APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA
DERIVADA
La Rigidez de una viga rectangular es
conjuntamente proporcional a su anchura y
al cubo de su espesor. Determinar las
dimensiones de mayor rigidez que puede
cortarse de un tronco en forma de cilindro
circular recto, cuyo radio es “a”.
Sea:
La rigidez esta dada por:
R =K*(ancho)*(espesor)^3
2a
y
x
Por lo tanto:
R =K*(ancho)*(espesor)^3
(2a)^2 = (x )^2 + (y )^2
=>
R=K*X*Y^3
1
2
DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2:
4a^2 - x^2 = y^2
REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE:
R=K*X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½
ECUACION PRINCIPAL
DERIVANDO LA ECUACION:
R=K*X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½
dR/dx = K*[(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x)
IGUALANDO EN CERO:
0 = [(4a^2 - x^2) ^1/2]*[(4a^2 - x^2) – 3x]
SE OBTIENEN 2 SOLUCIONES:
1°
(4a^2 - x^2) ^1/2 = 0
=> 2a = x
, se descarta.
2°
(4a^2 - x^2) – 3x = 0
=> a = x , solucion valida.
Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuacion
principal:
R=K*a*(4a^2 - a^2)*(4a^2 - a^2) ^½
R=K*a*(3a ^2) ^(3/2)
R=K*(3^(3/2))*a^4
Recordemos que:
f´´(x) > 0 , es minino
f´´(x) < 0 , es máximo
como vemos:
dR/dx = K*[(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x)
d²R/dx = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)]
IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE:
d²R/dx < 0
POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE
MAYOR RIGIDEZ SON:
AREA VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO)
A= a²(3^½)L
o
A= x²(3^½)L