El campo de las cargas en reposo. El campo electrostático.

El campo de las cargas en
reposo. El campo electrostático.
• Introducción.
• Propiedades diferenciales del campo
electrostático.
• Propiedades integrales del campo
electromagnético. Teorema de Gauss.
• El potencial electrostático. Ecuaciones del
potencial.
• La condición de equilibrio para
conductores homogéneos y sus
consecuencias.
Campo eléctrico
• Ley de Coulomb, acción a distancia,
influencia local, concepto de campo
• Problema del autocampo
• Definición de campo eléctrico debido
a una distribución de carga
1
~
E(~r) =
4πε0
Z Z Z
V
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0
d ~r
0
3
|~r − ~r |
Ejemplo: hallar el campo eléctrico producido
por un anillo de radio R cargado con carga Q
sobre el eje z
Camino intuitivo
dE =
Ez =
1 λds
1
λds
=
4πε0 r 2
4πε0 z 2 + R2
1 q cos θ
1
qz
=
4πε0 z 2 + R2
4πε0 [z 2 + R2 ]3/2
Camino formal
ρ(~r0 ) = λδ(r 0 − R)δ(z 0 )
~r − ~r0 = z~uz − R cos θ~ux − R sin θ~uy
p
0
|~r − ~r | = z 2 + R2
1
Ez =
4πε0
Z
λδ(r0 − R)δ(z 0 )zr 0 dr 0 dφdz 0
[z 2 + R2 ]3/2
Líneas de campo
Teorema de Gauss
• La evaluación del campo eléctrico parece
complicada incluso en problema sencillos
• Si hay simetría puede aprovecharse ésta
para la determinación del campo eléctrico
mediante el teorema de Gauss, que en su
forma integral
I nos dice que:
q
~
~
E(~r) · dS(~r) =
ε0
• S es una superficie cerrada (real o
imaginaria) y q la carga total encerrada
Johann Carl Friedrich Gauss
(1777-1855)
• Uno de los matemáticos más
grandes de la historia
• Publicó sus trabajos más
importantes
en las áreas:
– Geometría no euclidiana y
diferencial
– Estadística (incluyendo
mínimos cuadrados)
– Teoría del potencial
– Magnetismo terrestre
Flujo del campo eléctrico
El flujo es proporcional al número de
líneas de campo que atraviesa una
superficie determinada
ΦE =
X
∆AE cos θ
En forma vectorial,
ΦE =
X
~·E
~
∆A
La integral sobre una superficie cerrada es:
ΦE =
I
~ · dA
~
E
Ángulo plano y ángulo sólido
circunferencia
de radio r=1
superficie esférica
de radio r=1
Ω
α
l
α=
r
αT = 2π
S
Ω= 2
r
ΩT = 4π
Ángulo sólido
∆A cos θ
∆An̂ · r̂
∆Ω =
=
2
r
r2
Demostración del T. Gauss
ΦE =
I
~ r ) · dS
~=
E(~
1
4πε0
I ∙Z Z Z
0
1
ΦE =
4πε0
1
ΦE =
4πε0
#
~ r)
(~r − ~r ) · dS(~
0 3 0
ρ(~
r
)d ~r
0
3
|~r − ~r |
Z Z Z
0
¸
ρ(~r )(~r − ~r ) 3 0 ~
d ~r dS
0
3
|~r − ~r |
Intercambiando la integral de superficie por la de volumen,
Z Z Z "I
0
dΩ(~r0 )ρ(~r0 )d3~r0
Si no hay cargas ΦE=0
• ¿Cuál es el flujo a
través de cada
superficie cerrada?
• S 1?
• S2?
• S3?
• S4?
Carga puntual
Calculemos el
Generalicemos a
flujo a través de
Superficie esférica
cualquier
la esfera
de radio r que
superficie
H
~ · dS
~
ΦE = E
encierra una carga
H
H
q en el origen
ΦE = EdS = E dS
q
= E4πr 2
ε0
1 q
E=
4πε0 r2
Hilo indefinido
q
λl
ΦE =
=
= E2πrl
ε0
ε0
1 λ
E=
2πε0 r
Plano indefinido
Flujo a través de la
superficie del cilindro
σA
ΦE =
= 2EA
ε0
Campo en la superficie
del plano aislante
σ
E=
2ε0
Forma diferencial del teorema
de Gauss
I
Z
1
~
~
E · dS =
ε0
Z
1
3
~
~
∇ · Ed ~r =
ε0
Z
ρd3~r
ρd3~r
ρ(~r)
~
~
∇ · E(~r) =
ε0
Campo gravitatorio y
electrostático
Fuerza entre dos masas
Fuerza entre dos cargas
mM
FG = −G 2
r
qQ
FC = K 2
r
Campo gravitatorio
Campo eléctrico
F~g = m~g
~
F~e = q E
Trabajo como diferencia de energía potencial (gravitatoria o electrostática)
Wif =
Z
Wif =
f
i
Z
i
~ =m
F~ · ds
f
Z
~ =q
F~ · ds
Zi
f
~ = −∆U = Ui − Uf
~g · ds
f
i
~ = −∆U = Ui − Uf
~ · ds
E
Potencial eléctrico
Se define el potencial eléctrico como la energía
potencial por unidad de carga, i.e.
U
V =
q
W =
De la definición de potencial,
En forma diferencial,
Por lo tanto
Rf
i
F~ · d~s = q0
∆V = Vf − Vi = −
Rf
Rf
i
i
~ · d~s = −∆U
E
~
~ · ds
E
~ = −Eds cos θ = −Es ds
~ ds
dV = −E
dV
Es = −
ds
~ = −∇V
~
E
Superficies equipotenciales
Dado que cuando E y ds son perpendiculares no hay variación de potencial,
las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo.
El campo y el potencial
De la expresión del campo eléctrico en términos del potencial,
~ = −∇V
~
E
~ ×E
~ =0
∇
se deduce que el campo electrostático (el de las cargas en reposo) es irrotacional.
Esto, en términos integrales indica que la circulación del campo eléctrico es nula,
sea cual sea la trayectoria:
I
~ · d~l = 0
E
El principio de superposición de aplica de forma más conveniente al potencial
~ =E
~1 + E
~ 2 + · · · = −∇V
~ 1 − ∇V
~ 2 −...
E
~ = −∇(V
~ 1 + V2 + . . . )
E
Expresión integral para V
1
~
E(~r) =
4πε0
Pero
Luego
Por tanto
0
Z Z Z
¸
∙
ρ(~r0 )(~r − ~r0 ) 3 0
d ~r
0
3
|~r − ~r |
∙
1
1
~r − ~r
~
~0
=
−
∇
=
∇
|~r − ~r0 |3
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |
~ r ) = −∇
E(~
∙
1
4πε0
1
V (~r) =
4πε0
Z Z Z
Z Z Z
¸
0
ρ(~r ) 3 0
d ~r
0
|~r − ~r |
ρ(~r0 ) 3 0
d ~r
0
|~r − ~r |
¸
Ecuaciones de Poisson y
Laplace
De la ley de Gauss,
ρ
~
~
∇·E =
ε0
y la definición en términos del potencial
~ = −∇V
~
E
Ecuación de Poisson
Ecuación de Laplace
ρ
∆V = −
ε0
∆V = 0
Conductores (perfectos)
• El campo es cero en el interior del conductor
• Las cargas en un conductor están en la
superficie
• La superficie de un conductor es una
superficie equipotencial: el campo eléctrico
es perpendicular a la superficie de un
conductor
• En regiones con más curvatura hay más
acumulación de carga
Campo eléctrico en la superficie
de un conductor
El flujo a través del cilindro de la figura es
σA
ΦE =
= EA
ε0
por el teorema de Gauss, luego el campo
en la superficie del conductor es:
σ
E=
ε0
Fuerza sobre la superficie de un
conductor cargado
El campo sobre la superficie del conductor (fuera
del conductor) sabemos que vale
Ea =
σ
ε0
por el teorema de Gauss, mientras que el campo en
el interior es nulo,
Eb = 0
La fuerza sobre un elemento de carga es
fds = σdsE
El campo en a y b lo podemos escribir como
σ
Ea = Eresto +
2ε0
La densidad de fuerza sobre la superficie
de un conductor cargado es:
σ2
f=
2ε0
σ
Eb = Eresto −
2ε0
Cargas inducidas
Al introducirse una carga q dentro de una superficie conductora hueca,
debe inducirse una carga en la superficie interna del conductor de
manera que se anule el campo en el volumen del mismo.