias Unidas y vivió en diferentes
ciudades (Amsterdam, Deventer, Utrecht y Leiden).
Fue quizá durante los primeros años que pasó en Holanda cuando escribió su
primera obra importante, Ensayos filosóficos, publicada en 1637 y que estaba
integrada por tres ensayos (Dióptrica, Geometría y Meteoros), a los que servía de
prefacio el que luego sería su escrito más famoso, Discurso del método, en el que
exponía sus especulaciones filosóficas. Ésta fue seguida de otras obras, entre
ellas Meditaciones metafísicas (1641) y Los principios de la filosofía (1644). Sus
últimos escritos estuvieron dedicados a Isabel Estuardo, reina de Bohemia que
vivía en las Provincias Unidas y con quien Descartes había entablado una
profunda amistad. En 1649 fue invitado a acudir a Estocolmo para impartir clases
de filosofía a la reina Cristina de Suecia. Los rigores del invierno le provocaron una
neumonía, a consecuencia de la cual falleció, en la capital sueca, el 11 de febrero
de 1650.
Pierre de Fermat (1601-1665),
matemático francés, nacido en
Beaumont-de-Lomagne,
que
anticipó el cálculo diferencial
con su método de búsqueda de
los máximos y mínimos de las
líneas curvas. En su juventud,
con su amigo el científico y
filósofo Blaise Pascal, realizó
una serie de investigaciones
sobre las propiedades de los
números. De estos estudios,
Fermat dedujo un importante
método
de
cálculo
de
probabilidades. También se
interesó por la teoría de
números y realizó varios
descubrimientos
en
este
campo. Por estas aportaciones
hubo quien le consideró el
padre de la teoría moderna.
Véase Último teorema de
Fermat.
Es opinión generalizada entre los matemáticos que la Geometría Analítica nació
completamente adulta, de la mente de René Descartes. No obstante, existen
65
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
serias discrepancias entre los expertos historiadores de las matemáticas y se
atribuye a Descartes más de lo que pudiera pretender. Al afirmar que Descartes es
el creador de la aplicación del Álgebra a la Geometría, se deja de lado los
derechos de sus antecesores: F. Viete (1540-1603) o de sus contemporáneos
como Pierre de Fermat (1601-1665), En cuyas obras hay aplicaciones del Álgebra
a la Geometría.
Si se considera el uso de coordenadas para localizar un punto los inicios de la
Geometría Analítica se remonta a Arquímedes (287-212 A. C.) Siglo II A. C.). Y
posteriormente J. Kepler (1571-1630). Puesto que las curvas cónicas que ellos
estudiaban,
requerían
esencialmente,
de
las
coordenadas
(cartesianas),
refiriéndose, a ejes intrínsecamente relacionados con las curvas estudiadas.
2.5 CONCEPTOS Y FÓRMULAS
2.5.1 ESTUDIO ANALÍTICO DE UN PUNTO EN EL PLANO
En la cotidianidad nos hemos encontrado con problemas de ubicación, por
ejemplo al tratar de localizar un domicilio en un cierto barrio que no conocemos.
Para hacerlo, nos presentan un plano de la zona en el que tratamos de buscar la
calle en cuestión. Entonces nuestro problema se transforma en entender el plano.
Primeramente tratamos de definir en donde estamos situados con respecto al
plano. Posteriormente localizamos el lugar al que queremos trasladarnos y ubicar
el mejor camino para llegar a él. Los planos de las ciudades normalmente están
representados por medio de un sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto
de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas
y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El
sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza
éstas para especificar la posición de un punto en la superficie de la Tierra.
66
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
EL GLOBO TERRAQUEO ES EL MODELO ESFÉRICO DE LA TIERRA Y ESTA
REPRESENTADO EN COORDENADAS POLARES.
Si escogemos un par de rectas numéricas que se corten, podemos asociar a cada
punto del plano un par ordenado de números reales que nos permiten localizar tal
punto.
Las coordenadas cartesianas o rectangulares son las coordenadas más usadas.
En dos dimensiones, están formadas por un par de rectas en una superficie plana,
o plano, que se cortan en ángulo recto. Cada una de las rectas se denomina eje y
el punto de intersección de los ejes se llama origen. Los ejes se dibujan
habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina X e
Y respectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano cuyas
coordenadas son (2,5) está situado dos unidades hacia la derecha del eje Y, y
cinco unidades por encima del eje X. En coordenadas cartesianas de tres
dimensiones, se añade el eje z de manera que tenemos tres ejes todos ellos
perpendiculares entre sí.
En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas
(r,θ) con respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto
de dicha línea llamado polo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r
es la distancia del punto al polo, y la θ es el ángulo (medido en sentido contrario a
67
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
las agujas del reloj) entre el eje polar y la línea que une el polo y el punto. Las
coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son dos extensiones distintas
de las coordenadas polares en tres dimensiones.
68
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
2.5.2 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN PUNTO EN COORDENADAS
RECTANGULARES.
A(-2, 5). Este punto debe situarse dos unidades a la izquierda del eje Y y cinco
unidades arriba del eje X como se muestra a continuación:
A(4, -3). Este punto debe estar situado cuatro unidades a la derecha del eje Y
y tres unidades abajo del eje X
69
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Observa la siguiente grafica en ella hay un punto el cual esta cinco unidades a la
derecha del eje Y y seis arriba del eje X.
Por lo que las coordenadas de ese punto son: (5, 6)
2.5.3 REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO EN COORDENADAS POLARES.
Representemos el siguiente punto P (3, 60°)
Este punto esta situado a tres unidades del polo y forma un ángulo 60 grados con
el eje X
70
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Representemos el punto P (5,135°)
Este punto debe estar situado a cinco unidades del polo y forma un ángulo de 135
grados con el eje X , lo cual quiere decir que esta en el segundo cuadrante como
se observa en la siguiente figura:
2.5.4
RELACIÓN
ENTRE
COORDENADAS
RECTANGULARES
Y
COORDENADAS POLARES.
Normalmente las coordenadas de un punto o conjunto de puntos en un sistema de
coordenadas pueden ser transformadas a otro sistema de coordenadas. Por
ejemplo, si el eje polar y el polo de las coordenadas polares se corresponden con
el eje x y el origen de las coordenadas cartesianas respectivamente, entonces el
 π
punto con coordenadas polares 1,  está situado una unidad por encima del
 2
origen, por lo que sus coordenadas cartesianas son (0,1). De la misma manera, el
punto de coordenadas polares
(1,135°) o lo que es lo mismo
punto cartesiano (-1,1).
71
(1,
3π
) es el
4
Matemáticas III
2.5.5
PARA
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
PASAR
DE
COORDENADAS
RECTANGULARES
COORDENADAS POLARES.
P ( x, y ) → P ( r , θ )
Del triangulo rectángulo que se forma en la figura anterior podemos escribir el
Teorema de Pitágoras y calcular el valor de r
r 2 = x2 + y2 → r =
x2 + y2
Posteriormente usamos la función trigonométrica tangente
tan θ =
c.o. y
=
c.a. x
Y con esta expresión calculamos el ángulo de la siguiente forma:
θ = tan −1
y
x
Ejemplo:
Expresar el siguiente punto p (5, 6) a su forma polar p ( r ,θ )
Datos:
x=5
y=6
r = x2 + y 2
72
A
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
r = 52 + 6 2
;
r = 25 + 36 = 61 = 7.8
r = 7.8
Calculemos ahora el ángulo con:
 y
 
θ = tan −1  
x
6
5
θ = tan −1 ( ) = tan −1 (1.2) = 50.1°
θ = 50.1°
Por lo tanto el punto que en coordenadas rectangulares
coordenadas polares se escribe
(7.8,50.1°)
Actividad.- Traza dicho punto en el plano que corresponda:
Plano Polar
73
es
( 5,6)
en
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Plano Rectangular
2.5.6 PARA PASAR DE COORDENADAS POLARES A COORDENADAS
RECTANGULARES
P ( r ,θ ) → P ( x , y )
De la figura anterior podemos escribir las siguientes relaciones:
x = r cosθ
y = r sinθ
Las cuales nos servirán para encontrar las coordenadas de un punto en forma
rectangular.
74
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Ejemplo:
Expresar el siguiente punto (10,35°) en forma rectangular ( x, y )
Datos:
r = 10
θ = 35°
Sustituyendo en:
x = r cosθ
y = r sin θ
Obtenemos
x = 10 cos 35° = 8.19
y = 10sin 35° = 5.73
Por lo tanto el punto que en forma polar es (10,35°) ; en forma rectangular es
(8.19, 5.73)
Actividad: Trazar este punto en el plano correspondiente
Plano Polar
75
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Plano Rectangular
2.5.7 ESTUDIO ANALÍTICO DE UN SEGMENTO RECTILÍNEO EN EL PLANO
CARTESIANO.
Segmento Rectilíneo Dirigido
La geometría elemental enseña que la porción de una recta limitada por dos de
sus puntos se llama segmento de recta, segmento rectilíneo o, simplemente,
76
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
segmento. Y como consecuencia de su definición, un segmento tiene dos puntos
extremos, como se muestra en la siguiente figura:
L
A
B
Se observa que AB es un segmento cuyos puntos extremos son A y B y que su
longitud se indica como AB .
Un eje numérico es una línea recta, donde a cada punto le corresponde uno y sólo
un número y a cada número le corresponde uno y sólo un punto.
Si queremos saber la distancia que hay entre los números 2 al 6, la respuesta es 4
porque
distancia = 6-2=4.
En general, la distancia de los puntos x1 y x2 es d = x2 − x1
donde las barras
indican valor absoluto.
2.6 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
Consideremos a los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en el plano cartesiano.
77
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
La distancia más corta de un punto a otro punto, es el segmento de recta que los
une.
Definimos: medida ( PP
1 2 ) = d(P1,P2)
Aplicamos el Teorema de Pitágoras d2= a2+ b2
a = x2 − x1
b = y2 − y1
d ( P1 , P2 ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
Esta fórmula es muy importante y se conoce como,
La fórmula de distancia entre dos puntos.
Ejemplo. Hallar la distancia entre los puntos A(1,3)
Solución:
Si A(1,3)=(x1,y1)
x1=1, y1=3
B(4,7)=(x2,y2)
x2=4, y2=7
B(4,7)
d = (4 − 1) 2 + (7 − 3) 2
d = 32 + 42
d = 9 + 16
d = 25
d =5
Ejemplo. Mostrar que los puntos A(-9,-3), B(-3,1) y C(6,7) son colineales.
Solución:
“Decimos que los puntos son colineales si pertenecen a la misma línea recta”.
Primero calcularemos la distancia de A a B, luego de B a C y por último de A a C.
A(-9,-3)=(x1,y1)
x1=-9 y1=-3
B(-3,1)=(x2,y2)
x2=-3 y2=1
78
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
d AB = (−3 − (−9)) 2 + (1 − (−3)) 2
d AB = (−3 + 9) 2 + (1 + 3) 2
d AB = 62 + 4 2
d AB = 36 + 16
d AB = 52 = (4)(13) = 4 13 = 2 13
La distancia de B a C
B(-3,1)=(x1,y1)
x1=-3 y1=1
C(6,7)=(x2,y2)
x2=6 y2=7
d BC = (6 − (−3))2 + (7 − 1)2
d BC = (6 + 3) 2 + 62 = 92 + 62
d BC = 81 + 36
d BC = 117 = (9)(13) = 9 13 = 3 13
La distancia de A a C
A(-9,-3)=(x1,y1)
x1=-9 y1=-3
C(6,7)=(x2,y2)
x2=6 y2=7
d AC = (6 − ( −9)) 2 + (7 − ( −3)) 2
d AC = (6 + 9) 2 + (7 + 3) 2
d AC = 225 + 100
d AC = 325 = (25)(13) = 25 13 = 5 13
Sabemos que “el todo es mayor que cualquiera de sus partes”
d AC = d AB + d BC ⇒ 5 13 = 2 13 + 3 13 ⇒ 5 13 = 5 13 ⇒
Luego los puntos A, B y C son colineales.
79
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Ejemplo. Mostrar que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo
equilátero A(0,-4), B( 12 ,2) y C(- 12 ,2).
Solución: de la misma manera que el ejemplo anterior calcularemos la distancia
de A a B, luego de B a C y por último de A a C.
d AB = ( 12 − 0)2 + (2 − (−4))2 = 12 + 36 = 48
dBC = ( 12 − (− 12))2 + (2 − 2)2 = ( 12 + 12)2 + 02 = (2 12)2 = (4)(12) = 48
d AC = ( 12)2 + (4 + 2)2 = 12 + 36 = 48
d AB = d BC = d AC
por lo que ∆ABC es un triángulo equilátero.
Ejemplo. Mostrar que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo
rectángulo A(7,5), B(2,3) y C(6,-7)
Solución: se calculan la distancia de A a B, luego de B a C y por último de A a C.
d AB = (2 − 7) 2 + (3 − 5) 2 = 29
cateto
d BC = (6 − 2) 2 + (−7 − 3)2 = 116 cateto
d AC = (6 − 7)2 + (−7 − 5) 2 = 145 hipotenusa
Usando el Teorema de Pitágoras
d 2 AB + d 2 BC = d 2 AC
luego
∆ABC
es un
triángulo rectángulo.
Ejemplo. Determina el perímetro del triángulo formado por los vértices A(-4, 3);
B(0, 6); C(6, -2)
80
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Solución
d AB = (0 + 4) 2 + (6 − 3) 2 = 16 + 9 = 25 = 5
d BC = (6 − 0) 2 + (−2 − 6) 2 = 36 + 64) = 100 = 10
d CA = (−4 − 6) 2 + (3 + 2) 2 = 100 + 25 = 125 = 11.18
Por lo tanto, el perímetro del triángulo es:s
Perímetro= dAB + dBC + dCA = 26.18
Ejemplo. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son: A(-4, 3); B(0, 6); C(6, 2), empleando la fórmula de Herón.
Solución
Dado que la Fórmula de Herón es: Área ∆ABC = s ( s − a )(s − b)(s − c) donde s es el
semiperímetro, es decir
1
s = (a + b + c) . Como el perímetro fue calculado en el
2
ejemplo anterior, así como la medida de cada uno de sus lados, ya que se trata
del mismo triángulo, tenemos que:
Area∆ABC = s ( s − a )( s − b)( s − c) = 13.09(13.09 − 5)(13.09 − 10)(13.09 − 11.18)
= 13.09(8.09)(3.09)(1.91)
= 624.999...
= 24.99..
≈ 25
El área del triángulo resultó ser, aproximadamente, 25 unidades cuadradas.
2.7 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.
Dados los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el plano cartesiano, el punto medio es el
punto determinado por los promedios de las respectivas coordenadas abscisas y
ordenadas. Es decir
x +x y +y 
P1 =  1 2 , 1 2 
2 
 2
2
Fórmula del Punto Medio de un segmento.
81
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
En general se demuestra que las coordenadas del punto intermedio Pt en la
dirección AB con
0 ≤ t ≤ 1 están dadas por:
Pt = ((1 − t ) x1 + tx2 , (1 − t ) y1 + ty2 ) .
Fórmula del Punto Intermedio de un segmento.
Note que en particular si t =
1
, la fórmula del punto intermedio se reduce a la
2
fórmula del punto medio, así el punto medio es un caso particular del punto
intermedio.
Ejemplo. Dados los puntos A(2,4) y B( 12, 24). Determinar las coordenadas de
los siguientes puntos intermedios: , P1
P1
3
2
Solución.
A(2,4)=(x1,y1)
x1=2 y1=4
B(12,24)=(x2,y2)
x2=12 y2=24
Para el punto P1 hacemos t =
3
1
, luego aplicamos la fórmula del punto intermedio
3
y se obtiene:
P1 = ( (1 − (1/ 3))(2) + (1/ 3)(12), (1 − (1/ 3))(4) + (1/ 3)(24) )
3
P1 = ( 5.33,10.66 )
3
Para el punto P1 podríamos hacer t =
2
1
y aplicar la fórmula del punto intermedio,
2
pero conviene por ser menos cálculos usar la fórmula del punto medio y se
obtiene:
 2 + 12 4 + 24 
P1 = 
,

2 
 2
2
82
⇒ P1 = ( 7,14 )
2
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
2.8 PENDIENTE DE UNA RECTA.
Sean los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en el plano cartesiano.
Si se hace un análisis del triángulo rectángulo que se forma:
y2 − y1
θ
x2 − x1
De la secundaria se sabe que:
tan θ =
y −y
Cateto Opuesto
= 2 1 = m = Pendiente de la Recta
Cateto Adyacente x2 − x1
Al cociente de diferencias que lo denotamos con la letra m , se le conoce como la
pendiente de la recta. Conociendo la pendiente se puede conocer el ángulo de
inclinación de la recta con la ecuación:
83
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
θ = tan −1 m
Entre las observaciones importantes se tiene que si:
m ≻ 0 La recta se inclina a la derecha y su ángulo de inclinación es positivo.
m ≺ 0 La recta se inclina a la izquierda y su ángulo de inclinación es negativo.
m = 0 La recta es horizontal y su ángulo de inclinación es cero.
Si la recta es vertical su pendiente es infinita.
Ejemplo. Dados los puntos A(3,7) y B(5, 11), trazar la recta que los une, calcular
su pendiente y su ángulo de inclinación.
Solución:
A(3,7)=(x1,y1)
x1=3 y1=7
B(5,11)=(x2,y2)
x2=5 y2=11
Aplicando la fórmula de pendiente se tiene el siguiente cociente de diferencias:
m=
Luego el ángulo esta dado por
11 − 7
=2
5−3
θ = tan −1 (2) = 63.43º
La gráfica es:
84
Matemáticas III
2.9 LOS
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
DOS
PROBLEMAS
FUNDAMENTALES
DE
LA
GEOMETRÍA ANALÍTICA
1. Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.
2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar la
ecuación que le corresponde.
Para poder representar gráficamente el lugar geométrico que corresponde a
una ecuación dada, es conveniente conocer algunas propiedades del lugar
en cuestión, como son: intersecciones con los ejes, simetrías, campo de
variación de las variables, etc.
Las intersecciones de los ejes son las distancias negativas ó positivas
desde el origen hasta los puntos en los que la curva del lugar geométrico
corta a los ejes coordenados.
Decimos dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si ésta es la
mediatriz del segmento que los une. Como consecuencia:
a) Si una ecuación no se altera al sustituir
“x” por “-x”, su gráfica es
simétrica con respecto al eje Y.
b)Si una ecuación no se altera al sustituir “y” por “-y”, su gráfica es simétrica
con respecto al eje X.
c) Si una ecuación no varia al sustituir “x” por “-x” e “y” por “-y”, su
representación gráfica o lugar geométrico, es simétrica con respecto al
origen.
También es necesario determinar los campos de variación de las variables,
para analizar cuando la ecuación esta definida y tiene sentido.
A continuación se tienen los siguientes ejemplos:
1. Hallar la ecuación de la recta que se sitúa a 5 unidades arriba del eje
X, que es paralela a este.
Como la recta es paralela al eje X y se encuentra arriba, entonces cruza el
lado positivo del eje de las ordenadas.
85
Matemáticas III
Asignándole
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
valores
a
la
variable
independiente
“x”
obtenemos
una
tabulación y la gráfica correspondiente.
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
2. Representar el lugar geométrico de y/x= 5.
Se procede a despejar la variable dependiente “y”, obteniéndose y=5x. Se
hace una tabulación:
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
86
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Y se obtiene la siguiente gráfica:
3. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (1,2), cuya
pendiente sea m=5.
Como tenemos un punto y la pendiente, podemos utilizar la fórmula:
y = mx + b;
Sustituyendo los datos:
2 = 5 (1) + b;
b = 2 – 5 = -3;
Por lo tanto la ecuación buscada es:
y= 5 x – 3
Se hace una tabulación:
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
-28
-23
-18
-13
-8
-3
2
7
12
17
22
87
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
Se obtiene la siguiente gráfica:
2.10 EJERCICIOS PROPUESTOS CON SOLUCIÓN
1. Graficar los siguientes puntos en coordenadas rectangulares
A(-2,3),
B(2,-3) , C(-2,0),
D(0,2)
2. Graficar los siguientes puntos en coordenadas polares
A(4,30º),
B(2,120º) , C(6,210º ),
D(3,300º)
3. Transformar a coordenadas polares los siguientes puntos dados en
coordenadas rectangulares:
A(3,4),
B(-6,8)
4. Transformar a coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en
coordenadas polares:
A(5,60º),
B(10,135º)
5. Hallar la distancia entre los puntos A(-2,3) y B(5,1)
6. Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales:
A(-3, -2),
B(5,2) y
C(9,4).
7. Determinar un punto que equidista de los puntos
88
A(1,7),
B(8,6)
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
8. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento
determinado por A(1,7) y B(6, -3) con una relación r = 2/3
9. El extremo
de un diámetro de una circunferencia de centro C(-4,1) es
P(2,6). Hallar las coordenadas Q(x, y) del otro extremo.
10. Hallar dos puntos
P(x, y)
y Q(x, y) que dividan al segmento AB en tres
partes iguales si A(3, -1) y B(9, -7).
11. Hallar la pendiente de la recta determinada por los puntos:
P(-8, -4) y Q(5,9).
12. Hallar el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos
A(10, -3) y B(14, -7).
13. Hallar un punto que diste 10 unidades del punto P(-3,6)
14. El segmento que une A(-2, -1) con B(3,3) se prolonga hasta C. Sabiendo
que se cumple la relación BC = 3( AB), hallar las coordenadas del punto C.
15. Obtener el perímetro del triángulo con vértices:
A=(0,0) B=(2,8) C=(9,3)
16. Escribe una pareja de puntos
P=(?,?)
Q=(?,?)
de tal manera que su
pendiente sea la indicada:
m=1.5
17. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que disten 3
unidades del origen de las coordenadas.
18. Hallar la ecuación de la recta que es paralela al eje Y que corta al eje
X cinco unidades a la izquierda del origen.
89
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
19. Determinar el lugar geométrico de la ecuación x2+y2= 81
20. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C(2,3) que pasa por el punto
P(4,3)
2.11 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Puntos en coordenadas rectangulares.
2.
Puntos en coordenadas polares.
90
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
3. A(5, 53.13º) B(10, 126.86º)
4. A(2.5, 4.33) B(-7.07, 7.07)
5.
53
6. Como d(A,B) = 4 5 ;
d(B,C) = 2 5
y
d(A,C) = 6 5 ;
Entonces: d(A,B) + d(B,C) = d(A,C), luego A, B y C son colineales.
7. P (4.5, 6.5)
8. P(3,3)
9. Q(-10, -4)
10. P (5, -4) y Q (7,13/3)
11. m =1
12. θ=135º
13. Q(7,6)
14. C(18,15)
15. Perímetro =
68 + 90 + 74
16. P(3,4) y Q(5,7)
17. x2+y2=9
18.
x = −5
19.
Circunferencia con centro en el origen y radio 9.
20.
( x − 2)2 + ( y − 3) 2 = 4
91
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
PROPUESTA DE EVALUACIÓN.
EXAMEN DE LA UNIDAD 2
SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS
1. Transformar los puntos P(-5, 7) y Q (5,150º) a sus equivalentes coordenadas
polares y rectangulares respectivamente, graficar en sus correspondientes planos.
2. Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son:
A ( 3,2),
B (2, 1) y C ( 4, -7).
3. Demostrar que los siguientes puntos son colineales
A (0, 4); B (3, -2) y C (4, -4).
4. El extremo
de un diámetro de una circunferencia de centro C(2,1) es
P(6,10). Hallar las coordenadas Q(x, y) del otro extremo.
5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los
puntos: A (7, -3) y B (5, 3), graficar.
6. Hallar la ecuación
del lugar geométrico de los puntos que distan 5
unidades del origen.
7. Calcular la velocidad promedio de un móvil que pasa por los puntos P=(20, 35)
Q=(27,40), la coordenada “x” representa el tiempo en minutos, y la coordenada “y”
representa la distancia en ese instante.( recuerde v =
d
t
)
8. Dado el segmento AB, determinar las coordenadas del punto intermedio
indicado, en la dirección AB si A=(1,2) B=(6,14):
a) P1/3 AB
9. Escribe una pareja de puntos
pendiente sea la indicada:
b) P2/3 AB
P=(?,?)
Q=(?,?)
de tal manera que su
m = 2.5
10. Dibuja la gráfica de una recta cualquiera que tenga pendiente:
a) positiva.
c) negativa.
d) cero.
92
e) infinita.
Matemáticas III
Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.
BIBLIOGRAFÍA
1. Oteyza, Lam. Geometría Analítica y Trigonometría. Ed. Pearson Educación.
México, 2001.
2. Ruiz Basto. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural. México, 2002.
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4. Torres, Carlos. Geometría Analítica. Ed. Santillana. México, 1999.
5. Filloy-Hitt. Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1997.
6. Cuevas,Mejia .Geometría Analítica Dinámica Ed. Oxford. México 2005.
7. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN,
2004.
93