APLICACIONES DE LA DERIVADA
Anuncio
APLICACIONES DE LA DERIVADA La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”. Sea: La rigidez esta dada por: R =K*(ancho)*(espesor)^3 2a y x Por lo tanto: R =K*(ancho)*(espesor)^3 (2a)^2 = (x )^2 + (y )^2 => R=K*X*Y^3 1 2 DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2: 4a^2 - x^2 = y^2 REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE: R=K*X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½ ECUACION PRINCIPAL DERIVANDO LA ECUACION: R=K*X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½ dR/dx = K*[(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x) IGUALANDO EN CERO: 0 = [(4a^2 - x^2) ^1/2]*[(4a^2 - x^2) – 3x] SE OBTIENEN 2 SOLUCIONES: 1° (4a^2 - x^2) ^1/2 = 0 => 2a = x , se descarta. 2° (4a^2 - x^2) – 3x = 0 => a = x , solucion valida. Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuacion principal: R=K*a*(4a^2 - a^2)*(4a^2 - a^2) ^½ R=K*a*(3a ^2) ^(3/2) R=K*(3^(3/2))*a^4 Recordemos que: f´´(x) > 0 , es minino f´´(x) < 0 , es máximo como vemos: dR/dx = K*[(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x) d²R/dx = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)] IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE: d²R/dx < 0 POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON: AREA VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO) A= a²(3^½)L o A= x²(3^½)L
![dle= ( ) dp + [CfT_]dv - Anales del Instituto de Ingenieros de Chile](http://s2.studylib.es/store/data/005562030_1-9fd5d2e98b8759b702a8a82948157c26-300x300.png)
