Solución - IES Francisco Ayala

IES Mediterráneo de Málaga
Solución Septiembre 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN A
A.1.- La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año los
partidos ganados valían 3 puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas
condiciones el equipo campeón de la liga obtuvo 70 puntos. Hasta el año pasado los partidos
valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo el actual campeón hubiera obtenido 50
puntos. ¿Cuántos partidos gano, empato y perdió el campeón?
Siendo G los partidos ganados, E los empatados y P los perdidos
⎧G + E + P = 40
⎧ 3G + E = 70
⎪
⇒ G = 20 ⇒ 3.20 + E = 70 ⇒ E = 70 − 60 = 10 ⇒
⎨ 3G + E = 70 ⇒ ⎨
−
2
−
=
50
G
E
⎩
⎪ 2G + E = 50
⎩
20 + 10 + P = 40 ⇒ P = 10 ⇒ Solución(20 , 10 , 10 ) partidos
1
IES Mediterráneo de Málaga
Solución Septiembre 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
A.2.- Dada las funciones f ( x ) = x y g ( x ) = x , determinar el área encerrada por las
graficas de ambas funciones por las rectas:
2
3
a) x = 0 y x = 1
b) x = 1 y x = 2
a)
⎧x = 0
Puntos de corte de las gráficas ⇒ f ( x ) = g (x ) ⇒ x 2 = x 3 ⇒ x 2 − x 3 = 0 ⇒ x 2 (1 − x ) = 0 ⇒ ⎨
⇒
⎩x =1
⎧ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞2 1
⎪f⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =
1
1
1
1
1
1
⎪ ⎝2⎠ ⎝2⎠
4
2
En 0 < x < 1 ⇒ ⎨
⇒ f ( x ) > g ( x ) ⇒ A1 = ∫ x dx − ∫ x 3 dx = ⋅ x 3 0 − ⋅ x 4 0
3
3
4
0
0
⎪ g ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = ⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
8
[ ]
A1 =
(
)
(
[ ]
)
1 1 1 2
1
1 3
⋅ 1 − 0 3 − ⋅ 14 − 0 4 = − =
u
3 4 12
4
3
b)
⎧ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞2 9
⎪ f⎜ ⎟=⎜ ⎟ =
2
2
1
⎪ 2
2
4
En 1 < x < 2 ⇒ ⎨ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠3
⇒ f ( x ) < g ( x ) ⇒ A1 = ∫ x 3 dx − ∫ x 2 dx = ⋅ x 4
4
1
1
⎪ g ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 27
⎪⎩ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
8
1
1
15 7 45 − 28 17 2
1
1
A1 = ⋅ 2 4 − 14 − ⋅ 2 3 − 13 = ⋅ (16 − 1) − ⋅ (8 − 1) = − =
=
u
4
3
3
4
4 3
12
12
[ ]
(
)
(
2
1
[ ]
1
− ⋅ x3
3
)
2
2
1
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Solución Septiembre 2006
A.3.- a) Comprobar si f ( x ) =
b) Calcular
a)
(e
⎛ x + 5⎞
lim⎜
⎟
x →∞ x − 1
⎝
⎠
)
Juan Carlos Alonso Gianonatti
e x + sen x
π
tiene un máximo relativo en x =
x
4
e
x2
x +3
(
)
(
)
+ cos x e x − e x e x + sen x e x + cos x − e x + sen x e x + cos x − e x − sen x
=
=
e2x
ex
ex
cos x − sen x
f ' (x ) =
⇒
ex
2
2
π
π
cos − sen
−
π
⎛ ⎞
4
4 = 2
2 = 0 = 0 ⇒ ¿ máximo o mínimo ?
f⎜ ⎟=
π
π
π
⎝4⎠
4
4
e
e
e4
f ' (x ) =
f ' ' (x ) =
x
(− sen x − cos x )e x − e x (cos x − sen x ) = − sen x − cos x − (cos x − sen x )
e2x
ex
2 cos x
− sen x − cos x − cos x + sen x
f ' ' (x ) =
=−
⇒
x
e
ex
2
π
2 cos
2⋅
⎛π ⎞
4 =−
2 = − 2 < 0 ⇒ Máximo relativo
f ''⎜ ⎟ = −
π
π
π
⎝4⎠
e4
e4
e4
b)
⎛
⎞
x
x
x
⎜
⎟
x +3
x +3
−
1
+
5
+
1
6
1
x
⎛
⎞
⎛ x + 5 ⎞ x +3
⎛
⎞
⎟
= lim⎜1 +
lim⎜
= 1∞ = lim⎜
= lim⎜1 +
⎟
⎟
⎟
x →∞ ⎜
x →∞
x →∞
x →∞ x − 1
x −1 ⎟
x −1 ⎠
x −1⎠
⎝
⎝
⎠
⎝
⎜
⎟
6 ⎠
⎝
2
⎡
⎞
⎢ ⎛⎜
⎟
1
⎢
⎟
= ⎢lim⎜1 +
x →∞⎜
x −1 ⎟
⎢ ⎜
⎟
6 ⎠
⎢⎣ ⎝
2
x −1
6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
2
x2
x +3
=
x2 6
⋅
x + 3 x −1
=e
⎛ x2 6 ⎞
⎟ (∗ )
⋅
lim ⎜
⎟
⎝ x + 3 x −1 ⎠
x →∞ ⎜
= e6
6x 2
2
⎛ x
6
6 ⎞
6x
6x
∞
⎟⎟ = lim
⎜⎜
(∗) lim
= lim 2
= = lim 2 x
= lim
=6
⋅
x →∞ x + 3 x − 1
x → ∞ ( x + 3)( x − 1)
x →∞ x + 2 x − 3
x
→
∞
x
→
∞
2 3
∞
2x 3
x
⎠
⎝
1+ − 2
+
−
x x
x2 x2 x2
2
2
2
3
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Solución Septiembre 2006
A.4.- ¿Para que valores del parámetro m la recta
r : x = y +1 =
Juan Carlos Alonso Gianonatti
11 − mz
es paralela al plano
3
2x + y + z = 9? Determinar el punto de intersección de la recta y el plano para m = 2
Al ser paralelos recta y plano sus vectores directores son perpendiculares u ortogonales y por
lo tanto su producto escalar es nulo.
11
⎧
3⎞
⎛
x y +1
⎪v r = ⎜1 , 1 , − ⎟ ≡ (m , m , − 3)
m
=
⇒⎨
⇒ v r ⊥ vπ ⇒ v r .vπ = 0 ⇒
r: =
m⎠
⎝
3
1
1
⎪
vπ = (2 , 1 , 1)
⎩
−m
(m , m , − 3) ⋅ (2 , 1 , 1) = 0 ⇒ 2m + m − 3 = 0 ⇒ 3m = 3 ⇒ m = 1
z−
Cuando m = 2
⎧
⎪ x = 2λ
11
11
⎪
v r = (2 , 2 , − 3) ⇒ r : ⎨ y = −1 + 2λ ⇒ 2 ⋅ 2λ + −1 + 2λ + − 3λ = 9 ⇒ 3λ = 10 − ⇒ 6λ = 20 − 11 ⇒
2
2
⎪
11
=
−
λ
z
3
⎪⎩
2
3
⎧
=
⋅
=3
x
2
⎪
2
⎪⎪
3
9 3
6λ = 9 ⇒ λ = = ⇒ A⎨ y = −1 + 2 ⋅ = −1 + 3 = 2 ⇒ A(3 , 2 , 1)
6 2
2
⎪
11
3
⎪ z = − 3 ⋅ = 11 − 9 = 2 = 1
⎪⎩
2
2 2 2 2
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Solución Septiembre 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
OPCIÓN B
a b c
B.1. Teniendo en cuenta que p q r = 7 calcular el valor del siguiente
x y z
3a
3b
3c
determinante: a + p
b+q
c+r
− x+a − y+b − z+c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
3⋅ a + p
=
q
r
b+q
c + r = 3⋅ a
b
c + 3⋅ p
− x+a − y+b − z+c
− x+a − y+b − z +c
− x+a − y+b − z +c
a
b c
a
b c
= 3 ⋅ 0 + 3 ⋅ p q r − 3 ⋅ p q r = 0 + 3.0 − 3.7 = −21
x y z
a b c
5
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Solución Septiembre 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
B.2.
a) La función
f (x ) =
x +1 −1
no esta definida para x = 0. Definir f (0 ) de modo que
x
f (x ) sea una función continua en ese punto
∫
b) Utilizando el cambio de variable t = ln x calcular
ln (ln x )
dx
x ln x
a)
0 +1 −1 0
= ⇒
0
0
x +1 −1 0
x +1 −1 ⋅ x +1 +1
x +1−1
x
1
= = lim
= lim
= lim
= lim
=
lim
x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
0
x x +1 +1
x x +1 +1
x x +1 +1
x +1 +1
1
1
1
=
=
=
0 +1 +1 1+1 2
f (0) =
(
(
)(
)
)
(
)
(
)
⎧ x +1 −1
si x ≠ 0
⎪⎪
x
f (x ) = ⎨
1
⎪
si x = 0
⎪⎩
2
b)
ln (ln x ) dx
ln t
1
1 2 1
dt
2
2
∫ ln x x = ∫ t dt = ∫ ln t ⋅ t = ∫ u ⋅ du = 2 ⋅ u = 2 ⋅ (ln t ) = 2 ⋅ [ln (ln x )]
dt
dx
u = ln t ⇒ du =
t = ln x ⇒ dt =
t
x
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Solución Septiembre 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
B.3.- Sea f : ℜ → ℜ una función polinómica de grado menor o igual a tres que tiene un
mínimo relativo en (0 , 0) y un máximo relativo en (2 , 2). Calcular la expresión de dicha
función
⎧
f (0 ) = 0 ⇒ a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 0 ⇒ d = 0
⎪
3
2
⎧ f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
⎪ f (2 ) = 0 ⇒ a.2 + b.2 + c.2 = 2 ⇒ 8a + 4b + 2c = 2 ⎧4a + 2b = 1
⇒⎨
⇒
⇒
⎨
⎨
2
f ' (0 ) = 0 ⇒ 3a.0 2 + 2b.0 + c = 0 ⇒ c = 0
⎩ 3a + b = 0
⎩ f ' ( x ) = 3ax + 2bx + c
⎪
⎪⎩
f ' (2) = 0 ⇒ 3a.2 2 + 2b.2 = 0 ⇒ 12a + 4b = 0
⎧ 4a + 2b = 1
3
1
3
1
3
⇒ −2a = 1 ⇒ a = − ⇒ − + b = 0 ⇒ b = ⇒ f ( x ) = − x 3 + x 2
⎨
2
2
2
2
2
⎩− 6a − 2b = 0
7
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Solución Septiembre 2006
Juan Carlos Alonso Gianonatti
B.4.a) Estudiar la dependencia o independencia de los vectores :
u = (2 , 0 , 9 ) , v = (3 , − 1 , 2 ) , w = (5 , − 1 , 4 )
b) Dados los planos
ángulo que forman.
π 1 : 3x − y + 2 z + 1 = 0 y π 1 : 2 x + y − 5 z − 1 = 0
determinar el
a) Si los vectores son linealmente independientes no serán coplanarios por lo tanto el
determinante que generan es distinto de cero
2 0 9
A = 3 − 1 2 = −8 − 27 + 45 + 4 = 14 ≠ 0 ⇒ Son linealmente independientes
5 −1 4
b)Será el ángulo que forman sus vectores directores
π 1 : 3x − y + 2 z + 1 = 0 y π 2 : 2 x + y − 5 z − 1 = 0
cos (π 1 , π 2 ) =
cos (π 1 , π 2 ) =
vπ 1 .vπ 2
v π 1 ⋅ vπ 2
=
(3 , − 1 , 2) ⋅ (2 , 1 , − 5)
2
2
3 2 + (− 1) + 2 2 2 2 + 12 + (− 5)
=
6 − 1 − 10
14 30
=
−5
2 105
=
5 105
210
5 105
105
105
=
⇒ ang (π 1 , π 2 ) = arc cos
= 75º52'43' '
210
42
42
8