examen 2014-1-2 - portal ursul

O
SOLUCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA
ECUACIONES DIFERENCIALES
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (CAPÍTULO 1)
2013 OCTUBRE 28
O
1) (35/100 puntos) DÉ LA CLASIFICACIÓN (ordinaria o derivadas parciales, orden, grado, lineal o no lineal) (7 puntos) DE LA SIGUIENTE
ECUACIÓN DIFERENCIAL CON SU SOLUCIÓN GENERAL:
Ecuacion := x
d
y x
dx
2
d
y x
dx
K2 y x
SolucionGeneral := y x =
= K4 x
x2
CC1
C1
(1)
E INDIQUE CUÁLES DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES SON SOLUCIÓN Y DE QUÉ TIPO (particular o singular) Y CUÁLES NO LO
SON, ARGUMENTANDO CADA RESULTADO
(4 puntos cada respuesta correcta menos 2 puntos menos cada respuesta incorrecta )
1 2
x C5
5
1 2
funcion2 := y x =
x C3
3
funcion1 := y x = K
funcion3 := y x = Kx2 K1
funcion4 := y x = x2 C1
funcion5 := y x = 2 x
funcion6 := y x = K4 x
funcion7 := y x = 4 x
(2)
O restart
RESPUESTA 1) parte I
O
CLASIFICACIÓN= Ecuación diferencial ordinaria, primer orden, no-lineal, segundo grado. {EDO(1).
NL.G=2}
2
d
x2
d
O Ecuacion := x
y x
K2 y x
y x =K4 x; SolucionGeneral := y x =
CC1
dx
dx
C1
Ecuacion := x
d
y x
dx
2
K2 y x
SolucionGeneral := y x =
d
y x
dx
= K4 x
x2
CC1
C1
O Comprobacion0 d simplify eval subs y x = rhs SolucionGeneral , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion0 := 0 = 0
(3)
(4)
O
RESPUESTA 1) parte II
1
O funcion1 := y x =K x2 C5
5
(5)
1 2
x C5
5
O Comprobacion1 d simplify eval subs y x = rhs funcion1 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion1 := 8 x = 0
funcion1 := y x = K
(5)
(6)
funcion1 NO ES SOLUCIÓN.
O funcion2 := y x =
1 2
x C3
3
1 2
x C3
3
O Comprobacion2 d simplify eval subs y x = rhs funcion2 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion2 := 0 = 0
funcion2 := y x =
(7)
(8)
O ParametroDos d solve rhs funcion2 = rhs SolucionGeneral , C1
1 2
ParametroDos := 3,
x
(9)
3
funcion2 ES SOLUCIÓN PARTICULAR PUES SATISFACE LA ECUACIÓN Y EL PARÁMETRO
TOMA EL VALOR DE 3
O funcion3 := y x =Kx2 K1
funcion3 := y x = Kx2 K1
O Comprobacion3 d simplify eval subs y x = rhs funcion3 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion3 := 0 = 0
(10)
(11)
O ParametroTres d solve rhs funcion3 = rhs SolucionGeneral , C1
ParametroTres := K1, Kx2
(12)
funcion3 ES SOLUCIÓN PARTICULAR PUES SATISFACE LA ECUACIÓN Y EL PARÁMETRO
TOMA EL VALOR DE -1
O funcion4 := y x = x2 C1
2
funcion4 := y x = x C1
O Comprobacion4 d simplify eval subs y x = rhs funcion4 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion4 := 0 = 0
(13)
(14)
O ParametroCuatro d solve rhs funcion4 = rhs SolucionGeneral , C1
ParametroCuatro := 1, x2
(15)
funcion4 ES SOLUCIÓN PARTICULAR PUES SATISFACE LA ECUACIÓN Y EL PARÁMETRO TOMA
EL VALOR DE 1
O funcion5 := y x = 2 x
funcion5 := y x = 2 x
(16)
O Comprobacion5 d simplify eval subs y x = rhs funcion5 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion5 := 0 = 0
(17)
O ParametroCinco d solve rhs funcion5 = rhs SolucionGeneral , C1
ParametroCinco := x, x
(18)
funcion5 ES SOLUCIÓN SINGULAR PUES SATISFACE LA ECUACIÓN PERO NO HAY VALOR
REAL PARA EL PARÁMETRO
O funcion6 := y x = K4 x
funcion6 := y x = K4 x
(19)
O Comprobacion6 d simplify eval subs y x = rhs funcion6 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion6 := K12 x = 0
(20)
funcion6 NO ES SOLUCIÓN.
O funcion7 := y x = 4 x
funcion7 := y x = 4 x
O Comprobacion7 d simplify eval subs y x = rhs funcion7 , lhs Ecuacion
Krhs Ecuacion = 0
Comprobacion7 := K12 x = 0
(21)
(22)
funcion7 NO ES SOLUCIÓN
O
FIN RESPUESTA 1)
O restart
2) ((15/100 puntos) DADA LA SIGUIENTE SOLUCIÓN GENERAL, OBTENGA SU ECUACIÓN DIFERENCIAL CORRESPONDIENTE :
y x = _C1 e2 x C_C2 cos 3 x C_C3 sin 3 x K9 x cos 3 x
O
RESPUESTA 2)
O SolucionGeneral d y x = _C1 e2 x C_C2 cos 3 x C_C3 sin 3 x K9 x cos 3 x
SolucionGeneral := y x = _C1 e2 x C_C2 cos 3 x C_C3 sin 3 x K9 x cos 3 x
O SolucionHomogenea d y x = _C1 e2 x C_C2 cos 3 x C_C3 sin 3 x
SolucionHomogenea := y x = _C1 e2 x C_C2 cos 3 x C_C3 sin 3 x
O SolucionParticular d y x =K9 x cos 3 x
SolucionParticular := y x = K9 x cos 3 x
O EcuacionCaracteristica d expand m K2 $ m K3 I $ m C3 I = 0
EcuacionCaracteristica := m3 K18 C9 m K2 m2 = 0
O EcuacionHom d y'''K2$y''C9$y'K18 y = 0
3
d2
d
d
y x C9
y x K18 y x = 0
EcuacionHom := 3 y x K2
2
dx
dx
dx
O Q d simplify eval subs y x = rhs SolucionParticular , lhs EcuacionHom
Q := 162 cos 3 x K108 sin 3 x
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
O EcuacionFinal d lhs EcuacionHom = Q
d3
d2
d
EcuacionFinal := 3 y x K2
y x C9
y x K18 y x = 162 cos 3 x
2
dx
dx
dx
K108 sin 3 x
O Comprobacion1 d simplify dsolve EcuacionFinal
36
54
Comprobacion1 := y x = K
cos 3 x K9 x cos 3 x C
sin 3 x C_C1 cos 3 x
13
13
(30)
(31)
C_C2 e2 x C_C3 sin 3 x
O
FIN RESPUESTA 2)
O restart
3) (25/100 puntos) OBTENGA LA SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA SIGUIENTE ECUACIÓN DIFERENCIAL CON LA CONDICIÓN
INICIAL DADA - UTILIZANDO EXCLUSIVAMENTE EL MÉTODO DE FACTOR INTEGRANTE - (no utilizar dsolve, ni exactsol, ni
separablesol)
2 x y x ln y x
C x2 Cy x
2
y x 2 C1
d
y x
dx
=0
y 1 =2
(32)
RESPUESTA 3)
O Ecuacion d 2 x y x ln y x
C x2 Cy x
Ecuacion := 2 x y x ln y x
2
d
y x =0
dx
d
y x 2 C1
y x =0
dx
y x 2 C1
C x2 Cy x
2
(33)
O Condicion d y 1 = 2
Condicion := y 1 = 2
(34)
1
y x
(35)
O with DEtools :
O intfactor Ecuacion
O M d 2 x y ln y ; N d x2 Cy2
y2 C1
M := 2 x y ln y
N := x2 Cy2 y2 C1
O DerMy d diff M, y ; DerNx d diff N, x
DerMy := 2 x ln y C2 x
DerNx := 2 x
DerNxKDerMy
O fd
M
1
f := K
y
1
O FactInt d isolate int
, mu = int f, y , mu
mu
1
FactInt := μ =
y
O MM d simplify rhs FactInt $M ; NN d simplify rhs FactInt $N
(36)
(37)
(38)
(39)
MM := 2 x ln y
NN :=
O
O
O
O
O
x2 Cy2
y2 C1
y
comprobacion d diff MM, y Kdiff NN, x = 0
comprobacion := 0 = 0
IntMMx d int MM, x
IntMMx := x2 ln y
SolucionGeneral d int MM, x Cint NN Kdiff IntMMx, y , y = C1
3/2
1
SolucionGeneral := x2 ln y C
y2 C1
= C1
3
Parametro d subs x = 1, y = 2, lhs SolucionGeneral
5
Parametro := ln 2 C
5
3
SolucionParticular d subs C1 = Parametro, SolucionGeneral
3/2
1
5
SolucionParticular := x2 ln y C
y2 C1
= ln 2 C
3
3
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
5
(45)
O
FIN RESPUESTA 3)
O restart
4) (25/100 puntos) DADA LA ECUACIÓN DIFERENCIAL, OBTENGA SU SOLUCIÓN GENERAL (no utilizar dsolve, ni exactsol, ni
separablesol):
y x 3 C2 x3 Kx y x
2
d
y x
dx
=0
(46)
O
RESPUESTA 4)
O Ecuacion d y x 3 C2 x3 Kx y x
2
d
y x
dx
3
3
Ecuacion := y x C2 x Kx y x
=0
2
d
y x
dx
=0
O with DEtools :
O odeadvisor Ecuacion
_homogeneous, class A , _rational, _dAlembert
O EcuacionDos d simplify isolate eval subs y x = u x $x, Ecuacion , diff u x , x
d
1 u x u x 2 K2
EcuacionDos :=
u x =K
dx
2 x K1 Cu x 2
O Pd
(47)
(48)
(49)
1 u u2 K2
$
2
K1 Cu2
P :=
O Solucion d int
1 u u2 K2
2 K1 Cu2
(50)
1
1
, x Cint
, u = C1
x
P
(51)
Solucion := ln x C
O SolucionDos d subs u =
1
ln u2 K2 Cln u = C1
2
(51)
y
, Solucion
x
1
y2
y
SolucionDos := ln x C
ln 2 K2 Cln
2
x
x
= C1
(52)
O SolucionGeneral d expand simplify exp lhs SolucionDos $$2 = C1
y4
SolucionGeneral := 2 K2 y2 = C1
x
O SolSol d
y x
x2
4
K2 y x
2
= C1
y x 4
K2 y x 2 = C1
2
x
O DerSolSol d simplify isolate diff SolSol, x , diff y x , x
d
1
y x 3
DerSolSol :=
y x =
dx
2 x y x 2 Kx2
O DerSol d isolate Ecuacion, diff y x , x
d
y x 3
DerSol :=
y x =K 3
dx
2 x K2 x y x 2
O Comprobar d simplify rhs DerSolSol Krhs DerSol = 0
Comprobar := 0 = 0
O
SolSol :=
FIN EXAMEN
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)