Campo eléctrico Líneas de campo Teorema de Gauss

El campo de las cargas en
reposo. Campo electrostático
• Introducción.
• Propiedades diferenciales del campo
electrostático.
• Propiedades integrales del campo
electromagnético. Teorema de Gauss.
• El potencial electrostático. Ecuaciones del
potencial.
• La condición de equilibrio para
conductores homogéneos y sus
consecuencias.
Ejemplo: hallar el campo eléctrico producido por
un anillo de radio R cargado con carga Q sobre el
eje z
Campo eléctrico
• Ley de Coulomb, acción a
distancia, influencia local,
concepto de campo
• Problema del autocampo
• Definición de campo eléctrico
debido a una distribución de carga
~ r) =
E(~
1
4πε0
Z Z Z
V
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0
d ~r
|~r − ~r0 |3
Líneas de campo
Camino intuitivo
dE =
1 λds
1
λds
=
4πε0 r 2
4πε0 z 2 + R2
1 qco sθ
1
qz
=4 0
z
E
zπ
ε 2
+R
2 =4
ε0 [z2 +
π
2 ]3
R
/ 2
Ez =
qz
1 q cos θ
1
=
4πε0 z 2 + R2
4πε0 [z 2 + R2 ]3/2
Camino formal
ρ(~r0 ) = λδ(r 0 − R)δ(z 0 )
~r − ~r0 = z~uz − R cos θ~ux − R sin θ~uy
p
|~r − ~r0 | = z 2 + R2
Z
1
λδ(r0 − R)δ(z 0 )zr0 dr0 dφdz 0
Ez =
4πε0
[z 2 + R2 ]3/2
Teorema de Gauss
• La evaluación del campo eléctrico parece
complicada incluso en problema sencillos
• Si hay simetría puede aprovecharse ésta
para la determinación del campo eléctrico
mediante el teorema de Gauss, que en su
forma integral nos dice que:
I
~ r ) · dS(~
~ r) = q
E(~
ε0
• S es una superficie cerrada (real o
imaginaria) y q la carga total encerrada
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
• Uno de los matemáticos más
grandes de la historia
• Publicó sus trabajos más
importantes
en las áreas:
– Geometría no euclidiana y
diferencial
– Estadística (incluyendo
mínimos cuadrados)
– Teoría del potencial
– Magnetismo terrestre
1
Ángulo plano y ángulo
sólido
Flujo del campo eléctrico
El flujo es proporcional al número de líneas
de campo que atraviesa una superficie
determinada
ΦE =
X
circunferencia
de radio r=1
Ω
∆AE cos θ
α
En forma vectorial,
ΦE =
superficie esférica
de radio r=1
X
~ ·E
~
∆A
La integral sobre una superficie cerrada es:
ΦE =
I
~ · dA
~
E
l
r
α=
Ángulo sólido
αT = 2π
Ω=
S
r2
ΩT = 4π
Demostración del T. Gauss
ΦE =
I
~ r ) · dS
~=
E(~
1
4πε0
I ∙Z Z Z
¸
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0 ~
d
~
r
dS
|~r − ~r0 |3
Intercambiando la integral de superficie por la de volumen,
ΦE =
∆Ω =
∆A cos θ
∆An̂ · r̂
=
2
r
r2
Si no hay cargas ΦE=0
• ¿Cuál es el flujo a
través de cada
superficie
cerrada?
• S1?
• S2?
• S3?
• S4?
1
4πε0
Z Z Z "I
ΦE =
1
4πε0
#
~ r)
(~r − ~r0 ) · dS(~
ρ(~r0 )d3~r0
|~r − ~r0 |3
Z Z Z
dΩ(~r0 )ρ(~r0 )d3~r0
Carga puntual
Calculemos el
Superficie esférica flujo a través de
de radio r que
la esfera
H
encierra una carga
~ · dS
~
ΦE = E
q en el origen
H
H
ΦE = EdS = E dS
Generalicemos a
cualquier
superficie
q
= E4πr 2
ε0
E=
1 q
4πε0 r 2
2
Hilo indefinido
Plano indefinido
Flujo a través de la
superficie del cilindro
ΦE =
σA
= 2EA
ε0
Campo en la superficie
del plano aislante
ΦE =
q
λl
=
= E2πrl
ε0
ε0
1 λ
2πε0 r
E=
E=
Forma diferencial del teorema
de Gauss
I
Z
Campo gravitatorio y
electrostático
Fuerza entre dos masas
~ · dS
~= 1
E
ε0
Z
~ · Ed
~ 3~r = 1
∇
ε0
Z
3
ρd ~r
ρd3~r
σ
2ε0
Fuerza entre dos cargas
mM
FG = −G 2
r
FC = K
Campo gravitatorio
Campo eléctrico
~g = m~g
F
~
F~e = q E
qQ
r2
Trabajo como diferencia de energía potencial (gravitatoria o electrostática)
Wif =
~ · E(~
~ r) = ρ(~r)
∇
ε0
Z
Wif =
Potencial eléctrico
f
i
Z
~ =m
F~ · ds
f
i
Z
~ =q
F~ · ds
f
Zi
i
~ = −∆U = Ui − Uf
~g · ds
f
~ = −∆U = Ui − Uf
~ · ds
E
Superficies equipotenciales
Se define el potencial eléctrico como la energía
potencial por unidad de carga, i.e.
V =
W =
De la definición de potencial,
En forma diferencial,
Por lo tanto
Rf
i
U
q
~ · d~s = q0
F
∆V = Vf − Vi = −
Rf
Rf
i
i
~ · d~s = −∆U
E
~
~ · ds
E
~ = −Eds cos θ = −Es ds
~ ds
dV = −E
Es = −
dV
ds
~ = −∇V
~
E
Dado que cuando E y ds son perpendiculares no hay variación de potencial,
las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.
3
El campo y el potencial
Expresión integral para V
De la expresión del campo eléctrico en términos del potencial,
~ = −∇V
~
E
~ r) =
E(~
~ ×E
~ =0
∇
se deduce que el campo electrostático (el de las cargas en reposo) es irrotacional.
Esto, en términos integrales indica que la circulación del campo eléctrico es nula,
sea cual sea la trayectoria:
I
~ · d~l = 0
E
1
4πε0
Z Z Z
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0
d ~r
|~r − ~r0 |3
∙
∙
¸
¸
1
1
~r − ~r0
~0
~
=∇
= −∇
0
3
0
0
|~r − ~r |
|~r − ~r |
|~r − ~r |
Pero
~ r) = −∇
E(~
Luego
∙
1
4πε0
Z Z Z
ρ(~r0 ) 3 0
d ~r
|~r − ~r0 |
¸
El principio de superposición de aplica de forma más conveniente al potencial
~ 2 − ...
~ 2 + · · · = −∇V
~ 1 − ∇V
~ =E
~1 + E
E
Por tanto
~ = −∇(V
~ 1 + V2 + . . . )
E
Ecuaciones de Poisson y
Laplace
~ ·E
~ = ρ
∇
ε0
De la ley de Gauss,
y la definición en términos del potencial
Ecuación de Poisson
∆V = −
ρ
ε0
~ = −∇V
~
E
Ecuación de Laplace
∆V = 0
Campo eléctrico en la
superficie de un conductor
El flujo a través del cilindro de la figura es
ΦE =
σA
= EA
ε0
por el teorema de Gauss, luego el campo
en la superficie del conductor es:
V (~r) =
1
4πε0
Z Z Z
ρ(~r0 ) 3 0
d ~r
|~r − ~r0 |
Conductores (perfectos)
• El campo es cero en el interior del
conductor
• Las cargas en un conductor están en la
superficie
• La superficie de un conductor es una
superficie equipotencial: el campo
eléctrico es perpendicular a la superficie
de un conductor
• En regiones con más curvatura hay más
acumulación de carga
Fuerza sobre la superficie de
un conductor cargado
El campo sobre la superficie del conductor (fuera del
conductor) sabemos que vale
Ea =
σ
ε0
por el teorema de Gauss, mientras que el campo en el
interior es nulo,
Eb = 0
La fuerza sobre un elemento de carga es
f ds = σdsE
E=
σ
ε0
El campo en a y b lo podemos escribir como
Ea = Eresto +
La densidad de fuerza sobre la superficie
de un conductor cargado es:
σ
2ε0
f=
Eb = Eresto −
σ
2ε0
σ2
2ε0
4
Cargas inducidas
Al introducirse una carga q dentro de una superficie conductora hueca,
debe inducirse una carga en la superficie interna del conductor de
manera que se anule el campo en el volumen del mismo.
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