6.Algunas distribuciones continuas

170 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
Si buscamos conversiones de una variable aleatoria exponencial con parámetro Á,, el método de la
transformada inversa produce
xi = in (u¡), i = 1, 2 , ...
(6-34)
En forma similar, utilizando el mismo método, las conversiones de una variable aleatoria de
Weihull con parámetros y, $ y S se obtienen como:
xi = y+ «-ln ui)t/L,
i = 1. 2....
(6-35)
Para la generación de conversiones de la variable gamma suele emplearse una técnica conocida
como método de aceptación-rechazo. Si deseamos producir conversiones partiendo de una variable
gamma con parámetros r > 1 y 2. > 0, el procedimiento sugerido por Cheng (1977) es como sigue:
Paso 1. Seaa=(2r- 1)"12,b=2r- 1n4+ 1/a.
Paso 2 . Generar u,, u-, conversiones de números aleatorios uniformes [0. 1
Paso 3 . Sea y= rItt1/(1 - u1»".
Paso 4a. Si y > b - ln(u ¡
rechazar v y regresar al paso 2.
Paso 4h. Si v :5 b - ln(u ¡u ,), asignar .v fPara más detalles de éstas y otras técnicas de generación de variables aleatorias, consulte el capítulo 19.
6-7 RESUMEN
Este capítulo ha presentado cuatro funciones de densidad ampliamente usadas para variables aleatorias continuas. Las distribuciones uniforme, exponencial, gamma y de Weibull se presentaron junto
con sus suposiciones fundamentales y ejemplos de su aplicación . La tabla 6-1 presenta un resumen
de estas distribuciones.
6-8 EJERCICIOS
6-1 Se elige un punto al azar en el segmento de línea [0 . 4]. ,-,Cuál es la probabilidad de que el
punto se encuentre entre y 1'? ¿Y entre 21 y
3 ?,
[35, 44',]. ¿ Cuál es la probabilidad de que, en
cualquier día dado , este precio sea menor que
40'? ¿Y entre 40 y 42?
6-3 La variable aleatoria X se distribuye uniforme6-2 El precio de apertura de cierta acción bursátil se mente en el intervalo [0, 21. Obtenga la distridistribuye de manera uniforme en el intervalo bución de la variable aleatoria Y= 5 + 2X.
Tabla 6 -1 Resumen de distribuciones continuas
Densidad
Parámetros
Función de densidad : f(x)
Media
Función
generatriz
Varianza
de momentos
Uniforme
a,/3
>a
f(x)=a`x<_-13
a
(a+2
eq3-er(1
(f+a)2/12
t(/3-a)
= 0, en otro caso.
Exponencial
A>0
f(x) _,le AX, x > 0
1 /.t
1 /A2
(1 - ti A)-'
r /.l
r 1,,2
(1 - t / A)-r
= 0, en otro caso.
Gamma
r>0
íA
>0
f(x) = r%r) (.ix)^-'e-^x, x > 0
(r)
= 0, en otro caso.
2
de Weibull
-00 <y < 00
8>0
/3 > 0
f(x) =
x
fi y) /;- 1 eXP -x - Y ,xZy
(
= 0, en otro caso.
Y+S.
1-(1+1)
52 r 1'2 +1)- f +1
172 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
6-4 Un corredor de bienes raíces cobra una tarifa fija de $50 más 6 por ciento de comisión sobre las
ganancias por la venta de un inmueble . Si la ganancia se distribuye de modo uniforme entre $0
v 52000. obtenga la distribución de probabilidad de la remuneración total del corredor. 6-11
6-5 Compruebe que la función generatriz de monmentos para la densidad uniforme está dada
como indica la ecuación 6-4. Úsela para generar la media v la varianza.
Suponga que el periodo que una máquina operará es una variable aleatoria distribuida exponencialnmente con función de densidad de
probabilidad f(t) = Oe Ot , t >_ 0. Suponga que debe contratarse una operadora para esta máquina por un periodo predeterminado y fijo,
digamos Y. Se le pagan d dólares por periodo
durante este intervalo. La utilidad neta por la
operación de esta máquina, aparte de los costos
de mano de obra, es r dólares por periodo. Obtenga el valor (le Y que maximiza la utilidad total obtenida.
6-13
Se estima que el tiempo transcurrido hasta la
falla de un cinescopio de televisión se distribuye exponencialmente con una media de tres
años . Una compañía ofrece garantía por el primer año de uso. ¿Qué porcentaje de pólizas
tendrá que pagar por este tipo de fallas?
6-14
¿Hay una densidad exponencial que cumpla la
siguiente condición?
6-7 Muestre cómo puede utilizarse la función de
densidad uniforme para generar variantes a
partir de la siguiente distribución de probabilidad empírica:
P(V)
1
0.3
2
0.2
3
0.4
4
0.1
Pi,stu: Aplique el método de la transformada
inversa.
6-8 La variable aleatoria X está uniformemente
distribuida sobre el intervalo 10 , 4]. ¿Cuál es la
probabilidad de que las raíces de v' + 4Xv + X
+ 1 = 0 sean reales?
P{X52)= P{X53}
Debe ser así, encuentre el valor de I.
6-15
Se están considerando dos procesos de manufactura . El costo por unidad para el proceso 1
es C, en tanto que para el proceso 11 es 3C. Los
productos fabricados en cada proceso tienen
densidades de tiempo de falla exponenciales
con razones medias de 25 t fallas por hora y
35-1 fallas por hora, respectivamente. Si un
producto falla antes de 15 horas debe reemplazarse a un costo de Z dólares. ¿Qué proceso recomendaría usted?
6-16
Un transistor tiene una distribución de tiempo
de falla exponencial con tiempo medio de falla
6-9 Compruebe que la función generatriz de momentos de la distribución exponencial es como
se indica en la ecuación 6-14. Utilícela para
generar la media y la varianza.
6-10 El motor y la caja de transmisión de un automóvil nuevo están garantizados por un año.
Las vidas medias de estos componentes se estiman en tres años, y el tiempo de falla tiene una
densidad exponencial. La ganancia por la venta de un auto nuevo es de $1000. Incluyendo
Respecto de los datos en el problema 6-10,
¿qué porcentaje de automóviles tendrán fallas
en el motor y la caja de transmisión durante los
primeros seis meses de uso?
6-12
6-6 Suponga que X se distribuye uniformemente y
que es simétrica respecto del cero y con varianza 1. Obtenga los valores apropiados para
rzy/3.
y
los costos de refacciones y de mano de obra, la
agencia debe pagar $250 para reparar cada falla. ¿Cuál es la utilidad esperada por la venta
de cada automóvil?
ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS IMPORTANTES 173
de 20,000 horas. El transistor ha durado
20,000 horas en una aplicación particular.
Cuál es la probabilidad de que falle a las
30,000 horas?
^r
.Í(v^) = r) (.r
F(
tt)r tc ^^
x ? u, íi >_ 0, r > 0.
en otro caso.
= 0.
Determine la media de esta distribución gamma
6-17 Demuestre que 1'(-;) = ñ.
6-18
Demuestre las probabilidades de la función
gamma dadas por las ecuaciones 6-18 y 6-19.
6-19 L1n transbordador conducirá a sus clientes de un
lado a otro del río cuando hayan abordado lo
automóviles. La experiencia muestra que los autos arriban al transbordador de manera independiente a una razón media de 7 por hora.
Obtenga la probabilidad de que el tiempo entre
viajes consecutivos sea de al menos 1 hora.
6-20 Una caja contiene 24 caramelos. El tiempo que
transcurre entre la venta de cada caramelo se
distribuye exponencialmente con media de 10
minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una
caja abierta a las 8:00 a.m. se termine al medio
día?
6-21 Use la función generatriz de momentos de la
distribución gamma (expresada en la ecuación
6-25) para encontrar la media y la varianza.
6-22 La vida de servicio de un sistema electrónico
es y = XI + X, + X3 + X4, la suma de las vidas
de servicio de los subsistemas componentes.
Los subsistemas son independientes , teniendo
cada uno densidades de falla exponenciales
con media de tiempo entre fallas de 4 horas.
¿Cuál es la probabilidad de que el sistema opere por lo menos 24 horas?
6-23 El tiempo de reabastec¡nilento de cierto producto cumple con la distribución gamma con
media de 40 y varianza de 400. Determine la
probabilidad de que un pedido se envíe dentro
de los 20 días posteriores a su solicitud y dentro de los primeros 60 días.
6-24 Suponga que una variable aleatoria con distribu_X<
ción gamma se define en el intervalo u <
con función de densidad
de tres /pureíntetros.
6-25 La distribución de probabilidad beta está definida por:
1 l^+ r)
2.>0, r>0,
=
0,
en
otro
caso.
ti)
Grafique la distribución para A > 1, r > 1.
b)
Grafique la distribución para a < 1, r < 1.
r)
Grafique la distribución para 2. < 1, r > 1.
d)
Grafique la distribución para A > 1, r < 1.
e)
Grafique la distribución para 2. = r.
6-26 Demuestre que cuando A = r = 1, la distribución beta se reduce a la distribución uniforme.
6-27 Demuestre que cuando A. = 2, r = 1 o A = 1,
r = 2, la distribución beta se reduce a una distribución de probabilidad triangular. Grafique
la función de densidad.
6-28 Demuestre que si A = r = 2, la distribución beta se reduce a una distribución de propiedad
parabólica. Grafique la función de densidad.
6-29 Determine la media y la varianza de la distribución beta.
6-30 Determine la media y la varianza de la distribución de Weibull.
6-31 El diámetro de unos ejes de acero sigue la distribución de Weibull con parámetros y= 1.0
pulgadas, [3 = 2 y 3 = 0.5. Encuentre la probabilidad de que un eje seleccionado al azar no
exceda 1.5 pulgadas de diámetro.
6-32 Se sabe que el tiempo de falla de cierto transistor sigue la distribución de Weibull con parámetros y = 0, p = ; y 3 = 400. Obtenga la
fracción esperada que durará 600 horas.
174 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PARA INGENIERÍA
6-33 Se espera que el tiempo de falla por fugas de 6-37
cierto tipo de batería de celda seca tenga una
distribución de Weibull con parámetros y= 0,
p = y S = 400. ¿Cuál es la probabilidad de
que la batería dure más de 800 horas en uso'?
6-34 Grafique la distribución de Weibull con y= 0,
8=lyf3=1,2,3y4. 6-38
Utilice números aleatorios generados a partir
de su subrutina de compilador o del escalamiento de los enteros aleatorios en la tabla XV
6-35 La densidad del tiempo de falla correspondiente a un pequeño sistema de computación
tiene una densidad de Weibull con y= 0. p = -,
y 8= 200.
del apéndice. multiplicando por 10-5, y
a) Produzca 10 conversiones de una variable
uniforme en [ 10, 201.
a) ¿Qué fracción de estas unidades durará
1000 horas?
b) Produzca 5 conversiones de una variable
aleatoria exponencial con parámetro ) = 2
x l()_5.
b) ¿Cuál es el tiempo de falla?
6-36 El fabricante de un monitor de televisor comercial garantiza el cinescopio o tubo de imagen
por un año (8760 horas). Los monitores se utilizan en terminales de aeropuerto para programas de vuelo y están en uso continuo. La vida
media de los tubos es de 20,000 horas y sigue
una densidad de tiempo exponencial. El costo
de fabricación, venta y entrega para el fabricante es de $300 y el monitor se vende en el mercado en $4(X). Cuesta $150 reemplazar el tubo
inservible, incluyendo materiales y mano de
obra. El fabricante no tiene obligación de sustituir el tubo si ya ha habido un primer reemplazo. ¿Cuál es la utilidad esperada del fabricante'?
El tiempo de entrega de pedidos de diodos de
cierto fabricante cumple con la distribución
gamma con una media de 20 días y una desviación estándar de 10 días. Determine la probabilidad de enviar una orden dentro de los 15
días posteriores a la solicitud.
c) Produzca 5 conversiones de una variable
ganunaconr =2y2.=4.
d) Produzca 10 conversiones de una variable
de Weihull con y= 0 , f3 = 1/2 y 8= 100.
6-39
Utilice el esquema de generación de números
aleatorios sugerido en el ejercicio 6-38, y
u)
Produzca 10 conversiones de Y = 2X03,
donde X sigue una distribución exponencial con media 10.
b)
Produzca 10 conversiones de Y = /
v'X,, donde X1 es una función gamma con
r= 2, ),=4yX, es uniformeen [0. 11.