apendice variable compleja

APÉNDICE DE VARIABLE COMPLEJA
DESIGUALDADES TRIANGULARES:
a)
z1 z 2  z1  z 2
b) z1 z 2  z1  z 2
FORMA POLAR DE UN COMPLEJO:
j
y
x
El argumento de z admite múltiples valores, pero el valor:       se denomina
valor principal del argumento.
z  r.e
donde
r  z  x 2  y2
  arc tg
y
EXTRACCIÓN DE RAÍCES:
   2 k 
1
1 j. n 
,
z n  r n .e 
k = 0,1,2,……,n-1
y
 es el argumento de z
FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO:
Condiciones de Cauchy-Riemann:
ux  vy
;
vx  u y
a) Condiciones necesarias:
Si una función es derivable en un punto x 0 , y 0  , entonces se cumplen las condiciones
de C-R
b) Condiciones suficientes:
Sean u y v funciones reales uniformes de x e y, las cuales junto con sus derivadas
parciales de primer orden son continuas en un punto x 0 , y 0  . Si estas derivadas
parciales satisfacen las condiciones de C-R en aquel punto, entonces la derivada f '(z0),
existe.
FUNCIONES ANALÍTICAS:
La función w = f(z) es analítica en un punto dado z0  D si la misma es derivable tanto
en el propio punto z0 como en un cierto entorno del mismo.
Las condiciones de C-R son necesarias pero no suficientes.
FUNCIONES ELEMENTALES
a) Función exponencial : w = ez
*Es una función entera, es decir analítica en todo el plano complejo.
*No se anula para ningún valor de z.
*Su dominio es el plano complejo completo excepto el origen, pues:
e z  r  e x de donde x  ln r
* Es una función periódica de período 2kj , k  Z
b) Función logarítmica : w = log z
w = log z = ln z  j.arg w  2k k  Z
Si k = 0 el valor principal se denomina con Log z.
c) Funciones trigonométricas e hiperbólicas
sen z 
e jz  e  jz
2j
; sen (-z) = -sen z ; sen ( z + 2  ) = sen z. ; D sen z = cos z
cos z 
e jz  e  jz
2
; cos (-z) = cos z ;
Sh z =
ez  e z
2
;
Ch z =
cos ( z + 2  ) = cos z. ; D cos z = - sen z
ez  e z
2
ECUACIONES EN EL CAMPO COMPLEJO
Recordemos de Álgebra:
a) Los conceptos de raíces simples y múltiples.
Sea  una raíz de la ecuación algebraica f(x)=an.xn + an-1.xn-1 +…………..+ a1.x + a0 = 0,
es decir que f() = 0. Esto equivale a que el polinomio f(x) es divisible por (x-a). Puede
ocurrir que f(x) sea divisible por una potencia de (x-a)m, y que el exponente m sea el
más alto posible, es decir, que f(x) no sea ya divisible por (x-a)m+1; en otros términos,
que el factor primo (x-a) figure en la descomposición de f(x) exactamente con el
exponente m: f(x) = (x-a)m.g(x), donde ya (x-a) no es divisor de g; o lo que es
equivalente: g()  0. Entonces el número natural m se llama la multiplicidad o el
orden de multiplicidad de la raíz . Este último número es raíz simple si m = 1, y raíz
múltiple si m > 1.
b) El Teorema fundamental del Álgebra
Toda ecuación algebraica f(x) = 0 de grado no nulo, de coeficientes reales o complejos,
tiene al menos una raíz (real o compleja)
Una ecuación grado n, P(x) = 0 puede escribirse, en el campo complejo, en la forma
k
k
k
factoreada: a.x  x1  1 .x  x 2  2 .......... .......x  x r  r con kj  1, ( j = 1,2,……,r), y
k1+k2+…………..+kr = n
Una raíz xj será múltiple si kj > 1, y el entero kj se llama orden de multiplicidad.
Si una raíz no es múltiple, es decir k = 1, se llama simple. Como la suma de los kj es n,
tenemos: en el campo complejo, una ecuación de grado n tiene exactamente n
raíces, contando cada una con su orden de multiplicidad.
SERIES POTENCIALES:


n

 a n . z  z0
n 0
Las series de potencias tienen un “buen” comportamiento, bajo la suma, multiplicación,
diferenciación e integración; la cual las hace útiles en análisis complejo.
* La suma o resta término a término de dos series de potencias con radios de
convergencia R1 y R2, produce una serie de potencias con radio de convergencia por lo
menos igual al menor de R1 y R2.
* La multiplicación término a término de dos series de potencias significa la
multiplicación de cada término de la primera serie por cada término de la segunda serie
y el agrupamiento de los términos que tienen la misma potencia de z.
* La diferenciación e integración de término a término de una serie de potencias es
permisible. La serie de potencias que se obtiene de derivar término a término se
denomina serie derivada de la serie de potencias.
* La serie derivada de una serie de potencias tiene el mismo radio de convergencia
que la serie original.
* Una serie de potencias con radio de convergencia R diferente de cero representa
una función analítica en todo punto interior de su círculo de convergencia. Las
derivadas de esta función se obtienen por diferenciación término a término de la serie
original. Todas las series así obtenidas tienen el mismo radio de convergencia que la
serie original. Por tanto, cada una de ellas representa una función analítica.