R1-08

John Blewett
8.-Se carga un plano metálico con una carga Q. El plano se supone indefinido
con lo que la distribución de carga se supone uniforme y superficial por tratarse
de un conductor.
a) Determinar el campo eléctrico a lo largo de una dirección perpendicular
al plano. (Sugerencia: Calcular el campo en su eje de un disco cargado
uniformemente)
b) Supuesto que en la expresión del campo de una carga puntual
apareciera una dependencia con la distancia del tipo 1/rα con α diferente
a 2 (entre 1 y 3, por ejemplo), determinar la nueva distribución de
campo (*)
a)
Nuestro objetivo es calcular el campo eléctrico que produce un plano indefinido
de carga superficial, σ. Para hacer tal cálculo, el procedimiento más adecuado parece ser
el de calcular el campo que produce un disco de radio R, y luego hacer tender su radio
al infinito. El cálculo del campo a lo largo del eje de un disco se puede llevar al cabo
calculando el campo eléctrico de un anillo infinitesimal e integrando entre R y 0.
Considérese la siguiente figura,
a
da
R
X
El campo de dicho anillo en un punto del eje Ox a una distancia x será *(ver el cálculo
del campo producido por un anillo cargado a lo largo de su eje al final del ejercicio):
dEx = (1 / 4πε0) [x / (x² + a²)3/2] dq
Pero en este caso, la carga depende del radio, a, que tomamos de la forma,
σ=Q/S
=>
dq = σdS = σ 2πa da
siendo S el área de la superficie. Sustituyendo esto en la ecuación de arriba, obtenemos
John Blewett
dEx = (1 / 4πε0) [x / (x² + a²)3/2] σ 2πa da
Integrando esta ecuación entre R y 0 resulta que (cambiando a la variable u = x² + a²),
Ex = [σx / 2ε0]{ (x ²)−1/2 – (x² + R²)−1/2 }
Haciendo que R→∞, el segundo término de esta ecuación se anula dando lugar a que el
campo eléctrico que buscamos es de la forma,
Ex = σ / 2ε0
b)
Todas esta cuentas se han hecho suponiendo que la dependencia del campo con
la distancia a la carga viene dado por la ley de Coulomb (expresamente manifiesto en
nuestro cálculo del campo producido por el anillo), es decir, el campo decae con la
distancia (r) a la carga como 1/r2 . Ahora bien, nos podríamos preguntar, ¿Qué forma
tendrá el campo debido al plano infinito si la dependencia del campo con la distancia a
la carga fuera genérica, de la forma 1/rα ?
Con esta nueva dependencia, el campo eléctrico al lo largo del eje del anillo
considerado anteriormente viene dado por:
dEx = (1 / 4πε0) [x / (x² + a²)[(α+1) / 2]] dq = (1 / 4πε0) [x / (x² + a²)[(α+1) / 2]] 2πσa da
Que integrado desde 0 hasta R (por el cambio de variable: u = (x² + a²)) proporciona:
Ex = [σx / 2ε0(α − 1)]{ (x ²)−[(α−1) / 2] – (x² + R²)−[(α−1) / 2] }
Haciendo que R tienda al infinito, se anula el segundo término de esta ecuación y sólo
queda:
Ex,∞ = [σ / 2ε0(α − 1)] x (2 − α)
Podemos observar de esta ecuación que con α = 2, obtenemos todos los resultados
obtenidos anteriormente, y que sólo en este caso tendremos que el campo debido al
plano infinito no dependa de la distancia a la que se está del dicho plano.
John Blewett
*Para calcular el campo eléctrico producido por un anillo cargado (Q) a lo largo de su
eje, cogiendo un trozo infinitesimal de anillo de carga dq, tendremos, de acuerdo con la
figura (y con la ley de Coulomb)
Y
r = (a² + x²)½
a
θ
x
dEx
dEy
dEx = (1 / 4πε0) [dq / r²] cosθ = (1 / 4πε0) [dq / r²] {x / r} =
= (1 / 4πε0) [x / (x² + a²)3/2] dq
Luego,
Ex = (1 / 4πε0) [x / (x² + a²)3/2] Q
John Blewett
X
dE