PR´ACTICA 2. Distribuciones discretas.

Probabilidades y Estadı́stica (Matemática) - Matemática II (Fı́sica) - 2016
PRÁCTICA 2. Distribuciones discretas.
1. Sea S = {alto, medio, bajo}. Se definen las variables aleatorias X, Y y Z como: X(alto) = −12,
X(medio) = −2, X(bajo) = 3, Y (alto) = 0, Y (medio) = 0, Y (bajo) = 1, Z(alto) = 6, Z(medio) = 0
y Z(bajo) = 4. Determinar si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa:
(a) X < Y , (b) X ≤ Y , (c) Y < Z, (d) Y ≤ Z, (e) XY < Z, (f) XY ≤ Z.
2. Sea S = {1, 2, 3, 4, 5} un espacio muestral.
(a) Definir sobre S dos variables aleatorias diferentes X e Y .
(b) Con las variables aleatorias del apartado anterior, definir Z = X + Y 2 . Calcular Z(s), ∀ s ∈ S.
3. Supongamos que S es un espacio muestral infinito. ¿Implica esto que necesariamente cualquier variable
aleatoria definida sobre S tomará un conjunto infinito de valores?
4. Sea S un espacio muestral finito de m elementos. ¿Cuántas funciones indicadoras pueden ser definidas
sobre S?
5. Determinar si las siguientes funciones son o no funciones de distribución acumulada:
(a) F (x) = x, para todo x ∈ R.


0 , si x < 0
(b) F (x) = x , si 0 ≤ x ≤ 1


1 , si x > 1


, si x < 0
0
2
(c) F (x) = x , si 0 ≤ x ≤ 1


1
, si x > 1


, si x < 0
0
2
(d) F (x) = x , si 0 ≤ x ≤ 3


1
, si x > 3


0 2 , si x < 0
(e) F (x) = x9 , si 0 ≤ x ≤ 3


1
, si x > 3


0 2 , si x < 1
(f) F (x) = x9 , si 1 ≤ x ≤ 3


1
, si x > 3


0 2 , si x < −1
(g) F (x) = x9 , si − 1 ≤ x ≤ 3


1
, si x > 3
6. Sea X una variable aleatoria con función de distribucion acumulada FX . Demostrar que:
(a) P (X > x) = 1 − FX (x), ∀ x ∈ R.
(b) P (x1 < X ≤ x2 ) = FX (x2 ) − FX (x1 ), ∀ x1 < x2 ∈ R.
(c) P (X < x) = FX (x− ), ∀ x ∈ R.
−
(d) P (x1 ≤ X < x2 ) = FX (x−
2 ) − FX (x1 ), ∀ x1 < x2 ∈ R.
(e) P (X = x) = FX (x) − FX (x− ), ∀ x ∈ R.
1
7. Suponga que la función de distribución de una variable aleatoria discreta X es como se ilustra en la
siguiente figura 1
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Calcule las siguientes probabilidades:
(a) P (X = −1)
(b) P (X = 1)
(c) P (X < 0)
(d) P (X 6 0)
(e) P (0 < X < 3)
(f) P (0 < X 6 3)
(g) P (0 6 X 6 3)
(h) P (1 6 X 6 2)
(i) P (3 6 X 6 4)
(j) P (5 < X)
(k) P (5 6 X)
(l) P (1 < X 6 2)
8. Sea X una variable aleatoria con función de distribución acumulada FX y sea a ∈ R. Demostrar que
P (X = a) = 0 si y sólo si FX es continia en a.
Distribuciones discretas
9. Se tiran dos dados equilibrados. Sea Y la variable aleatoria que indica la suma de los números que
salen. Calcular y graficar la función de probabilidad y la función de distribución acumulada de Y .
10. Supóngase que una variable aleatoria X tiene distribución discreta con la siguiente función de probabilidad:
pX (x) =
c
x2
0
si c ∈ N
si c ∈
/N
Determinar el valor de c y la función de distribución acumulada de X.
11. Sea una baraja española de 40 cartas perfectamente barajada de la que se saca una carta.
(a) Sea X el valor de la carta seleccionada. Calcular su función de probabilidad.
(b) Sea Y la v.a. que toma los valores 1, 2, 3 o 4 según se haya seleccionado una carta de oro, copa,
espada o basto respectivamente. Calcular su función de probabilidad.
(c) Sea W = X + Y . Calcular su función de probabilidad.
12. Una urna contiene 10 fichas numeradas con los dı́gitos del 0 al 9. Una vez bien mezcladas, se selecciona
una y se anota el dı́gito X de la ficha extraı́da. A continuación se reintegra la ficha a la urna, se extrae
una segunda ficha y se anota su dı́gito Y . Calcular la función de probabilidad de X + 10Y .
13. Resolver el ejercicio anterior pero ahora sin reintegrar la primer ficha.
14. Sea X ∼ Geométrica(θ). Calcular P (5 ≤ X ≤ 9).
15. Sea X ∼ Geométrica(1/5). Calcular P (5 ≤ X).
16. Sea X ∼ Binomial(12, θ). ¿Qué valor de θ maximiza P (X = 11)?
17. Sea X ∼ P (λ). ¿Qué valor de λ maximiza P (X = 11)?
2
18. Sea X una variable aleatoria discreta que toma sólo valores enteros con probabilidad positiva. Demostrar que:
pX (k) = FX (k) − FX (k − 1), ∀ k ∈ Z.
19. De un lote que contiene 15 artı́culos, de los cuales 4 son defectuosos, se eligen 5 artı́culos al azar.
Calcular la probabilidad de que al menos 2 artı́culos sean defectuosos.
20. Sea X ∼ BN (3, 1/4) y siendo X ”número de fracasos hasta alcanzar 3 éxitos”, calcule P (X > 2).
21. Suponga que un jugador de basquet encesta desde una determinado posición de la cancha con una
probabilidad de 0.35.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador logre 3 canastas en 10 lanzamientos independientes?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador tire 10 veces antes de que enceste la primer canasta?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que el jugador tire 10 veces antes de obtener 2 canastas?
22. Sea X ∼ P (λ) demostrar la siguiente fórmula de recursión:
pX (x + 1) =
λ
pX (x)
x+1
23. Sea X ∼ P (2) emplear la fórmula del ejercicio anterior para determinar las probabilidades puntuales
de X = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 y realice una gráfica de la función de probabilidad.
24. Una urna contiene 4 bolas negras y 5 bolas blancas. Tras mezclarlas perfectamente se extrae una bola,
se anota su color y se la deja fuera de la urna. Se mezcla el resto de las bolas y se extrae una segunda
bola.
(a) ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de bolas negras extraidas?
(b) ¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de bolas blancas extraı́das?
25. Suponga que una urna contiene 1000 bolas, de las cuales 1 es negra y 999 son blancas. Suponga que
extrae de la urna, con reintegro, 100 bolas al azar. Estime la probabilidad de obtener exactamente 5
veces la bola negra.
26. Dados los siguientes fenómenos, qué distribución de probabilidades usarı́a para modelizarlos?
(a) Número de ratones examinados hasta llegar a 5 infectados
(b) Número de árboles en un área dada
(c) Estado de un ratón (infectado o no)
(d) Número de ratones examinados hasta encontrar el primero infectado
(e) Número de ratones infectados por cada 10 examinados
RESPUESTAS
1. a), b), c) y e) falsos; d) y f) verdaderos.
3. No.
5. a)No b), c), e) y f ) son funciones de distribución; d) y g) no lo son.
1
10. c = P∞
1 .
n=1 n2
14.
16.
17.
21.
25.
θ((1 − θ)5 + (1 − θ)6 + (1 − θ)7 + (1 − θ)8 + (1 − θ)9 ).
11/12.
11.
a)0.258; b)0.00471; c)0.025.
0,00000008.
3