Ejercicios de trigonometría

UD Trigonometría Ejercicios Resueltos y Propuestos Col La Presentación En este documento se da una relación de los tipos de ejercicios que nos podemos encontrar en el tema de Trigonometría de 1º de Bachillerato. En todo el documento se sigue el mismo esquema: • Enunciado tipo • Breve resumen teórico para su resolución • Ejercicios resueltos 1. Transforma de grados a radianes y viceversa Para realizar este ejercicio: usamos reglas de tres con la identidad 180º = π rad x
36º
π rad ⋅ 36º 1
π
a) 36º →
=
⇔x=
= π rad = π rad 180º
180º
5
5
17π rad
17π rad
b)
x
17
7
=
⇔x=
π rad →
7
180º
π rad
7
⋅180º
π rad
= 437.143º = 437º 8' 34.2857 '' ≈ 77º 8' 34.2857 ''
2. Calcular las razones trigonométricas reduciéndolas al primer cuadrante 180
⎛π ⎞
Del 2ºC al 1ºC: Si α ∈ ⎜ , π ⎟ su correspondiente en el primer cuadrante es −α
π
⎝2 ⎠
180
⎛ 3π ⎞
Del 3ºC al 1ºC: Si α ∈ ⎜ π , ⎟ su correspondiente en el primer cuadrante es α −
π
2 ⎠
⎝
360
⎛ 3π
⎞
Del 4ºC al 1ºC: Si α ∈ ⎜ , 2π ⎟ su correspondiente en el primer cuadrante es −α 2π
⎝ 2
⎠
Observación: cuando hablamos de ángulo correspondiente a otro estamos refiriéndonos a aquel ángulo que en el primer cuadrante que tiene razones trigonométricas iguales salvo por el signo. Para la completa comprensión de estos ejemplos es necesario saber no sólo los ángulos correspondientes sino que además también hay que saber cómo se comportan las RT al cambiar de cuadrantes. Al aplicar las relaciones vistas en teoría hay que tener en cuenta los cambios de signo, para ello hemos de tener en cuenta la tabla anidada inferior RT 1C 2C 3C 4C
Sen + + ‐ ‐ Cos +
‐
‐
+
Tg + ‐ + ‐ a)
b)
c)
1
2
1
1
1
2
2 3
sec 330º = ( 4º C ) =
=
=
=
=
cos 330º cos ( 360º −330º ) cos 30º
3
3
cos 240º = ( 3º C ) = − cos ( 240º −180º ) = − cos 60 = −
tg
3π
3π
⎛
= ( 2º C ) = −tg ⎜ π −
4
4
⎝
π
⎞
⎟ = −tg = −1 4
⎠
3. Sabiendo el cuadrante de la circunferencia goniométrica y una única razón trigonométrica, calcular las restantes razones trigonométricas: Para hallar las restantes razones trigonométricas es necesario saber estas fórmulas: sen x
;
cos x
1
co sec x =
;
sen x
sen 2 x + cos 2 x = 1;
sec x =
1
;
cos x
tg x =
1 + tg 2 x = sec 2 x =
cotg x =
1
tg x
1
;
cos 2 x
Para decidir el signo según el cuadrante basta asociar al seno el signo del eje OY y al coseno el signo del eje OX los demás signos salen de productos de signos ya conocidos. 3π
a) Sabiendo cotg α = 2; π < α <
calcular las restantes razones trigonométricas. 2
1 UD Trigonometría ⇒ tg α =
1
2
Ejercicios Resueltos y Propuestos ⇒ Como 1 + tg 2α =
Col La Presentación 1
1
1
5
1
4
⇔ 1+ =
⇔
=
⇔ cos 2 α =
⇒
cos 2 α
4 cos 2 α
4 cos 2 α
5
⇒ cos α =
4
2 5
2 5
⇔ cos α = ±
⇒ cos α = −
( 3º C ) ⇒ sen α = 1 − cos 2 α ⇔
5
5
5
sen α = 1 −
⎧co sec α = − 5 ( 3º C )
4
5
⇔ sen α = −
( 3º C ) ⇒ ⎪⎨
5
5
5
⎪ sec α = −
( 3º C )
2
⎩
cos α = −
2 5
5
1
; sen α = −
; tg α = ;
5
5
2
co sec α = − 5 ;
sec α = −
5
; 2
4. Calcular en función de una razón trigonométrica conocida o parametrizada, el valor exacto de otra razón: Se trata de calcular razones trigonométricas de ángulos que vienen a ser combinaciones lineales de ángulos conocidos y ángulos de los cuales se nos dan sus razones trigonométricas. Para resolver este tipo de ejercicios nos serán útiles las siguientes fórmulas: cos
cos cos
cos
cos
a) Calcula en función de h el valor de sen 123 siendo sen 57 = h Para empezar calculamos el cos 57 puesto que nos puede salir después
Si sen 57 = h ⇒ cos 57 = 1 − sen 2 57 = 1 − h 2
Ahora hemos de poner 123 como combinación lineal de algún ángulo famoso y el que nos han dado
sólo así, podremos calcular dicha RT en función de h
sen (123) = sen (180 − 57 ) = sen 180 cos 57 − sen 57 cos 180 = 0 ⋅ 1 − h 2 − h ⋅ −1 = h
5. Mezcla de los puntos 1. Y 2. a) Calcula las razones trigonométricas de 75º 1 2
2 3
2+ 6
⋅
+
⋅
=
2 2
2 2
4
3 2
2 1
6− 2
cos ( 75 ) = cos ( 30 + 45 ) = cos 30 cos 45 − sen 45 sen 30 =
⋅
−
⋅ =
2 2
2 2
4
2+ 6
sen ( 75 )
2+ 6
2 1+ 3 1+ 3
4
=
=
=
⋅
=
tg ( 75 ) =
cos ( 75 )
6− 2
6− 2
2 3 −1
3 −1
4
sen ( 75 ) = sen ( 30 + 45 ) = sen 30 cos 45 + sen 45 cos 30 =
b) Calcula las razones trigonométricas de π
12
rad π
π
π
π
3 2
2 1
⎛π ⎞
⎛π π ⎞
sen ⎜ ⎟ = sen ⎜ − ⎟ = sen cos − sen cos =
⋅
−
⋅ =
12
3
4
3
4
4
3
2
2
2
2
⎝ ⎠
⎝
⎠
6− 2
4
π
π
π
π 1 2
2 3
⎛π ⎞
⎛π π ⎞
cos ⎜ ⎟ = cos ⎜ − ⎟ = cos cos + sen sen = ⋅
+
⋅
=
3
4
4
3 2 2
2 2
⎝ 12 ⎠
⎝3 4⎠
⎛π ⎞
sen ⎜ ⎟
⎛π ⎞
⎝ 12 ⎠ = 3 − 1
tg ⎜ ⎟ =
⎝ 12 ⎠ cos ⎛ π ⎞ 1 + 3
⎜ ⎟
⎝ 12 ⎠
2+ 6
4
6. Aplicación de las transformaciones SUMA – PRODUCTO 2 UD Trigonometría Ejercicios Resueltos y Propuestos 2 2 a)
2
2
2
2
2
Col La Presentación 2
2
2
2
2
sen (α + β ) + sen (α − β ) = 2sen α cos β sen (α + β ) − sen (α − β ) = 2 cos α sen β cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cos α cos β − cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2sen α cos β ⎛ 80 ⎞
⎛ −34 ⎞
cos 23 − cos 57 = −2sen ⎜ ⎟ sen ⎜
⎟ = −2 sen 40 sen ( −17 ) = −2 sen 40 ( − sen ( −17 ) ) = 2sen 40 sen17
2
⎝ ⎠
⎝ 2 ⎠
b)
⎡x+ y
⎤
⎫
⎢ 2 = 38⎪⎪ x = 133 ⎥ 1
1
1
⎥ = ( sen 133 + sen ( −57 ) ) = ( sen 133 − sen 57 )
cos 95 ⋅ sen 38 = ( 2 sen 38 ⋅ cos 95 ) = ⎢
⎬
2
2
⎢ x − y = 95 ⎪ y = −57 ⎥ 2
⎢⎣ 2
⎥⎦
⎪⎭
7. Aplicación de las fórmulas con carácter general Quizá esto no sea necesariamente un tipo de ejercicio, pero al no poder ubicarlo de forma alguna he intentado hacer una breve recopilación de lo que podemos encontrar. Se trata de aplicar las fórmulas trigonométricas en función de la necesidad del ejercicio: a) De dos ángulos α y β se sabe que suman 60º. ¿Qué será mayor la suma de sus senos o la suma de sus cosenos? b) Simplifica en aquellos valores donde tenga sentido la expresión ⎧1 ) sen x = sen ( 2 ⋅ 2x ) = 2 sen 2x cos 2x
⎪⎪
Sabemos que ⎨2 )cos x = cos ( 2 ⋅ 2x ) = cos 2 2x − sen 2
⎪
1 = cos 2 2x + sen 2 2x
⎪⎩3 )
sen x
. 1 + cos x
⎫
⎪ ⎡ Si sumo ⎤
⎪
2 x
x
→⎢
⎥ → 4 ) 1 + cos x = 2 cos 2 2⎬
2) y 3)
⎦
⎪ ⎣
⎪⎭
Si me quedo con 1) y 4) me queda 2 sen 2x cos 2x sen 2x
sen x
⎛ x⎞
=
=
= tg ⎜ ⎟ 2 x
x
cos 2
1 + cos x
2 cos 2
⎝2⎠
8. Demostración de igualdades trigonométricas Se trata siempre de probar que una igualdad en la que aparecen fórmulas trigonométricas es cierta. Hay una técnica que no falla, pero que a veces puede resultar demasiado larga. Se toma un miembro de la igualdad y se intenta dejar en función de una sola razón trigonométrica, hacemos igual con el otro miembro y antes de que nos demos cuenta ya empezamos a ver que son la misma cosa a) Demuestra donde tenga sentido la expresión esta identidad Conocemos la fórmula miembros, tengo sen 2 2x =
1 − cos x + sen x
x
= tg 1 + cos x + sen x
2
si yo elevo al cuadrado en ambos 1 − cos x
⇔ 2 sen 2 2x = 1 − cos x . Con esto y los resultados del 2
ejemplo justo anterior, empezamos a sustituir en la expresión original y me da como resultado: 1 − cos x + sen x 2 sen 2 2x + 2 sen 2x cos 2x 2 sen 2x ( sen 2x + cos 2x )
x
=
=
= tg 2 x
x
x
x
x
x
1 + cos x + sen x 2 cos 2 + 2 sen 2 cos 2 2 cos 2 ( cos 2 + sen 2 )
2
9. Ecuaciones Trigonométricas 1) Usando las fórmulas trigonométricas estudiadas intentamos dejar todo lo que 3 UD Trigonometría Ejercicios Resueltos y Propuestos Col La Presentación aparezca en función de una única razón.
2) Una vez tengamos toda la expresión con una única RT procedemos al cambio de variable t = RT . 3) Resolvemos la ecuación en t. 4) Deshacemos el cambio de variable y a continuación comprobamos que todas las soluciones verifiquen la ecuación original. a) cos x − 3 sen x = 1 cos x − 3 sen x = 1
( cos x − 1)
cos x − 1 = 3 sen x ⇒
2
=
(
3 sen x
)
2
⇒ cos 2 x − 2 cos x + 1 = 3 sen 2 x ⇒
cos 2 x − 2 cos x + 1 = 3 (1 − cos 2 x ) ⇒ cos 2 x − 2 cos x + 1 = 3 − 3 cos 2 x ⇒
4 cos 2 x − 2 cos x − 2 = 0
Una vez está toda pasada a la misma RT en este caso cos x , procedemos a hacer el cambio de variable t = cos x , así nos queda ⎧cos x = 1 ⇔ { x = arccos 1 = 0º +360k; k ∈ ]
⎧t = 1
⎪
4t 2 − 2t − 2 = 0 ⎨ −1 ⇒ ⎨
⎧120º +360º k; k ∈ ] ⎪⎧
−1
−1
=
t
2
⎩
⎪cos x = 2 ⇔ ⎨ x = arccos 2 = ⎨240º +360º k; k ∈ ]
⎩
⎩⎪
⎩
Ya sólo queda sustituir las tres soluciones en la ecuación original, si hacemos eso nos damos cuenta que sólo la 0º y la 240º verifican la ecuación original. Si x = 0º ⇒ cos 0 − 3 sen 0 = 1 ⇔ 1 − 3 ⋅ 0 = 1 Correcto
Si x = 120º ⇒ cos 120 − 3 sen 120 = 1 ⇔ −21 − 3 ⋅
3
2
= 1 Incorrecto Si x = 240º ⇒ cos 240 − 3 sen 240 = 1 ⇔ −21 − 3 ⋅ − 2 3 = 1 Correcto
10. Resolución de Triángulos (NO necesariamente rectángulos) Lo único que necesitamos para resolver este tipo de ejercicios son los teoremas del seno y de coseno. También decir que cuando hallemos los ángulos, no olvidamos de ángulos negativos y mayores de 180º. Aquí los tenéis: 2
2
2 a) Resuelve el triángulo (halla los restantes valores desconocidos)
a = 16 cm; b = 25 cm; c = 15 cm; Este es el caso en el que desconocemos todos los ángulos y hemos de hallarlos. Aquí no queda más remedio que usar el teorema del coseno, cualquiera de sus tres versiones. Usamos: 2 , y despejamos el . 256 = 625 + 225 − 750 cos A ⇒ cos A = 0.792 ⇒ A = arccos 0.792 = 52.372809º Ahora calculamos el sen A: sen A = 1 − 0.7922 = 0.627264 Ahora uso el teorema del seno para hallar los otros senos: 16
25
=
⇔ sen B = 0.9801 ⇒ B = 78.75048697º 0.627264 sen B
Ahora para sacar el otro ángulo no es necesario aplicar ninguno de los teoremas anteriormente citados, usamos la fórmula: A + B + C = 180º ⇒ C = 180 − ( A + B ) C = 180º − ( A + B ) = 180º − ( 52.372809º +78.75048697º ) = 49.076704º Ahora ya si se quiere, se pueden pasar los ángulos a º ’ ‘’ ó a radianes. 4 UD Trigonometría Ejercicios Resueltos y Propuestos Col La Presentación 11. Problemas de Triángulos Los problemas de triángulos se tratarán en clase. Aquí tenéis un cuadro resumen con todas las fórmulas excepto los teoremas del seno y del coseno cos
2
1
2
cos
2 2 cos
2 cos
2
cos
cos
2
ú 2
2
2
2
1
2
cos
2
2
ú
2
2
2
2
2
2
2
2 1
1
1 1
cos 2
2
cos 2
2
1
cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2 cos α cos β − cos (α + β ) + cos (α − β ) = 2sen α cos β 5 ú
sen (α + β ) − sen (α − β ) = 2 cos α sen β 1
sen (α + β ) + sen (α − β ) = 2sen α cos β 1