Cálculo de la Probabilidad de Ruina de una Empresa Aseguradora

UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE MATEMÁTICAS
Cálculo de la Probabilidad de
Ruina de una Empresa
Aseguradora.
TESIS
Para aprobar Experiencia Recepcional
Correspondiente al Plan de Estudios de la
Licenciatura en Matemáticas
P R E S E N T A:
Surya Nayeli Ramı́rez Hernández
DIRECTOR DE TESIS:
Dr. Jorge Álvarez Mena
CODIRECTOR DE TESIS:
Dr. Rufino Raquiel López Martı́nez
Abril del año 2013
Xalapa, Ver. México
Índice
1. Preliminares.
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Conceptos básicos de Probabilidad y Economı́a . . . . . . . . . .
2. Teorı́a del Riesgo.
2.1. Introducción. . . . . . . . . .
2.2. Modelo Individual de Riesgo.
2.2.1. Fórmula de Pril. . . .
2.3. Modelo colectivo de riesgo . .
2.3.1. Fórmula de Panjer. . .
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3. Probabilidad de ruina
3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Modelo Clásico de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Probabilidad de ruina de una empresa aseguradora.
3.2.2. Desigualdad de Lundberg . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Simulación
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Algoritmo para la probabilidad de ruina. . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Estimación de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ G(2, 1).
4.2.2. Estimación de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ exp(1).
4.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introducción
La Teorı́a de Riesgo , particularmente, la Teorı́a de la Ruina, son dos importantes ramas de la matemáticas actuariales, cuyo orı́gen se remonta al siglo 17.
Pero no nos vayamos tan lejos, basta con un siglo atrás, al año 1903, cuando
la Teorı́a de la Ruina da un paso importante impulsado por el actuario Filip
Lundberg, cimentando ası́ los principios teorı́cos de lo que después serı́a llamado
modelo clásico de riesgo Poisson compuesto.
La idea básica del trabajo de Lundberg, fue la descripción del reaseguro de
riesgos colectivos y del proceso de poisson compuesto. De esa forma es como la
teorı́a de riesgo moderna encontraba sus bases.
Ya en la década de los 30’, esta teorı́a se veı́a favorablemente influenciada
por Harald Cramér, quien la detalló matemáticamente introduciendo en ella
métodos de la teorı́a actuarial referentes a la teorı́a de riesgo colectivo. Cramer escribió, después de haber hecho su análisis sobre el tema, que la tesis de
Lundberg tenı́a una reputación de ser imposible de entender, y además decı́a al
respecto: “one cannot help being struck by his ability to deal intuitively with
concepts and methods that would have to wait another thirty years before being
put on a rigorous foundation”[1]. En otras palabras, las ideas de este actuario
estaban 30 años adelantadas.
El modelo clásico de riesgo está hecho para modelar el fujo del capital de
una empresa que se dedica especı́ficamente a los seguros. En la actualidad hay
muchas maneras de modelar el comportamiento de este capital, este trabajo
está basado principalmente en el modelo planteado por Lundberg, el cual puede
resumirse en una resta entre los ingresos y los egresos de la empresa. Los ingresos
se conforman por el capital inicial de la empresa y por la prima que la aseguradora recibe de cada cliente y los egresos lo conforman la suma de los reclamos
que se hacen por el cobro del seguro que hacen los clientes en un intervalo de
tiempo. Un suceso importante para la empresa se presenta cuando el capital es
menor o igual a cero, lo que en teorı́a del riesgo se denomina como ruina. Por
consiguiente, el objetivo principal de este trabajo es calcular la probabilidad de
ruina de una aseguradora a través de los enfoques analı́tico y por simulación.
La tesis está estructurada de la siguiente forma: en el primer capı́tulo, se hace un repaso de los conceptos básicos de probabilidad y economı́a que serán la
base para el estudio posterior. En el segundo capı́tulo, se muestran dos maneras
en que se puede calcular la suma de los reclamos que harán los clientes por el
cobro del seguro a través de la fórmula de Pril y la fórmula de Panjer. En el
tercer capı́tulo, se estudia al capital de la empresa por medio del modelo clásico
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de riesgo, obteniéndose una expresión general para la probabilidad de ruina que
posteriormente se especializa al caso en el que las reclamaciones tiene distribución exponencial, también se presenta otra expresión para esta probabilidad
para el caso en que los reclamos tienen distribución gamma. Finalmente, en el
cuarto capı́tulo, se hace uso de simulación para calcular la ruina , se propone
un código para simular el proceso de los reclamos y estimar la probabilidad de
ruina, los resultados se comparan con los obtenidos por medio de las expresiones
analı́ticas, con el fin de conocer su precisión.
3
1.
4
Preliminares.
1.1.
Introducción
Decı́a Augusto Comte que ...“todo estudio cientı́fico que no tiene un fundamento matemático es débil en su base”. Pot tal hecho, la base para el estudio
que se presenta está formada por dos disciplinas, la probabilidad y la economı́a.
Aunque ambas son muy amplias, en este capı́tulo únicamente daremos algunas
definiciones que son útiles y necesarias para una mejor comprensión de los modelos que abordaremos más adelante.
Del área de probabilidad, los conceptos principales en los que estamos interesados son: variable aleatoria, función de distribución, esperanza, esperanza
condicional, proceso estocástico y proceso de Poisson. Y los conceptos de economı́a están enfocados al ámbito de los seguros, para ello definimos los términos:
empresa aseguradora, póliza de seguro, reclamo, prima y riesgo.
1.2.
Conceptos básicos de Probabilidad y Economı́a
Para iniciar con los conceptos de Probabilidad, consideremos que un experimento es un proceso el cual nos conduce a un resultado especı́fico. De esta
forma mezclar dos componentes quı́micos, producir un impacto entre partı́culas
o ver cuánto daño hace un proyectil impactado en una zona, son ejemplos de
experimentos.
Generalmente, consideramos que los experimentos se dividen en dos ramas,
por un lado tenemos a todos aquellos experimentos que después de definir las
condiciones bajo las cuales se realizan, su resultado queda únicamente determinado, a estos les llamamos experimentos deterministas. Por otro lado, están
aquellos experimentos en los cuales, una vez definidas la condiciones bajo las
cuales se realizan, aún si se hicieran varias repeticiones de él, se pueden obtener
distintos resultados. Es ası́ como tenemos las siguiente definición.
Definición 1.1 (Experimento aleatorio). Un experimento aleatorio es un experimento con la propiedad de que, una vez que se definen las condiciones bajo
las cuales se realiza, su resultado no queda únicamente determinado.
Ejemplo 1. Algunos ejemplos de experimentos aleatorios son:
a) Lanzar un dado y anotar el número que resulta en la cara superior;
b) Lanzar dos dados y anotar el vector (x1 , x2 ) donde x1 y x2 representan el
número de puntos en la cara superior del dado 1 y dado 2 respectivamente;
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c) En una urna con a bolas rojas, b bolas blancas y c bolas azules extraer 3
al azar y anotar el color de cada una;
d) Medir el tiempo de vida de una lámpara que tomamos de cierta fábrica;
Concerniente a los experimentos aleatorios destacamos las siguientes definiciones y ejemplos.
Definición 1.2 (Espacio muestral). El espacio muestral de un experimento
aleatorio, que denotaremos por Ω, es el conjunto formado por todos los posibles
resultados del experimento.
La colección de todos los subconjuntos de Ω se llama conjunto potencia de
Ω y se denota 2Ω . Para ilustrar un poco analicemos algunos ejemplos.
Ejemplo 2. Para el experimento aleatorio del ejemplo 1(b), el espacio muestral
está dado por:
Ω = {(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)}.
Ejemplo 3. En el experimento aleatorio del ejemplo 1(d), el tiempo de vida de
una lámpara es un número real no negativo. Ası́ nuestro espacio muestral es
Ω = {x ∈ R : x ≥ 0}
En este caso, Ω es un conjunto infinito no numerable.
Ahora, si tenemos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es Ω, entonces es posible definir lo que será una σ-álgebra para Ω.
Definición 1.3 (σ-álgebra de Ω). Diremos que una colección F ⊂ 2Ω , es σálgebra de subconjuntos de Ω si
∅ ∈ F,
Si A ∈ F entonces tambien (Ω \ A) ∈ F,
Si Ai ∈ F para i = 1, 2, ..., entonces tambien (∪i Ai ) ∈ F.
A cualquier subconjunto A de F le llamamos evento de Ω.
Si F es una σ-álgebra para Ω entonces al par (Ω, F) le llamamos espacio
medible.
Una vez definida la σ-álgebra y el espacio medible es posible introducir el
concepto de medida.
6
Definición 1.4 (Medida y espacio de medida). Una función g : F → [0, ∞] es
una medida si g(∅) = 0 y para toda colección {Ai }∞
i=1 de eventos de Ω ajenos a
pares se tiene
∞
∞
[
X
g
Ai =
g(Ai ).
i=1
i=1
A la terna (Ω, F, g) le llamamos espacio de medida.
Definición 1.5 (Medida de probabilidad y espacio de probabilidad). Una medida P : F → [0, ∞] es medida de probabilidad si P (Ω) = 1.
Si P es una medida de probabilidad sobre (Ω, F), al espacio medible (Ω, F, P )
le llamamos espacio de probabilidad.
Muchas veces cuando realizamos un experimento aleatorio estamos interesados en una caracterı́stica numérica del experimento. Retomando al ejemplo
1(b) sobre el lanzamiento de dos dados, podrı́amos estar interesados en la
suma del número de puntos que resulte en cada dado. La caracterı́stica que
nos interesa puede representarse mediante una función X : Ω → R donde
X(x1 , x2 ) = x1 + x2 . Ya que el experimento es aleatorio y el valor de X depende
del resultado del experimento, antes de realizar éste, no es posible conocer su
valor y por lo tanto carece de sentido preguntarse por el valor que tendrá X.
Una pregunta pertinente es: ¿Cuál es la probabilidad de que dicha carácterı́stica
numérica tome uno de los valores de cierto conjunto B, es decir, la probabilidad
del conjunto [X ∈ B]. Si para el experimento aleatorio hemos determinado el
espacio de probabilidad (Ω, F, P ), podemos responder esta pregunta sólo si el
conjunto [X ∈ B] es elemento de la sigma-álgebra, es decir, si es un evento.
Definición 1.6 (Variable aleatoria). Una variable aleatoria X sobre el espacio
de probabilidad (Ω, F, P ) es una función de Ω a R, con la siguiente propiedad
∀α ∈ R,
{ω ∈ Ω|X(ω) ≤ α} ∈ F.
Si X es una variable aleatoria definida sobre (Ω, F, P ), decimos que es discreta si el conjunto de valores de X es finito o infinito numerable. Decimos que
X es continua si el conjunto de valores es un conjunto no numerable.
Las variables aleatorias X y Y son independientes si para toda a, b,
P {X ≤ a, Y ≤ b} = P {X ≤ a}P {Y ≤ b}.
A continuación, definiremos algunos conceptos relacionados con variable
aleatoria como: función de distribución, función de densidad, esperanza y varianza; ya que a través de estos podemos conocer las probabilidades con que
la variable aleatoria puede tomar sus diferentes valores, la probabilidad de que
caiga dentro de una región especı́fica del espacio de posibilidades, la dispersión
de sus datos y localizar el centro de masa para su distribución de probabilidad.
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Definición 1.7 (Función de distribución). Una función de distribución para la
variable aleatoria X, es una función FX : R → [0, 1] definida por
FX (x) = P (X ≤ x),
−∞ < x < ∞.
La función de distribución FX tiene las siguientes propiedades (ver [2] pag.21):
(i) 0 ≤ FX (x) ≤ 1 para todo x ∈ R.
(ii) FX (x) ≤ FX (y) siempre que x ≤ y.
(iii) limx→−∞ FX (x) = 0 y limx→∞ FX (x) = 1.
(iv) FX es continua por la derecha.
Ahora, supongamos que una función F satisface las propiedades (i)-(iv).
Entonces existe una variable aleatoria X tal que F = FX , es decir, F es su
función de distribución.
Ejemplo 4. Existen funciones particulares que cumplen con las propiedades de
función de distribución, a continuación ejemplos de algunas de ellas.
a) Distribución de Poisson. Sea λ es un número real positivo. Decimos
que una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson con parámetro
λ, X ∼ P oi(λ), si su función de probabilidad está dada por
P (X = x) =
e−λ λx
x!
y su función de distribución se define como sigue
P (X ≤ x) =
x
X
e−λ λk
k!
k=0
La distribución Poisson expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de eventos
durante cierto periodo de tiempo, x representa el número de ocurrencias
del evento y λ es un parámetro que representa el número de veces que se
espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado.
b) Distribución Gamma. Sean n y α números reales positivos. Decimos
que una variable aleatoria X tiene distribución Gamma con parámetros
n y α, X ∼ G(n, α), si tiene como función de distribución la siguiente
función.
P (X ≤ x) =
1
n
α Γ(n)
Z
x
u
un−1 e α du
0
Esta distribución se utiliza para modelar variables aletorias continuas con
asimetrı́a positiva, es decir, variables que presentan una mayor densidad
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de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. El parámetro n
sitúa la máxima intensidad de probabilidad es por ello que algunas veces
le llamamos la forma de la distribución. El parámetro α determina el alcance de la asimetrı́a desplazando la densidad de probabilidad en la cola
de la derecha. Por último la función Gamma Γ(n) es responsable de la
convergencia de la distribución.
c) Distribución exponencial. Decimos que una variable aleatoria X tiene
distribución exponencial con parámetro λ > 0, X ∼ exp(λ), si su función
de distribución está dada por la siguiente fórmula:
0
para x < 0
FX (x) = P (X ≤ x) =
1 − e−λx para x ≥ 0
Esta distribución describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo
hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que el tiempo que pueda
transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un
instante tf , no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que
no ha pasado nada.
Definición 1.8 (Función de densidad). Una función f : R → R es una función
de densidad si satisface
(i) f( x) ≥ 0 para cualquier x ∈ R.
R∞
(ii) −∞ f( x)dx = 1.
De la propiedad (ii) obtenemos una función de distribución, y ya que, dada
una función de distribución existe una varible aleatoria de la cual es distribución, ésta función de densidad está definida para dicha variable aleatoria.
Definición 1.9 (Esperanza). Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad y X :
Ω → R una variable aleatoria, definimos la esperanza por
Z
E(X) =
XdP
Ω
De manera particular, cuando la variable aleatoria X esP
finita y cuyos pon
sibles valores son x1 , ..., xn , tenemos que la esperanza de X es i=1 xi P [X = xi ].
Fı́sicamente el valor esperado se interpreta como el centro de masa o centro
de gravedad de la distribución de probabilidad.
Deteniéndonos un poco en este concepto, generalmente, surgen algunas ideas
erróneas alrededor de la esperanza o valor esperado, ya que el término “valor
esperado”sugiere dos cosas, una que la esperanza coincide con algún valor que
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toma la variable aleatoria X y otra, que es un valor que se espera obtener al realizar el experimento aleatorio. Para aclarar estas dos cosas pongamos un ejemplo
sencillo.
Consideremos el experimento aletario de lanzar un dado y la varible aleatoria
X es el número de puntos en la cara superior del dado. Si calculamos su valor
esperado, obtenemos:
1
1
1
1
1
1
E[X] = 1( ) + 2( ) + 3( ) + 4( ) + 5( ) + 6( ) = 3,5
6
6
6
6
6
6
Y este resultado, de ninguna manera es un valor que toma la variable aleatoria X y mucho menos un valor que esperamos obtener en la realización del
experimento aleatorio. Por ello diremos que el valor esperado de X representa
el promedio de los valores que toma la variable aleatoria cuando el experimento
aleatorio se repite muchas veces. La esperanza de X no es entonces un valor que
esperamos obtener para X, pero si el valor que esperamos obtener en promedio.
Definición 1.10 (Varianza). Sea X una variable aleatoria, cuyo valor esperado
es µ = E(X). La varianza de X, denotada V (X), está definida por
V (X) = E((X − µ)2 ).
La varianza de X es una caraterı́stica númerica que proporciona una idea de
la dispersión de la variable respecto de su esperanza. Algunas veces le llamamos
parámetro de dispersión.
Con las definiciones anteriores, podemos dar la esperanza y varianza de las
variables aleatorias con las distribuciones del ejemplo 4. De forma correspondiente con los incisos:
(a) Poisson: E[X] = V [X] = λ.
(b) Gamma: E[X] =
n
α
, V [X] =
n
α2 .
(c) Exponencial: E[X] = λ1 , V [X] =
1
λ2 .
Definición 1.11 (Esperanza condicional). Sean (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad, X una variable aleatoria con esperanza finita y G una sub-σ-álgebra
de F; es decir, G es una σ-álgebra contenida en F. La esperanza condicional de
X dado G es una variable aleatoria denotada por E(X|G) que cumple con las
siguientes propiedades:
1. Es una variable aleatoria con respecto a la σ-álgebra G.
2. Tiene esperanza finita.
3. Para cualquier evento G en G, E(E(X|G)1G ) = E(X1G )
10
En la tercera propiedad, 1G es la función indicadora del conjunto G sobre Ω
que toma el valor 1 sobre G y 0 en el complemento de G.
Podemos demostrar que esta variable existe y es única casi seguramente, lo
cual significa que si existe otra variable aleatoria con las tres propiedades anteriores, entonces es igual a E(X|G) excepto en un subconjunto de un conjunto
medible de medida cero.
Proposición 1. Las siguientes son algunas propiedades de la esperanza condicional:
(a) E(X|{∅, Ω}) = E(X).
(b) E(1A |{∅, Ω}) = P (A).
(c) E(E(X|G)) = E(X). En particular, E(P (A|Y )) = E(1A ) = P (A).
(d) Teorema de convergencia monótona.
Si 0 ≤ Xn % X, entonces E(Xn |G) % E(X|G) c.s.
(e) Desigualdad de Jensen.
Si ϕ es convexa, entonces ϕ(E(X|G)) ≤ E(ϕ(X)|G).
(f ) Si X es independiente a G, entonces E(X|G) = X.
Para finalizar la sección de probabilidad daremos las siguientes definiciones
que serán utilizadas para definir el proceso clásico de riesgo.
Definición 1.12 (Proceso estocástico). Sea (Ω, F, P ) un espacio de probabilidad. Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias {Xt : t ∈ T }
definidas sobre el espacio de probabilidad, parametrizada por un conjunto T , llamado espacio parametral, y con valores en un conjunto S llamado espacio de
estados. (ver [3] pag.1)
Cuando tomamos como espacio parametral al conjunto discreto T = {0, 1, 2, ...}
decimos que el proceso es a tiempo discreto, cuando tomamos al conjunto continuo T = [0, ∞) el proceso es a tiempo continuo.
Los distintos tipos de procesos estocásticos provienen de tomar varias posibilidades para el espacio muestral Ω, el espacio de estados y principalmente a
las relaciones de dependencia entre las variables aleatorias del proceso.
Un ejemplo muy particular e importante de proceso estocástico es el que a
continuación definimos.
11
Definición 1.13 (Proceso de Poisson). Sea T1 , T2 , ... una sucesión de variables
aleatorias independientes cada una con una distribución exponencial exp(λ). Un
proceso de Poisson de parámetro (o intensidad) λ, es un proceso estocástico a
tiempo continuo {Nt : t ≥ 0} definido de la siguiente manera:
Nt = max{n ≥ 1 : T1 + ... + Tn ≤ t}. (ver [3] pag.98)
Postulamos que el proceso inicia en cero, para ello definimos max∅ = 0.
Ya que el parámetro λ no cambia con el tiempo, dicimos que es homogéneo
en el tiempo, por ello a este proceso también se le llama proceso de Poisson
homogéneo.
A continuación presentamos los conceptos del área de economı́a que son de
nuestro interés y están efocados hacia el análisis de los seguros.
Definición 1.14 (Aseguradora). Una compañı́a aseguradora es la persona (jurı́dica) que asume la obligación del pago de la indemnización cuando ocurra el evento establecido en el acuerdo, se dedica a asumir riesgos ajenos a cambio de un
pago.
Dado que el seguro es un asunto que concierne a toda una comunidad, y que
está directamente ligado con su bienestar, las entidades que están interesadas
en actuar como aseguradoras se les exige una serie de formalidades jurı́dicas y
económicas, obedeciendo ambas a la entidad que se quiera formar para proveer
los seguros.
Definición 1.15 (Póliza de seguro). Es un contrato entre el asegurado y la
aseguradora, en donde se obliga a la empresa a pagar una suma de dinero al
asegurado, al verificarse la eventualidad prevista en el contrato.
La vida de la aseguradora depende de varios aspectos, algunos de ellos son:
los riesgos, los reclamos y las primas que a continuación se explican con más
detalle.
Definición 1.16 (Prima). Una prima es el pago que se hace a la aseguradora
por una póliza.
Elementalmente, un reclamo es la cantidad monetaria que un cliente demandará a una empresa aseguradora de acuerdo a lo que establece la póliza.
Es necesario hacer una distinción entre reclamo y monto del reclamo, por
una parte el monto del reclamo es la cantidad demandada por un asegurado
cuándo el evento establecido en la póliza ha ocurrido. Por otra parte, el reclamo
está sujeto a la ocurrencia del evento y su valor se conoce hasta que el evento
acurre. De acuerdo con la terminologı́a de la teorı́a de la Probabilidad, un reclamo es una variable aleatoria y el monto de un reclamo es una realización de
12
dicha variable aleatoria.
Ahora, si la aseguradora tiene
Pnn clientes y denotamos al reclamo del i-ésimo
cliente por Yi el reclamo total, i=1 Xi , se denomina riesgo de la aseguradora.
En las definiciones anteriores deliberadamente hemos evitado involucrar el
tiempo debido a que la manera de incluirlo depende del tipo de seguro y el
modelo que se asuma como se mostrará en los siguientes capı́tulos.
13
2.
14
Teorı́a del Riesgo.
2.1.
Introducción.
En este capı́tulo presentamos tanto al modelo individual como al modelo
colectivo de riesgo. La razón de su mención es por que contienen la esencia del
modelo clásico de riesgo que después usaremos para el cálculo de la ruina.
Una empresa aseguradora se especializa en la actividad económica de producir un servicio de seguridad, entiéndase esto como cubrir económicamente
ciertos riesgos. Ası́, dicha empresa cuenta con una cantidad de clientes que en
determinado momento realizan un reclamo igual al monto que ambas partes
convinieron. Un reclamo está sujeto a la ocurrencia del evento fortuito establecido en la póliza. De modo que, es del interés de la aseguradora saber cuál
será el monto total, o riesgo, por los reclamos que se hacen durante un periodo
de tiempo determinado, con el fin de conocer si la aseguradora está preparada para cubrir dicha cantidad. Por tal motivo, la mayorı́a de los modelos para
compañias de seguros se clasifican de acuerdo a la manera de expresar el riesgo,
el cual es una variable aleatoria. Las principales carácterı́sticas de una variable
aleatoria pueden obtenerse de su función de distribución, por ello el objetivo en
este capı́tulo es encontrar una expresión para calcular la función de distribución
del riesgo en los modelos individual y el colectivo.
El modelo individual está diseñado para una aseguradora en donde se tiene
una cantidad fija de pólizas que se pueden clasificar por ((cantidad asegurada))
y ((probabilidad de que hagan reclamo)) donde los asegurados pueden hacer un
sólo reclamo. El modelo para el riesgo consiste en asignar una variable aleatoria
al reclamo de cada cliente, es decir, modelar indivudualmente cada cliente y
despúes sumarlos.
Este modelo corresponde al funcionamiento de los seguros de vida en donde
los asegurados sólo hacen un reclamo y la probabilidad de que se haga un reclamo se obtiene de la taza de mortalidad de cada individuo.
Por otro lado tenemos al modelo colectivo, en el cual la aseguradora tiene
una cantidad de clientes los cuales son tratados de manera colectiva, es decir,
como un todo, luego un número aleatorio de ellos harán reclamos y cada uno
puede hacer más de una reclamación. Ası́, el número de reclamaciónes que hay
en un intervalo de tiempo es una variable aleatoria. Además, el reclamo que
harán también es una varible aleatoria ya que oscila entre una rango de posibilidades que la aseguradora ofrece, por lo que el riesgo lo modelamos como la
suma de un número aleatorio de reclamos.
El modelo colectivo corresponde a un tipo más general de seguros, puede
aplicarse por ejemplo a los seguros de automóviles en donde el asegurado puede
hacer más de una reclamación y la cantidad que se reclama varı́a entre un intervalo de cantidades dependiendo de los términos del contrato con la aseguradora.
15
La presentación de los modelos esta inspirada en los artı́culos Introducción a
la teorı́a del riesgo (ver [4] pags.9-17) e Individual risk model (ver [5] pags.184188) en los cuales podemos encontrar un análisis más completo.
2.2.
Modelo Individual de Riesgo.
Una aseguradora cuenta con una cartera con n pólizas de seguro válidas por
un año. Por cada póliza habrá a lo más una reclamación en el año, las reclamaciones son independientes entre ellas. Sea pj , j ≤ n la probabilidad de que el
j-ésimo asegurado no efectue ninguna reclamación y qj la probabilidad de que
observemos exactamente una reclamación, ası́ pj + qj = 1.
Definimos ahora la variable aleatoria Aj que toma el valor de 1 cuando hay
una reclamación en la póliza j y 0 cuando no la hay; es decir,
1 con probabilidad qj ,
Aj =
0 con probabiliadad pj .
Ası́, Aj tiene una distribución Bernoulli con parámetro qj .
Sea Cj > 0 la cantidad asegurada en la póliza j.
Por lo tanto, el reclamo que se hará a la empresa está dada por el producto
Aj Cj como sigue
Cj si Aj = 1,
Aj C j =
0
si Aj = 0
Las variables Aj y Cj , las suponemos independientes.
Definición 2.1. Llamamos riesgo a la variable aleatoria que representa el monto total de las reclamaciones,
S=
n
X
Aj Cj .
(1)
j=1
Luego, la variable S, es el monto total que enfrenta la compañı́a para cubrir
las reclamaciones durante el periodo completo del seguro.
El modelo individual se resume en la ecuación (1) junto con las carácteristicas establecidas anteriormente. Le llamamos de esta forma porque lleva el
registro de las probabilidades de reclamación y monto de cada uno de los clientes
de manera individual.
16
Desde la perspectiva matemática y de seguro, el objetivo es analizar la variable aleatoria S determinando su función de distribución.
Hablemos de algunas caracterı́sticas de S. Denotemos por Yj al producto
Aj Cj , Fj la función de distribución de Xj , Gj (x) la función de distribución de
Cj y MX (t) como la función generadora de momentos de la variable aleatoria X.
Proposición 2.
1. Fj (y) = pj 1[0,∞) (y) + qj Gj (y).
2. MYj (t) = 1 + qj (MCj (t) − 1).
Qn
3. MS (t) = j=1 [1 + qj (MCj (t) − 1].
Pn
4. E(S) = j=1 qj E(Cj ).
Pn
5. V ar(S) = j=1 [qj V ar(Cj ) + qj pj E 2 (Cj )].
Demostración.
1. Para cualquier número real y,
Fj (y)
= P [Yj ≤ y] = P [Aj Cj ≤ y]
= P [Aj Cj ≤ y|Aj = 0]P [Aj = 0] + P [Aj Cj ≤ y|Aj = 1]P [Aj = 1]
= pj 1[0,∞] (y) + qj Gj (y).
2. Al utilizar la definición de la función generadora de momentos tenemos
MYj (t)
= E(etAj Cj )
= E(etAj Cj |Aj = 0)P (Aj = 0) + E(etAj Cj |Aj = 1)P (Aj = 1)
= pj + E(etCj |Aj = 1)qj
= 1 + qj (MCj (t) − 1).
3. Si usamos la independencia de las Yj
Q
MS (t) =
M (t)
Qj Yj
=
j [1 + qj (MCj (t)) − 1].
4. Debido a la independencia de las variables
P
E(S) =
E(Yj )
Pj
=
E(Aj )E(Cj )
Pj
=
j qj E(Cj )
5. Primero, E(Aj Cj ) = qj E(Cj ) y E(A2j Cj2 ) = qj E(Cj2 ), ası́
V ar(Yj )
=
=
=
=
E((Aj Cj )2 ) − (E(Aj Cj ))2
qj E(Cj2 ) − (qj E(Cj ))2
qj [V ar(Cj ) + E 2 (Cj )] − qj2 E 2 (Cj )
qj V ar(Cj ) + pj qj E 2 (Cj ).
17
Por lo tanto,
V ar(S)
2.2.1.
P
=
V ar(Yj )
Pj
2
=
j qj V ar(Cj ) + pj qj E (Cj ).
Fórmula de Pril.
Dado que Xj son variables aleatorias independientes se puede usar la convolución para calcular la función de distribución F (x) de su suma.
La convolución para dos variables aleatorias independientes X y Y es como
sigue:
Z
∞
FX+Y (S) = P [X + Y ≤ s] =
FY (s − x)dFX (x) =: (FX ∗ FY )(s)
−∞
La función de distribución FX ∗ FY (·) la conocemos convolución de las funciones de distribución FX (·) y FY (·).
Ası́ para la suma de las variables aleatorias independiente e identicamente
distribuidas (iid) Xn con función de distribución F , la función de distribución
es la n-ésima convolución
F ∗ F ∗ ... ∗ F := F ∗n
Este método se hace difı́cil por el número de convoluciones que debemos realizar, por lo que existen algunos otros métodos alternativos, un artı́culo que aborda varios enfoques para este problema es “Convolutions of distributions”(Ver
[5] pag.85).
Para desarrollar la fórmula de Pril, denotamos por nij al número de pólizas de seguro, con un monto de reclamación Ci = i y con probabilidad qj de
hacer un reclamo, es decir, las pólizas clasificadas según el monto del reclamo
y la probabilidad de hacer un reclamo. Denotamos por I el número de montos
diferentes, y por J el número de probabilidades diferentes de hacer un reclamo,
ası́ el número total de pólizas es
n=
I X
J
X
nij
i=1 j=1
Para simplificar la notación, la reclamación iAj se denota por Yij de donde
i con probabilidad qj .
Yij =
0 con probabilidad 1 − qj .
Es ası́ como llegamos al siguiente teorema, donde se usará la siguiente notación: para números reales x, y, bx/ic representa el máximo entero menor o igual
que x y x ∧ y representa el máximo entre x y y.
18
Teorema 2.1 (Teorema de Pril). Sea nij el número de pólizas cuyos asegurados
tienen tasa de mortalidad qj y suma asegurada i. Suponga que j = 1, 2, ..., J e
i = 1, 2, ..., I. Entonces las probabilidades g(r) = P (S = r), están dadas por
Pr∧I Pbr/ic
g(r)
=
1
r
g(0)
=
QI
i=1
i=1
k=1
QJ
j=1
g(r − ik)h(i, k),r ≥ 1
(1 − qj )nij ,
en donde,
J
X
h(i, k) = i(−1)k−1
nij (
j=1
qj k
)
1 − qj
Demostración.
Si suponemos que tenemos las condiciones mencionadas anteriormente entonces
el monto total de las reclamaciones es
S=
nij
I X
J X
X
Yijk
i=1 j=1 k=1
Ahora, sea g(r) = P (S = r) para r = 0, 1, 2, .... La función generadora de
probabilidad del monto reclamado Yij por un asegurado con taza de mortalidad
qj y suma asegurada i es
Gij (t) = E(t
Yij
)=
∞
X
ti P [Yij = i] = (1 − qj ) + ti qj .
i=0
Por lo tanto, usando la hipotesis de independencia, la función generadora de
probabilidad de la cartera completa es
G(t) = E(tS )
=
∞
X
tr g(r)
r=0
=
∞
X
r
t P[
r=0
=
nij
I X
J X
X
Yijk = r]
i=1 j=1 k=1
nij ∞
I Y
J Y
Y
X
tr P [Yijk = r]
i=1 j=1 k=1r=0
=
I Y
J
Y
(1 − qj + ti qj )nij .
i=1 j=1
Al tomar logaritmo y después derivando,
19
ln G(t)
=
I X
J
X
nij ln(1 − qj + qj ti )
i=1 j=1
d
ln G(t)
dt
I
=
J
G0 (t) X X
iqj ti−1
=
nij
G(t)
1 − qj + qj ti
i=1 j=1
Por consiguiente,
tG0 (t)
= G(t)
I X
J
X
nij
i=1 j=1
= G(t)
I X
J
X
iqj ti
1 − qj + qj ti
nij i
qj ti −1
qj ti 1+
1 − qj
1 − qj
nij i
∞
q ti k−1
qj ti X
j
(−1)k−1
,
1 − qj
1 − qj
i=1 j=1
= G(t)
J
I X
X
i=1 j=1
k=1
hemos usado la expansión (1 − x)−1 =
que,
tG0 (t) = G(t)
I X
J
X
nij i
i=1 j=1
P∞
k=0
∞
X
xk , válida para |x| < 1. Por lo
(−1)k−1
k=1
q k
j
tik
1 − qj
Definimos ahora la función
h(i, k) = i(−1)k−1
J
X
nij
j=1
q k
j
,
1 − qj
entonces la expresión anterior puede escribirse como sigue
tG0 (t) = G(t)
I X
∞
X
tik h(i, k).
i=1 k=1
Al sustituir las expresiones para G0 (t) y G(t) en sus correspondientes series
de potencias obtenemos
∞
X
r=1
rtr g(r) =
∞
X
tr g(r)
r=0
I X
∞
X
tik h(i, k).
i=1 k=1
r
Para r ≥ 1, el coeficiente de t en el lado izquierdo es rg(r), mientras que en
el lado derecho es la suma de los términos g(r − ik)h(i, k), para aquellos valores
de i y k tales que 1 ≤ ik ≤ r. Al igualar estos coeficientes obtenemos
20
rg(r) =
r∧I br/ic
X
X
g(r − ik)h(i, k).
i=1 k=1
De esta forma, llegamos a la siguiente expresión, para r ≥ 1
g(r) =
r∧I br/ic
1XX
g(r − ik)h(i, k).
r i=1
k=1
como querı́amos demostrar.
Por otro lado, como S = 0 sólo cuando los asegurados no efectuan reclamaciones, para r = 0 tenemos
g(0) =
J
I Y
Y
(1 − qj )nij
i=1 j=1
Ejemplo 5. Una compañı́a aseguradora tiene una cartera con 17 pólizas de
seguros de vida válidas por un año distribuidas tal como se muestra en la tabla,
donde qj corresponde a la taza de mortalidad e i representa la suma asegurada.
Calcular P (S = r), r = 0, 1, 2....
qj \ i
0.004
0.005
0.006
1
2
0
4
2
1
2
2
3
3
1
2
Utilizamos la fórmula de Pril cuando r = 0 y calculamos P (S = 0) = g(0).
g(0)
=
3 Y
3
Y
(1 − qj )nij
i=1 j=1
=
0,918310
Ahora, calculamos g(r) = P (S = r). Para ello, calculamos primero la función
h(i, k).
h(1, k)
=
(−1)k−1 [2(4,016 × 10−3 )k + (5,025 × 10−3 )k + 3(6,036 × 10−3 )k ]
h(2, k)
=
2(−1)k−1 [2(5,025 × 10−3 )k + (6,036 × 10−3 )k ]
h(3, k)
=
3(−1)k−1 [4(4,016 × 10−3 )k + 2(5,025 × 10−3 )k + 2(6,036 × 10−3 )k ]
Ahora calculamos g(r) para r = 1, 2, 3.
21
g(1)
=
3 b1/ic
1XX
g(1 − ik)h(i, k) = 0,02861
1 i=1
k=1
g(2)
g(3)
=
=
1
2
3 b2/ic
X
X
g(2 − ik)h(i, k) = 0,01506
i=1 k=1
3 b3/ic
1XX
g(3 − ik)h(i, k) = 0,03552
3 i=1
k=1
2.3.
Modelo colectivo de riesgo
Para plantear este modelo, consideramos un periodo de tiempo fijo [0, T ].
Llamamos N a la variable aleatoria que denota el número de reclamaciones
ocurridas en este intervalo de tiempo y por Y1 , ..., YN las reclamaciones. Suponemos que las variables aleatorias N, Y1 , ..., YN son independientes. Más aún,
supondremos que las reclamaciones son independientes e idénticamente distribuidas.
Definición 2.2. El monto total de las reclamaciones o riesgo S, lo definimos
como
N
X
S=
Yj
j=1
La ecuación anterior resume al modelo colectivo para una póliza de seguros.
A la función de distribución de cada reclamación Y la denotamos por G.
Asumimos que G(0) = 0, lo que equivale a decir que Y es positiva. Además
µn = E(Y n ), particularmente, µ = µ1 = E(Y ).
Una vez más, el objetivo es encontrar la distribución de probabilidad de S,
la cual depende de las distribuciones de Y y N .
A continuación, se tienen algunos resultados que se utilizan para calcular
dicha distribución.
Para el siguiente resultado, recordemos que la 0-convolución de una función
de distribución G es
1 x ≥ 0,
G∗0 (x) =
0 x < 0.
22
Proposición 3. La función de distribución del riesgo S en el modelo colectivo
es
∞
X
F (x) =
G∗n (x)P (N = n)
n=0
Demostración.
F (x)
=
∞
X
P (S ≤ x|N = n)P (N = n)
n=0
=
P (S ≤ x|N = 0)P (N = 0) +
∞
X
P (Y1 + ... + Yn ≤ x)P (N = n)
n=1
=
G∗0 (x)P (N = 0) +
∞
X
G∗n (x)P (N = n)
n=1
=
∞
X
G∗n (x)P (N = n)
n=0
A continuación, algunas carácterı́sticas numéricas de S.
Proposición 4. El riesgo S en el modelo colectivo cumple las siguientes propiedades.
1. E(S) = E(N )E(Y ).
2. E(S 2 ) = E(N )E(Y 2 ) + E(N (N − 1))E 2 (Y ).
3. V ar(S) = V ar(N )E 2 (Y ) + V ar(Y )E(N ).
4. MS (t) = MN (ln(MY (t))).
Demostración.
1. Primero condicionamos sobre el valor N y después usamos la propiedad
independencia. El resultado no cambia cuando N inicia en 0 o en 1.
E(S)
=
∞
X
E(S|N = n)P (N = n)
n=0
=
=
=
∞
X
N
X
E(
Yj |N = n)P (N = n)
n=0
j=1
∞
n
XX
E(Yj )P (N = n)
n=0 j=1
∞
X
nE(Y )P (N = n)
n=0
=
E(N )E(Y )
23
2. Similarmente, condicionando sobre el valor de N
E(S 2 )
=
∞
X
E((
n=0
=
=
∞
X
n=0
∞
X
N
X
Yj )2 |N = n)P (N = n)
j=1
E((
N
X
Yj )2 )P (N = n)
j=1
n
n
X
X
[
E(Yj2 ) +
n=0 j=1
=
∞
X
n
X
E(Yj Yk )]P (N = n)
j=1 k=1,k6=j
nE(Y 2 )P (N = n) +
n=0
∞
X
(n(n − 1))E 2 (Y )P (N = n)
n=2
2
= E(N )E(Y ) + E(N (N − 1))E 2 (Y )
(2)
3. Por las fórmulas anteriores
V ar(S)
= E(S 2 ) − E 2 (S)
= E(N )[E(Y 2 ) − E 2 (Y )] + E 2 (Y )[E(N 2 ) − E 2 (N )]
= E(N )V ar(Y ) + E 2 (Y )V ar(N )
4. De manera análoga a los dos primeros incisos
MS (t)
=
=
∞
X
n=0
∞
X
E(et(Y1 +...+YN ) |N = n)P (N = n)
(MY (t))n P (N = n) = E[(MY (t))N ]
n=0
= E(eN ln(MY (t)) )
= MN (ln(MY (t)))
2.3.1.
Fórmula de Panjer.
A continuación se derivará una fórmula tambien recursiva que permite calcular la distribución S cuando los reclamos individuales se distribuyen en los
enteros no negativos y el número de reclamos pertenece a la clase (a, b, 0) de
distribuciones.
Decimos que una distribución de conteo pertenece a la clase (a, b, 0) de distribuciones si su función de probabilidad {pk }∞
k=0 puede ser calculada recursivamente por la fórmula
b
pn−1 para n = 1, 2, 3, ...,
pk = a +
n
24
(3)
donde a y b son constantes. El término 0 en (a, b, 0) indica el hecho de que
el valor inicial del cálculo recursivo p0 lo asumimos mayor que 0.
Esta clase de distriuciones es importante ya que es posible obtener la distribución Poisson como (0, b, 0), es decir, cuando a = 0, la distribución binomial
como (a, b, 0) cuando a < 0, a 6= b y a+b > 0 y la distribución binomial negativa
como (a, b, 0) cuando 0 < a < 1, a 6= b y a + b > 0. (ver [8] pag.64)
Proposición 5. Bajo la notación e hipotesis anteriores, se cumplen las siguientes propiedades:
Pk
1. E(Y1 | i=1 Yi = r) = kr , para k ≥ 1
Pr−1
∗(k−1)
2. pk fr∗k = pk−1 i=1 (a + bi
fi , para k ≥ 2
r )fr−i
Ahora estamos listos para anunciar y demostrar la fórmula de Panjer.
Teorema 2.2. (Fórmula de Panjer) Para el modelo de riesgo colectivo, bajo la
hipótesis y notación enunciados anteriormente, la probabilidad gr = P (S = r)
está dada por
r
X
gr
=
g0
= p0
(a +
i=1
bi
)fi gr−i , para r ≥ 1
r
Demostración. Para r ≥ 1,
gr
=
=
∞
X
k=1
∞
X
P (S = r|N = k)P (N = k)
pk fr∗k
k=1
=
p1 fr +
∞
X
pk fr∗k
k=2
=
(a + b)p0 fr +
∞ X
r−1
X
(a +
k=2 i=1
=
(a + b)p0 fr +
r−1
X
∞
(a +
i=1
=
(a + b)p0 fr +
r−1
X
=
i=1
(a +
X
bi
∗(k−1)
)fi
pk−1 fr−i
r
k=2
a+
i−1
r
X
bi
∗(k−1)
)pk−1 fr−i fi
r
bi
)fi gr−i
r
25
bi
fi gr−i
r
3.
26
Probabilidad de ruina
3.1.
Introducción.
El movimiento económico de una aseguradora no es completamente causa
de los reclamos que hacen los clientes, lo que realiza la empresa es emitir un
contrato de seguro, obteniendo financiamiento a través del cobro de primas que
constituyen las reservas a la espera de que se realice el pago por el daño o pérdida según el contrato.
Ası́, el capital de la empresa lo podemos modelar y representar como la diferencia entre los ingresos y los egresos de la empresa. Los ingresos están constituidos por el capital inicial más la prima que se recibe por unidad de tiempo y
los egresos son los reclamos que se deben cubrir conforme ocurran. Para conocer
el capital en un instante de tiempo, sumamos el capital inicial con el monto de
la prima y restamos la cantidad total de reclamos que hayan llegado hasta este
instante de tiempo. Cuando el capital es menor o igual a cero decimos que la
empresa esta en ruina.
El objetivo de este capı́tulo es obtener una ecuación general para la probabilidad de ruina. Una vez hecho esto, estudiaremos el caso cuando las reclamaciones tienen distribución exponencial, obteniendo una expresión analı́tica para
la probabilidad de ruina. También presentaremos la expresión analı́tica de la
probabilidad de ruina cuando la distribución de los reclamos es gamma como
parámetro n = 2, con el fin de utilizarla en el siguiente capı́tulo. Por último
presentamos la cota de Lundberg para la probabilidad de ruina.
Para el desarrollo de este capı́tulo utilizaremos algunos artı́culos, para el
modelo y el desarrollo general de la probabilidad de ruina sin asumir una distribución para los reclamos, se revisó Análisis y simulación de la probabilidad de
ruina en el modelo clásico de Cramer-Lundberg (ver [6] pag.2-3). En el desarrollo
de expresiones analı́ticas para la probabilidad de ruina cuando la distribución de
los reclamos es la exponencial o la gamma, se revisó el artı́culo Some results of
ruin probability for classical risk process (ver [7] pag.136-139). Por último para
la desigualdad de Lundberg, se usó Insurance risk and ruin (ver [8] pag.133-135).
3.2.
Modelo Clásico de Riesgo
Denotemos por {Yk }k∈N los reclamos que se hacen a una aseguradora y por
{Tk }k∈N los tiempos en que hacen tales reclamos, de tal manera que, para cada
k ∈ N, el reclamo Yk se realiza al tiempo Tk , y los reclamos están indizados de
acuerdo al orden en que llegan, es decir, 0 < T1 < T2 < · · · . Por cada unidad
de tiempo ingresa una prima constante que denotaremos por c.
Ahora establecemos las hipotesis del modelo.
27
Hipotesis:
(a) Yk es una variable aleatoria no negativa con E(Yk ) < ∞.
(b) Las variables aleatorias Y1 , Y2 , ..., son i.i.d.
(c) Los tiempos entre las llegadas de los reclamos, τk := Tk −Tk−1 , con T0 = 0
son variables aleatorias i.i.d. con distribución exponencial de parámetro
λ.
(d) El número de reclamos que ocurrieron hasta el tiempo t, lo definimos como
N (t) = Sup{n ≥ 1 : Tn ≤ t} y su distribución es por definición Poisson
con parámetro λ.
La siguiente figura muestra la dinámica de las llegadas de los reclamos a la
aseguradora.
τ1- τ2-
τ3 -
τi -
0
T1 T2
c
?
1
T3 ...
?
2
Ti−1
?
?
3...
k
Ti
?
k + 1...
t
?
n
Fig.1 Modelo clásico de riesgo.
Ası́, el modelo lo resumimos en la siguiente expresión.
Definición 3.1 (Proceso de superávit). El proceso de riesgo {U (t)}t≥0 , también
llamado proceso de superávit, lo definimos como sigue
N (t)
U (t) = u + ct −
X
Yi ,
∀t≥0
i=1
en donde u ≥ 0 es el capital inicial, ct es el ingreso por concepto de prima en
el periodo [0, t] con c > 0, Yj es el j-ésimo reclamo y N (t) es el número de
reclamos que ocurren hasta el tiempo t.
U (t) es la representación del balance de ingresos menos egresos de la compañı́a aseguradora. Un ejemplo de su trayectoria lo muestra la fig.2.
28
Este tipo de trayectorias empiezan siempre en el capital inicial u, los intervalos en donde son continuas y crecientes corresponden a los periodos en donde
no hay reclamaciones. La trayectoria crece de la forma ct y las discontinuidades
son siempre hacia abajo, esto porque aparecen en el momento en que se hace
una reclamación, la cual se supone se paga inmediatamente. El tamaño de un
salto es el tamaño de la reclamación dada por la variable Y .
U (t)
u
t
Fig.2 Ejemplo del Superávit.
La variable U (t) es el capital de la aseguradora al tiempo t, el objetivo obvio
es que el capital permanesca arriba de cierto nivel. Si se ajusta el capital inicial
u podemos suponer que este nivel al que nos referimos es cero.
Diremos que una empresa está en ruina cuando U (t) ≤ 0. La ruina es un
evento relevante en donde la empresa está obligada a tomar decisiones de emergencia, por lo que este término no significa el fin de la empresa. Existen factores
que ayudan a la compañı́a en esta situación, tales como tener una cantidad
grande de pólizas o que la compañı́a cuente con un reaseguro.
3.2.1.
Probabilidad de ruina de una empresa aseguradora.
Ahora estamos interesados en calcular la probabilidad de ruina en este modelo, para ello definamos el término tiempo de ruina dado por
T = inf {t > 0 : U (t) < 0}
y se define inf ∅ = ∞. Ası́, la probabilidad de ruina en el intervalo [0, t] es
ψ(u, t) = P (T ≤ t|U0 = u)
también llamada probabilidad de ruina de horizonte finito. Y la probabilidad
de ruina con horizonte infinito, está definida por
ψ(u) = lı́m ψ(u, t) = P (T < ∞)
t→∞
A continuación daremos algunos resultados importantes acerca de esta probabilidad de ruina. Usaremos la notación F para denotar la función de distri-
29
bución para cualquier reclamación Y .
Proposición 6. Sea φ(u) = 1 − ψ(u), también llamada probabilidad de no
ruina. Entonces
1.
2.
3.
"
#
Z u
λ
φ (u) =
φ(u) −
φ(u − y)dF (y) .
c
0
0
λµ
.
c"
#
Z u
Z ∞
λ
ψ(u − y)(1 − F (y))dy .
(1 − F (y))dy +
ψ(u) =
c
0
u
ψ(0) =
Demostración.
Empezaremos haciendo un análisis de la función φ(u), condicionando sobre
el momento y monto de la primera reclamación. Utilizaremos también la regla
de probabilidad total (ver [9] pag.27).
φ(u)
= P (”N o ruina en [0, ∞)”|U0 = u)
Z ∞ Z u+ct
=
P (”N o ruina en [0, ∞)”|T1 = t, Y1 = y)dF (y)dFT1 (t)
0
0
Z ∞
Z u+ct
=
λe−λt
P (”N o ruina en [t, ∞)”|T1 = t, Y1 = y)dF (y)dt
0
0
Z ∞
Z u+ct
−λt
=
λe
φ(u + ct − y)dF (y)dt.
0
0
Sea s(t) = u + ct. Entonces
Z
Z
1 ∞ −λ(s−u)/c s
λe
φ(s − y)dF (y)ds.
φ(u) =
c u
0
Al derivar la expresión resultante se encuentra el primer inciso. Utilizamos
la siguiente fórmula de derivación
d
du
R η2 (u)
η1 (u)
R η2 (u)
η1 (u)
f (u, y)dy =
fu (u, y)dy − η10 (u)f (u, η1 (u)) + η20 (u)f (u, η2 (u))
obtenemos,
30
φ0 (u)
=
=
=
Z s
Z ∞
λ d
φ(s − y)dF (y)ds]
e−λ(s−u)/c
[
c du u
0
Z
Z u
Z
λ ∞ λ −λ(s−u)/c s
φ(s − y)dF (y)ds −
φ(u − y)dF (y)]
[
e
c u c
0
0
Z u
λ
[φ(u) −
φ(u − y)dF (y)]
c
0
Si integramos esta ecuación diferencial entre 0 y u, usando el Teorema Fundamental del Calculo, obtenemos
φ(u) − φ(0)
=
=
=
=
=
=
=
Z
Z uZ x
λ u
φ(x − y)dF (y)dx]
[
φ(x)dx −
c 0
0
0
Z
Z uZ u
λ u
φ(x − y)dxdF (y)]
[
φ(x)dx −
c 0
0
y
Z
Z u Z u−y
λ u
[
φ(x)dx −
φ(x)dxdF (y)]
c 0
0
0
Z u
Z u Z u−x
λ
[
φ(x)dx −
φ(x)dF (y)dx]
c 0
0
0
Z u
λ
φ(x)(1 − F (u − x))dx
c 0
Z
λ u
φ(u − x)(1 − F (x))dx
c 0
Z
λ ∞
φ(u − x)(1 − F (x))1[0,u] (x)dx.
c 0
(4)
Ahora, se hace tender u a infinito. En este caso, φ(u) tiende a uno. Además
el integrando que aparece en el lado derecho es una función monótona creciente
en u, cuyo lı́mite es la función integrable (1 − F (x)). Luego, por el Teorema de
la Convergencia Monótona se obtenemos
Z
λ ∞
λµ
1 − φ(0) =
(1 − F (x))dx =
.
c 0
c
Por lo tanto,
λµ
.
c
Luego obtenemos el segundo resultado. Y por la ecuación (4) y la fórmula
anterior obtenemos lo que se querı́a demostrar
ψ(0) = 1 − φ(0) =
ψ(u)
=
=
Z u
λ
[µ −
(1 − ψ(u − x))(1 − F (x))dx]
c
Z ∞ 0
Z u
λ
[
(1 − F (x))dx +
ψ(u − x)(1 − F (x))dx].
c u
0
31
Teorema 3.1. Supongamos que Yi tiene distribución Gamma con función de
densidad
αn n−1 αx
x
e
(5)
Γ(n)
donde α > 0 y n ≥ 1 es entero, entonces la probabilidad de no ruina, φ(u),
es una solución de la siguiente ecuación diferencial:
f (x) =
λ
λ
(D + α)n φ(u) + αn φ(u) = 0.
c
c
d
donde D es el operador diferencial du .
D(D + α)n φ(u) −
Demostración.
Por la Proposición 6.1, tenemos
Z
λ
λ u
φ(u) −
φ(u − y)dF (y),
(6)
c
c 0
sustituyendo dF (y) = f (y)dy, se obtiene
Z
λ
λ u
αn n−1 −αy
Dφ(u) = φ(u) −
φ(u − y)
y
e
dy.
(7)
c
c 0
Γ(n)
Ahora, hacemos el cambio de variable y = u − w
Z
λ
λ u
αn
Dφ(u) = φ(u) −
φ(w)
(u − w)n−1 e−α(u−w) dw.
(8)
c
c 0
Γ(n)
Sean A(u; 0) = φ(u) y
Z u
αk
A(u; k) =
(u − w)k−1 e−α(u−w) dw
(9)
φ(w)
Γ(k)
0
para 1 ≤ k ≤ n.
Por (6), φ(w) es diferenciable. Sea h(w, ν) = φ(w)αeα(ν−w) . Entonces h(w, ν)
y ∂h(w,ν)
son continuas. Sea
∂ν
Dφ(u) =
Z
g(ξ(u), ν(u)) =
ξ(u)
φ(w)αe−α(ν(u)−w) dw, ξ(u) = u, ν(u) = u.
0
Podemos cambiar, el orden de diferenciación e integración, ası́ tenemos
DA(u; 1)
= Dg(ξ, ν)
∂g dν
∂g dξ
+
=
∂ξ du ∂ν du
= αφ(ξ)e
α(ν−ξ)
Z
ξ
−α
φ(w)αeα(ν−w) dw
0
Z
= αφ(u) − α
u
φ(w)αe−α(u−w) dw
0
= αA(u; 0) − αA(u; 1).
32
(10)
Usamos este mismo método, para 2 ≤ k ≤ n, tenemos
DA(u; k)
=
=
Z u
(k − 1)
φ(w)(u − w)k−2 e−α(u−w) dw
0
Z u
αk
−α
φ(w)
(u − w)k−1 e−α(u−w) dw
Γ(k)
0
αA(u; k − 1) − αA(u; k).
(11)
Luego, para 1 ≤ k ≤ n, tenemos
D+α
A(u; k) = A(u; k − 1).
α
Por lo tanto
D+α
α
!n
A(u; n) = A(u; 0) = φ(u).
(12)
Ahora, de (8) y (9), tenemos
Dφ(u) =
λ
λ
φ(u) − A(u; n).
c
c
(13)
De (10) y (11), tenemos
D+α
D
α
!n
φ(u)
D+α
α
=
!n
=
λ
c
D+α
α
=
λ
c
D+α
α
Dφ(u)
!n
λ
φ(u) −
c
!n
φ(u) −
D+α
α
!n
A(u; n)
λ
φ(u)
c
Corolario 1. Si el parámetro es n = 1 en la función de densidad de los
reclamos,(5), entonces
ψ(u) =
λ −(α−λ/c)u
e
αc
(14)
Demostración.
La distribución exponencial es el caso particular de la distribución Gamma
cuando n = 1. Entonces en este caso, las reclamaciónes Yi tienen distribución
exponencial con función de densidad
f (x) = αe−αx
33
(15)
y con E(X) =
1
α.
Por el teorema anterior, si n = 1
D(D + α)φ(u) −
λα
λ
(D + α)φ(u) +
φ(u) = 0
c
c
(16)
Al simplificar, obtenemos
D2 φ(u) + (α −
λ
)Dφ(u)
c
=
0
D2 φ(u)
=
(
λ
− α)Dφ(u)
c
(17)
cuya solución es φ(u) = a + be−(α−λ/c)u , en donde a y b son constantes.
Al usar las condiciones ψ(0) = λ/(αc) y ψ(∞) = 0, obtenemos a = 1 y b =
−λ/(αc). Por lo tanto,
ψ(u) =
λ −(α−λ/c)u
e
.
αc
(18)
Corolario 2. Si n=2, en la función (5), entonces
ψ(u) = −
ν2 (ν1 + α)2 ν1 u ν1 (ν2 + α)2 ν2 u
e
−
e
(ν1 − ν2 )α2
(ν2 − ν1 )α2
(19)
donde,
ν1
ν2
3.2.2.
=
=
λ − 2cα +
λ − 2cα −
√
2c
√
λ2 + 4cαλ
λ2 + 4cαλ
2c
Desigualdad de Lundberg
Esta sección la dedicamos al estudio de un resultado conocido como la desigualdad de Lundberg el cual demuestra que ψ(u) está acotada por arriba por
una función exponencial cuando se cumple que la función generadora de momentos de Y1 existe.
Esta cota la conocemos como la cota de Lundberg y es de utilidad para validar simulaciones del proceso de superávit como veremos en el capitulo siguiente.
Denotaremos al k-ésimo momento de Y1 por mk y a la función generadora
de momentos de Y por MY , cuando esta existe. En esta sección es necesaria
una hipótesis adicional.
34
Hipótesis
(a) c > λm1 , donde m1 es el primer momento de la reclamación Y1 .
(b) Los reclamos tienen función generadora de momentos, MY .
(c) Existes una cantidad γ, 0 < γ ≤ ∞, tal que MY (r) es finita para todo
r<γ y
lı́m MY (r) = ∞.
r→γ −
La desigualdad en la Hipótesis (a) nos dice es que la prima que ingresa debe
ser mayor al monto esperado del reclamo. Es conveniente escribir c = (1+θ)λm1 ,
el parámetro θ en esta expresión la conocemos como factor carga de prima.
Llamamos coeficiente de ajuste a la raı́z positiva, R, de la siguiente ecuación
λMY (r) − λ − cr = 0.
Entonces, R satisfece
λ + cR = λMY (R).
Dado que c = (1 + θ)λm1 , vemos que el coeficiente R es independiente del
parámetro λ.
Ahora mostremos que el coeficiente de ajuste existe. Para ello definimos
g(r) := λMY (r) − λ − cr ∀ r ∈ R.
Notemos que g(0) = 0 y
g 0 (r)
g 0 (r)|r=0
= λMY0 (r) − c
= λm1 − c
Se sigue que g es decreciente en cero, esto por la Hipotesis (a). Por otra
parte,
Z ∞
g 00 (r) = λMY00 (r) = λ
y 2 ery f (y)dy > 0,
0
Por lo cual g tiene un mı́nimo local en cada punto crı́tico.
En resumen, g es decreciente en cero y g(0) = 0, por lo que la gráfica de la
función pasa por debajo del eje horizontal. Por otra parte, por el lı́mite (3.2.2) la
gráfica vuelve a cruzar el eje horizontal, es decir, existe R > 0 tal que g(R) = 0.
Debido a que la segunda derivada siempre es positiva, la función no cambia de
35
cóncavidad, por lo tanto, R es el único número positivo que es cero de g. En la
fig.3 mostramos el comportamiento tı́pico de g.
Supongamos Yi ∼ exp(α), entonces
MY (r) =
α
α−r
λ
En este caso, g(r) = r( α−r
− c) y los ceros de g son r = 0 y R = α − λc .
g(r)
6
R
- r
Fig.3 Ejemplo de coeficiente de ajuste.
Teorema 3.2 (Desigualdad de Lundberg). Si ψ(u) es la probabilidad de ruina
de una empresa aseguradora con capital inicial u, entonces
ψ(u) ≤ e−Ru .
Demostración.
Primero denotemos la probabilidad de ruina en el n-ésimo reclamo o antes por
ψn (u). Ya que
ψ(u) = limn→∞ ψn (u)
(20)
se demostrará que
ψn (u) ≤ e−Ru
para n = 1, 2, 3..., de lo cual se sigue que ψ(u) ≤ e−Ru , como se quiere demostrar.
La demostración se hará por inducción.
Verifiquemos para n = 1, es decir que la ruina ocurra en el primer reclamo.
Si el primer reclamo Y1 = y llega en el tiempo T1 = t, entonces la ruina ocurre
si y > u + ct, ası́
36
ψ1 (u)
=
P (Y1 > u + cT1 )
Z ∞
=
P (Y1 > u + ct|T1 = t)dFT1 (t)
0
Z ∞
P (Y1 > u + ct)dFT1 (t)
=
0
Z ∞
Z ∞
f (y)dydt
=
λe−λt
u+ct
0
Al multiplicar el integrando de la función anterior por e−R(u+ct−y) ≥ 1
obtenemos
Z
∞
λe−λt
ψ1 (u) ≤
0
Z
≤
0
f (y)e−R(u+ct−y) dydt
u+ct
∞
∞
λe
Z
−λt
−Ru
Z
0
∞
= e−Ru
= e
∞
Z
f (y)dydt
Z ∞
λe−λt−Rct
Z0 ∞
eRy f (y)dydt
0
λe
−t(λ+Rc)
MY (R)dt
0
= e−Ru ,
R∞
donde hemos usado que 0 λe−t(λ+Rc) MY (R)dt = 1.
Hipótesis de inducción: Para un natural n ≥ 1, se cumple
ψn (u) ≤ e−Ru .
Probemos que la desigualdad se cumple para ψn+1 (u).
Supongamos que ocurre el primer reclamo Y1 = y en un tiempo t > 0. Luego,
el evento {la ruina ocurre en el (n + 1) reclamo o antes} lo podemos expresar
como unión de eventos independientes,
S
{la ruina ocurre en el primer reclamo} {la ruina no ocurre en el primer
reclamo y ocurre en alguno de los siguientes n reclamos}.
El primer evento se cumple si y sólo si y > u + ct. Para el segundo evento,
observemos que si la ruina no ocurre en el primer reclamo, los siguientes eventos
tienen la misma probabilidad: {la ruina ocurre entre el reclamo 2 y n + 1 con un
capital inicial u} y {la ruina ocurre en los siguientes n reclamos con un capital
inicial de u + c − y}.
37
Con esto podemos encontrar una fórmula para ψn+1 (u) teniendo en cuenta
que la distribución del tiempo en el primer reclamo es exponencial con parámetro
λ. El desarrollo es análogo al caso en que n = 1.
Z
ψn+1 (u)
∞
λe−λt
=
0
Z
∞
λe−λt
+
0
Z
∞
λe−λt
≤
0
Z
λe−λt
0
Z
≤
0
f (y)ψn (u + ct − y)dydt
Z0 ∞
f (y)dydt
Z
f (y)e−R(u+ct−y) dydt (usando hip. de inducción)
0
∞
λe
Z
−λt
= e−Ru
= e
f (y)dydt
u+ct
Z u+ct
u+ct
u+ct
∞
+
∞
Z
−Ru
∞
Z
f (y)e−R(u+ct−y) dydt
Z ∞
∞
λe−(λ+cR)t
eRy f (y)dydt
0
Z0 ∞
0
λe
−(λ+cR)t
MY (R)dt.
0
y debido a que λ + cR = λMY (R), la integral es igual a 1 y por lo tanto
ψn+1 (u) ≤ e−Ru
Con lo cual el teorema queda demostrado.
38
4.
39
Simulación
4.1.
Introducción
El uso de la simulación como parte de esta tesis da una visión aún más amplia de la estimación de la probabilidad de ruina, ya que permite observar el
fenómeno, ver su comportamiento y registrar las caracterı́sticas de interés.
Hasta donde sabemos, existen expresiones analı́ticas para la probabilidad de
ruina cuando la distribución de los reclamos tiene distribución gamma, exponencial y binomial; para otros casos, la simulación ofrece una alternativa para
el cálculo de esta probabilidad.
Sin embargo, también existen algunas desventajas al usar la simulación. El
algoritmo para simular la ruina de una empresa aseguradora recurre a la generación de números aleatorios, es aquı́ donde se identifican dos incovenientes. El
primero, los generadores de números aleatorios producen sucesiones de variables
aleatorias distribuidas uniformemente sobre el intervalo [0, 1], sin embargo, esto
no es verdad. Esto es porque, los números generados tienen expansión binaria
o decimal finita, por lo tanto son racionales y puede mostrarse que cualquier
variable aleatoria continua distribuida uniformemente es irracional con probabilidad uno. Sin embargo, algunos autores (ver [10] pag.17) afirman que este
problema queda superado si se cuenta con una computadora de al menos 32
bits de memoria.
El segundo y más importante inconveniente es que estos números en realidad no son aleatorios debido a que los obtenemos mediante un procedimiento
determinı́stico. No obstante, existen generadores que hacen este trabajo muy
preciso y que pasan la mayorı́a de las pruebas estadisticas estándar. Una forma
de verificar que estos números generados son consistentes con la distribución
correspondiente es, a través de histogramas, diagramas de caja, Q-Q plots entre
otros (ver [11] pág 20-30). Estas herramientas visuales se usan para desechar
una muestra cuando aportan evidencia irrefutable de que no provienen de la
distribución. En estos casos se genera otra muestra y se procede con el análisis.
Es importante mantener en mente dichas inconveniencias ya que pueden ser
fuente de errores en la simulación. Cuando se tiene una expresión analı́tica para
la probabilidad de ruina es posible hacer una comparación de los resultados que
arroja la simulación con el valor exacto para medir la eficiencia del algoritmo,
por desgracia, en la mayorı́a de los casos no contamos con una expresión análı́tica de la probabilidad de ruina y debemos recurrir a propiedades teóricas como
la cota de Lundberg para validar la simulación.
El tópico de esta sección es la estimación de la probabilidad de ruina a través
de la simulación del proceso de superávit U (t) para una empresa aseguradora. El
código está basado en el modelo clásico de riesgo en donde el tiempo de llegada
de las reclamaciones tienen distribución exponencial y consideramos dos casos
para la distribución de las reclamaciones cuando tienen distribución gamma y
40
cuando tienen distribución exponencial.
4.2.
Algoritmo para la probabilidad de ruina.
El algoritmo propuesto para calcular la probabilidad de ruina es el siguiente:
1. Generamos una muestra con distribución exponencial de parámetro λ que
respresenta los tiempo de llegada entre cada reclamo.
2. Generamos una muestra con la distribución correspondiente a la variable
aleatoria que representa los montos de los reclamos.
3. Calculamos los ingresos que son igual al capital inicial más la multiplicación de la prima por la suma acumulada de los tiempos de llegada de los
reclamos.
4. Calculamos los egresos que son igual a la suma acumulada de la muestra
de los montos de los reclamos.
5. Restamos los ingresos menos los egresos y se encuentra la posición en que
se obtuvo el primer valor menor o igual a cero (ya que esto implica que
hubo ruina). Si no se encuentra ninguna cantidad menor o igual a cero se
registra como no ruina.
6. Realizamos lo anterior un número grande de veces.
7. La probabilidad de ruina es igual al número de veces que se registró ruina
entre el número total de realizaciones del algoritmo.
De este mismo algoritmo se pueden obtener más datos como un promedio
del monto con el que la empresa se va a la ruina o el promedio del tiempo de
ruina.
4.2.1.
Estimación de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ G(2, 1).
Utilizamos el algoritmo anterior para calcular la probabilidad de ruina cuando los reclamos Yi tienen distribución gamma con parámetros n = 2 y α = 1.
En la siguiente tabla c es el valor de la prima que ingresa a la aseguradora,
e
u el capital inicial, ψ(u)
la estimación de la probabilidad de ruina, ψ(u) es la
probabilidad de ruina exacta y E es el error de la estimación.
41
Para c = 2,1, 2,2 y 2,4
Las siguientes figuras muestran las graficas de la probabilidad de ruina
e
analı́tica ψ(u) y de la probabilidad de ruina estimada ψ(u)
para diferentes valores de capital inicial u de acuerdo a los datos de la tabla anterior.
42
.
43
e , es la canEl superávit promedio antes de la ruina, que denotamos por U
tidad monetaria que puede ser estimada a partir de la simulación. Este monto
es relevante pues si el capital de la empresa está muy cerca o por debajo de
esta cantidad es muy probable que la empresa se vaya a la ruina, de esta forma
cuando el capital baja a este nivel podemos tomar las medidas emergentes para
evitar la ruina.
En las siguientes gráficas podemos observar el comportamiento del superávit
e . En estas las side la empresa después de alcanzar por primera vez el nivel U
mulaciones el capital inicial está fijo en 7 unidades monetarias.
Una conjetura a la que hemos llegado es: después de que el superávit alcanza
e se llega a la ruina en un periodo de tiempo muy corto. El análisis de
el nivel U
esta conjetura se deja para estudios posteriores.
44
4.2.2.
Estimación de la probabilidad de ruina cuando Yi ∼ exp(1).
En la siguiente tabla se muestran los resultados para la probabilidad de ruie
na estimada ψ(u)
en el caso en que los reclamos tienen distribución exponencial
con parámetro λ = 1 y el monto de la prima está fijo en c = 2,1. Calculamor
e
ψ(u)
para valores de capital inicial u entre 2.4 y 3.6. También se muestra la
figura correspondiente a estos valores.
u
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
e
ψ(u)
0.1354
0.1285
0.1219
0.1157
0.1098
0.1042
0.0989
0.0938
0.0890
0.0845
0.0822
0.0761
0.0722
Utilizaremos la desigualdad de Lundberg para constatar que los datos anteriores son consistentes. Al utilizar el resultado obtenido en la sección 3.2.1 para el
coeficiente de ajuste, obtenemos para c = 2,1, 2,2, 2,4, R = 0,523809, 0,545454, 0,583333
respectivamente.
Examinemos el caso c = 2,1 en que R = 0,523809, ya la cota de lundberg
es e−Ru , encontramos que para u = 2,7 la probabilidad de ruina es menor que
0,25. Esto es, para un capital inicial mayor o igual a 2,7 unidades monetarias se
asegura que la probabilidad de ruina es menor que dicha cantidad.
ψ(u) ≤ e−(0,523809)×2,7 = 0,25
Desde la grafica se observa que para un capital inicial de 2,7 unidades monetarias la probabilidad de ruina ya es menor que 0,25.
45
Ahora que el código ha sido validado, digamos ahora que quisieramos saber
¿Cuántas unidades monetarias debe tener la empresa aseguradora como capital
inicial para que la probabilidad de ruina sea menor que cierto valor, por ejemplo, menor que 0,4?. Para ello usamos la cota de Lundberg, fijamos c = 2,4 y
entonces R = 0,583333 tenemos
e
e−Ru
=
0,4
−(0,583333)×u
=
0,4
−(0,583333) × u = ln(0,4)
−0,916290
u =
−0,583333
u = 1,5707
Luego, para un capital inicial u ' 1,6 la probabilidad de ruina es menor a
0,4, aunque puede no ser el mı́nimo capital con el que se inicia.
Otra pregunta que podemos hacer es ¿Qué valor debe tener la prima que
se cobra a los asegurados para que la probabilidad de ruina no sea mayor a
0.4?. Según el resultado anterior con un capital mayor a 1,6 se asegura que la
probabilidad es menor a 0,4, digamos que tenemos un capital inicial menor, por
ejemplo, u = 0,8. Observamos en la siguiente gráfica que para un monto de
prima c > 1,8 la probabilidad de ruina se mantiene menor que 0,4.
46
4.3.
Conclusiones
El estudio de la variable S definida como el proceso de superávit, bajo diferentes condiciones, es de una relevancia muy grande para el cálculo de la
probabilidad de ruina la cual es, a su vez, parte fundamental de la prosperidad
de una empresa aseguradora.
La fórmula de la probabilidad de ruina la podemos utilizar en la práctica con
éxito para algunas distribuciones particulares como las tratadas en el capı́tulo
4, no obstante, las situaciones en que puede verse implicada una aseguradora
son más complejas y no se cuenta con una expresión analı́tica para la probabilidad de ruina, debido a ello la simulación es una herramienta primordial para
el cálculo de la misma.
A pesar de que la simulación tiene inconvenientes, contribuye también en
gran parte al estudio de la ruina. Debemos ser cuidadoso en el uso de la simulación ya que la generación de números pseudoaleatorios es fuente de errores.
El algoritmo propuesto para el cálculo de la ruina resultó eficiente, además
mostró ser útil para observar otras caracterı́sticas como el promedio del tiempo
de ruina, un promedio del monto de las reclamaciones y el déficit con el que la
empresa se fue a la ruina.
Por último, el cálculo del superávit promedio antes de la ruina puede resultar de mucha ayuda, debido a que permite a la empresa de tomar las medidas
preventivas como el reaseguro o el incremento de capital, para disminuir la probabilidad de ruina.
El modelo que alguna vez formaran Cramer y Lundberg sigue teniendo aplicaciones en la actualidad, este trabajo no es más que un vistazo de como la
matemática, especı́ficamente la rama de la probabilidad es aplicada a un objeto
de estudio de la economı́a como lo es la ruina.
47
Referencias
[1] Cramér, H., Historical review of Filip Lundberg’s works on risk theory,
Scandinavian Actuarial Journal (1969).
[2] Wild, I., Measure, Integration and Probability, Matematics Department.
[3] Rincón, L., Introducción a los procesos estocásticos, Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias UNAM.
[4] Rincón, L., Introducción a la teorı́a del riesgo, Departamento de Matemáticas (2010).
[5] Teugels, J. L.; Sund, B., Individual Risk Model, Encyclopedia of Actuarial
Science.
[6] Martı́nez, A., Análisis y simulación de la probabilidad de ruina en el modelo
clásico de Cramér-Lundberg, Tesis de Licenciatura, Facultad de ciencias
UNAM (2007).
[7] Yuanjiang, H.; Xucheng, L.; Zhang, J., Some Results of Ruin Probability
for the Classical Risk Process, Journal of applied mathematics and decision
sciences (2003).
[8] Dickson, D. C., Insurance Risk and Ruin, International Series on Actuarial
Science, Faculty of actuaries (2006).
[9] Bühlmann, H., Mathematical methods in risk theory; Springer (1996)
[10] Häggstrom, O., Finite Markov Chains and Algoritmic Applications London
Mathematical Society
[11] Faraway, J., Practical Regression and Anova using R, Julio, 2002.
48