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Tema 5: Magnetostática en el vacío
5.0 Introducción. Campo magnético y fuentes de campo.
5.1 Campo creado por cargas puntuales en movimiento:
Ley de Biot y Savart
5.2 Ley de Ampere y Ley de Gauss para el campo
magnético
5.3 Movimiento de cargas en un campo magnético
5.4 Fuerza magnética sobre una corriente
22/11/2012
C. Masoller, AF 2012
5.0 Introducción. Campo magnético y fuentes de campo.
• Algunos materiales son “imanes” naturales que tienen la propiedad de
atraer piezas de hierro.
• Todo imán tiene un dos polos (norte y sur) donde la fuerza ejercida por el
imán es máxima.
• Polos iguales de dos imanes se repelen y polos distintos se atraen.
• La Tierra es un imán natural con polos magnéticos muy próximos a los
polos geográficos (uso de imanes en la navegación desde siglo XII).
• El campo magnético terrestre nos protege del viento solar.
• Los polos magnéticos siempre se presentan por parejas (no se han
encontrado “monopolos” magnéticos).
• Los imanes crean campos magnéticos (son fuentes de
campo magnético).
Limaduras de hierro alrededor
de una esfera imantada
uniformemente
22/11/2012
C. Masoller, AF 2012
Otra fuente de campo magnético son las cargas en
movimiento (las corrientes)
Experimento de Oersted (1820): cuando por el alambre no circula
corriente, la aguja de la brújula apunta al norte, al pasar corriente, la aguja
se desvía en dirección del campo magnético resultante.
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Líneas de campo magnético
• Indican la dirección del campo magnético
• La densidad de líneas indica la intensidad del campo
• En cada punto las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza
magnética sobre una carga móvil en ese punto (veremos mas adelante).
• Las líneas de campo magnético son siempre cerradas.
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5.1 Campo creado por cargas puntuales en
movimiento: Ley de Biot y Savart
Campo en el punto P creado por una partícula puntual
 0 qv  rˆ
B
4 r 2
0 es la permeabilidad del vacío
0  4  107 Tm/A
Unidad de campo magnético: Tesla T = N/(Am)
También: Gauss G = 10-4 T
Campo magnético terrestre:  0.25 – 0.65 G
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Ley de Biot y Savart: campo creado por una corriente
Campo en el punto P1 creado por una corriente:






 qivi  Nv q  v qdV  JdV  JAdl  Idl
i
 0
B
4
 
 
J r
0 I dl  r
dV

 r3
4  r 3
Dirección y sentido: regla de la mano derecha
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Problema 9.1: Campo creado por un conductor rectilíneo
 
 0 I dl  r
dB 
4 r 3
 I dx sin  0 I dx cos 
dB  0

2
4
r
4
r2
yd
yd
x  y tan   dx 

cos 2  y 2 / r 2
0 I r 2d cos  0 I cos d
dB 

2
4 y
r
4
y
2
0 I sin 2  sin 1
4
y

Conductor infinito: 2  900 , 1  900
I
B 0
2y
B   dB  B 
1
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Líneas de campo magnético creado por un
conductor infinito
r
B
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0 I
2r
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Problema 9.2: campo en el eje creado por una espira

 0 I dl  r
dB 
4 r 3
 
dl  r
dB 
1) En el centro:
 0 I
 0 I  dl
iˆ
ˆ  B
B
i
2R
4 R 2
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0 I dl
4 r 2
 
2) En P (en el eje): dB  r  dBx  dB sin 
By   dBy  0 (por simetría)
 I dl
Bx   dBx   dB sin   0  2 sin 
4 r
0 I 2R R 0 I R 2
Bx 

2
4 r r
2 r3
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Problema 9.2 (continuación): campo en el eje creado
por una espira, lejos de la espira
Bx 
0 I
2
R
R2
2
x

2 3/ 2
lejos : x >> R
0 I R 2 0 2
Bx 

3
2 x
4 x 3
= I R2 = I Área = momento magnético de la espira
Líneas de campo magnético:
Líneas de campo
creado por una espira
de corriente
visualizadas mediante
limaduras de hierro.
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Analogía del campo creado por un dipolo magnético y por
un dipolo eléctrico (visto en tema 3) lejos del dipolo
Magnético
 2
Bx  0 3
4 r
El campo creado por
un dipolo disminuye
como 1/r3.
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p cos 
Er 
2 0r 3
Eléctrico
Líneas de campo:
Afuera del dipolo las
líneas son iguales, pero
“dentro” del dipolo
(entre las cargas y
adentro de la espira)
las líneas de campo
son opuestas.
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
p
Campo magnético creado por una corriente que
circula por un solenoide
Un anillo:
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2 anillos (la corriente circula
en el mismo sentido)
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N anillos (solenoide): campo
casi uniforme en el interior
Campo magnético en el eje de un solenoide
Campo en P creado una espira en x:
Bx 
0 I
2
R
R2
2
x

2 3/ 2
N: numero de espiras
L: longitud del solenoide
n=N/L
dBx 
0 Indx
2
b
Bx   dBx 
a
0 In 
R
R2
2
0 In
2
x

di = I n dx
2 3/ 2
b
 R
a
P
R 2dx
2
x

2 3/ 2
b
a

Bx 


2
2
2  R b
R2  a 2
Solenoide infinito: Bx  0 In
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


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5.2 Ley de Ampere y Ley de Gauss para el campo magnético

m   B  nˆdA
S
Flujo magnético que
atraviesa una superficie S.
Unidad de flujo magnético: weber. 1 Wb = 1 T m2


m   B  nˆdA  0    B  0 No existen monopolos
S



 B  0  B   A

 A  0
(cargas) magnéticos.
A es el potencial vector magnético.
Esta definido a menos del gradiente
de una función arbitraria   f  0


 


 

A'  A  f  B'    A'    A  f    A  B
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Ley de Ampere
 
Forma integral de la Ley de
B

d
l


I
0 enc

Ampere, válida solo para
corrientes estacionarias.
C
Donde Ienc es la corriente que atraviesa la
superficie S limitada por la curva C.

I enc   J  nˆdA
 S

 B  dl     B  nˆdA Teorema de Stokes
C
S


   B  nˆdA  0  J  nˆdA
S
S



   B  0 J
(S cualquiera)

 


    B  0    0 J  0
Ejemplo: campo magnético creado por
un cable

 infinito
 B  dl  0 I  B 
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C
0 I
2r
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Forma diferencial de la Ley de
Ampere, también vale solo
para corrientes estacionarias.
 
 J 
0
t
Para corrientes NO estacionarias
la divergencia de J no es cero.
Aplicación de la Ley de Ampere: campo
magnético en el interior de un alambre
de radio R que transporta una corriente I uniformemente distribuida
si r  R
 
0 I
0 Ir
2
C B  dl  0 I enc  B  2r R2 r B  2R2
I
r  R: B  0
2r
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Campo magnético en el interior de un solenoide
circular (toroide)
 
 B  dl  0 I enc
C
C: curva cerrada representada
por la línea punteada
ra
B0
0 NI
arb B
2r
rb
B0
N: numero de espiras
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Potencial vector magnético


  B  0 J


B   A




     A  0 J

 




2
  A    A   A
Como el potencial vector esta definido a menos del gradiente
de una función

arbitraria, se puede elegir esa función para que   A  0
2







2
2
  A  0      A   A   A   0 J
Para el potencial eléctrico vimos que:
2V  

0
V
1
4 0

dV
r
Para el potencial vector tenemos
 que:
 0


 A   0 J  A 
2
4

 Ax   0 J x
 2 A    J

y
0 y
 2 A    J
z
0 z

JdV
r



Para un cable: JdV  JAdl  Idl
 0 I dl
A
4  r
Resumen de ecuaciones

 0 JdV
A
4  r

 0 I dl
A
4  r
 0
B
4
 
 
J r
0 I dl  r
dV

 r3
4  r 3


  B  0 J

 B  0


 A   0 J
2


B   A
5.3 Movimiento de cargas en un campo magnético
• Fuerza magnética sobre una carga de prueba móvil en ausencia de campo
eléctrico:

 
F  qv B
•
Esta ecuación permite definir el campo B en un
punto del espacio (así como F=q E define el campo
eléctrico).
• Cuando hay también un campo eléctrico la fuerza
total sobre una carga de prueba es la Fuerza de
Lorentz:

  

F  q E v B

Propiedades de la fuerza magnética

 
F  qv B

 
F v
 La fuerza magnética no realiza trabajo sobre la carga y no cambia su energía
cinética.
 La fuerza es central, si B es constante, el módulo de la fuerza también y el
movimiento de la carga es un MCU
2
v
mv Radio de
F  q vB  ma  m
r
r
qB Larmor
2r 2m
T

Período de Ciclotrón
v
qB
1
qB
qB Frecuencia
f  
  2f 
T 2m
m de Ciclotrón
Movimiento en un campo magnético uniforme
Trayectorias de
dos partículas
que poseen
distinto mv/q
Trayectoria de una
partícula cuando su
velocidad inicial tiene
una componente en
dirección de B
Ciclotrón
• Acelerador de partículas cargadas que usa el efecto combinado de B y E. Las
partículas se mueven en el interior de un campo B producido por dos grandes
bobinas y cruzan varias veces una región donde hay V que las acelera.
mv
r
qB
mv2
K
2
1  q2 B 2r 2 

K  
2 m 
Sincrotrón ALBA Jornada de Puertas Abiertas - 15 de
diciembre de 2012 de 10:00 a 17:00 H
Interior del sarcófago donde se encuentran los anillos
El record mundial de acelerador de partículas a mayor energía es el Large Hadron
Collider (LHC, CERN, en la frontera entre Suiza y Francia) que acelera partículas a 7 TeV
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C. Masoller, AF 2012
¿Como funciona ALBA?
http://www.cells.es/AboutUs/WhatIs
The electrons are maintained in a circular ring by magnetic field and produce X-Rays
tangentially to their trajectory.
These X-Rays are used by several beamlines located around the storage ring to analyse
samples for many domains of interest.
22/11/2012
C. Masoller, AF 2012
Ejemplo: selector de velocidades


  
F  q E v B


 
qE  qv  B
v
E
B
Las partículas con
esta velocidad no se
desvían.
Ejemplo: método de Thomson (1887) para
medir el cociente q/m de una partícula
Las partículas (e.g., electrones) parten del cátodo C (que esta a potencial negativo
respecto a las rendijas A y B), pasan a través de las rendijas y inciden sobre una
pantalla fosforescente S.
La velocidad inicial de los electrones, v0, se puede determinar con un campo
magnético B  v0, y se ajusta B hasta que el haz no se desvía. Luego se “apaga” el
campo magnético. Conocido v0, q/m se puede calcular a partir de:
E
v0 
B
1
y1  y2  a y t12  v y t2
2
a y  qE / m
v y  a y t1
t1  x1 / v0
t2  x2 / v0
Ejemplo: espectrómetro de masas
Dispositivo para medir las masas de los isótopos (e.g. 24Mg, 25Mg, 26Mg). Pueden
medir masas con gran precisión (dispositivo original diseñado en 1919 tenia una
precisión de 1 en 10000).
Magnitudes conocidas: r, V, B. Incógnita: m/q
Asumiendo que las partículas parten de la
fuente en reposo:
1 2
mv  q V
2
mv
r
qB
(la energía cinética es igual a la
pérdida de energía potencial)
qBr 
 v 2  

 m 

m B2r 2

q 2 V
2
Fuente
Movimiento en un campo magnético no uniforme
La descripción general del movimiento suele ser complicada (el
movimiento puede ser caótico).
Botella magnética: campo muy intenso en los extremos y menos en el
centro. Las partículas quedan atrapadas entre los puntos P1 y P2 y se
mueven en espiral, hacia adelante y hacia atrás.
Cinturones de Van Allen
Los cinturones internos (1.2-3 RT) y
cinturones externos (3-7 RT) contienen
partículas cargadas atrapadas por el
campo magnético terrestre.
Cinturón exterior: electrones de alta
energía (0.1–10 MeV).
Cinturones interiores: electrones (keV) y
protones de alta energía (>100 MeV).
El campo magnético en el cinturón
interior es mas fuerte que en el cinturón
exterior.
Los cinturones fueron descubiertos por
las misiones Explorer 1 y Explorer 3
dirigidas por J. Van Allen en 1958.
También confinan antipartículas.
La NASA envió el 30 de agosto 2012 una
misión para el estudio de los cinturones
de Van Allen.
r
mv
qB
Cinturones de Júpiter
Fuente: Wikipedia
Efecto Hall (1879)
La fuerza
magnética es
hacia arriba si la
corriente es
hacia la derecha.
VH  EH w  vd Bw
Se puede usar para medir un
campo magnético o una corriente.
Ejemplo: una cinta conductora de
ancho 2 cm esta en un campo de
0.8 T. El voltaje Hall medido es
0.64 V. Calcular la velocidad de
desplazamiento de los electrones
Resp: 4x10-5 m/s
I  JA  qnvd (wt )
BI
 VH 
qnt
n=numero de cargas por
unidad de volumen; t = ancho
de la cinta.
Efecto Hall cuántico en
semiconductores a
bajas temperaturas
(Premio Nobel 1985)
Además Efecto Hall
Cuantico Fraccionario
(fracciones racionales,
Premio Nobel 1998).
5.4 Fuerza magnética sobre una corriente
• Fuerza magnética sobre un conjunto de cargas
dl

 
F   qi vi  B
i
• Sobre un trozo de conductor de longitud dl:



 
dF  q vd  B n A dl
donde n es la densidad de partículas por unidad de volumen y vd la velocidad de
desplazamiento media.
• La densidad de carga es  = q n, el elemento de volumen es dV = A dl.




 
dF   vd  B dV



 


• La densidad de corriente es: J   vd  dF  J  B dV

 
 F   J  B dV
Fuerza sobre un elemento de corriente
• Sobre un hilo que transporta una corriente I (J=I/A):



 
dF  J  B dV

 F I


 
dl  B
 

dF  Idl  B

Ejemplo: Un segmento de cable de 3 mm
de longitud transporta una corriente de
3A en dirección +x y se encuentra en el
interior de un campo magnético de 0.02T
cuya dirección es paralela al plano xy y
forma un ángulo 30 con el eje x. ¿cuanto
vale la fuerza magnética?
Resp: 9x10-5 N perpendicular al plano.



J dV  JAd l  Idl
Ejemplo: fuerza sobre un cable semicircular

F I

 
dl  B


dl   dl sin  iˆ  dl cos   ˆj

B  Bkˆ
dl  Rd



F  I  Rd B sin  ˆj  cos  iˆ

0
F  2 RIB ˆj

Momento sobre una espira en un campo magnético
• Una espira que transporta una corriente en un campo B uniforme experimenta un
par de fuerzas que tienden que gire alineándose tal que la normal es // al campo.
 
aB

F I

 
dl  B
F1  F2  IaB
M  Fb sin 
 ( IaB )b sin 


nˆ  B  B sin 
• Las fuerzas sobre los otros dos lados (b) están contenidas en
el plano de la espira por lo que no producen momento.
• A = área = ab. Si hay N espiras M  NAI B sin 

• Momento dipolar magnético de la espira:   NAI nˆ
  
• Momento sobre la espira M    B
(el momento de un par no depende del punto de aplicación)
Ejemplo: momento dipolar magnético de un disco no
conductor con densidad de carga  que gira con velocidad
angular 
Para un anillo de área A por el que circula una corriente I:

  AI nˆ
Dividimos el disco en pequeños añillos:

dq 
 2rdr
dI 

T 2
d  r 2rdr 
d  AdI  r 2dI
R
   r  rdr  
2
R 4


R 4 



4
  
El momento que hace un campo magnético B sobre el disco es: M    B
0
4
Ejemplo: ¿cual es el mínimo valor de la corriente
para que el borde de la espira se levante?
k̂
ĵ
iˆ

mg
 mg
MO

  

B  Biˆ
ˆj
M



B
M


B
O

  k̂


 OG  mg   Riˆ   mgkˆ   Rmg ˆj  B  Rmg  I  Rmg  mg
AB RB


Fuerza entre dos conductores

F I

 
dl  B
F 0 I1 I 2

L
2R

0 I
B
2R
Fuerza por unidad de longitud.
De atracción si los conductores
transportan corrientes en el mismo
sentido, de repulsión si tienen
sentidos opuestos.
Esta ecuación se usa para definir el
Ampere: corriente que tiene que
circular cuando los conductores están
separados 1 m para que la fuerza por
unidad de longitud sea 210-7N.
Balanza de corriente
Se puede usar para calibrar un amperímetro o para pesar pesos pequeños.