+ϕ ωt ϕ ω + ϕ ω ω +ϕ ωt ω π2 π π

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Movimiento Armónico Simple
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8.Una partícula describe un M.A.S. de frecuencia 100 Hz y amplitud 3 mm. Calcular la
velocidad en el centro y en los extremos de la trayectoria.(Barcelona-Junio 97-COU)
Cinemáticamente:
En el centro x =0 ; sen(ωt + ϕ ) = 0 ;
x = A sen(ωt + ϕ ) La velocidad por definición: v =
cos(ωt + ϕ ) = ±1
dx
= A ⋅ ω cos(ωt + ϕ )
dt
La velocidad en el centro será máxima v = v max = ±ωA =
2πfA = 2π ⋅ 100 ⋅ 0,003 = 0,6π m/s = 1,885 m/s
En los extremos v=0, si no fuera así podría desplazarse mas y no estaría en el extremo.
1 2 1 2 1
kA = kx + mv 2
2
2
2
1 2 1 2 2 k 2
k
en el centro: x =0 ;
kA = mv ; v = A ; v =
a = ±ωA
2
2
m
m
Energéticamente: E total =
En el extremo v =0
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Movimiento Armónico Simple
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9.El bloque de la figura, de masa M = 1 kg, está apoyado sobre una mesa horizontal sin
rozamiento y unido a la pared fija mediante un resorte, también horizontal de constante
elástica K = 36 N/m
Estando el bloque en reposo en su posición de
equilibrio, se le da un impulso hacia la derecha, de
forma que empiece a oscilar armónicamente en torno a
dicha posición con amplitud A= 0,5 m
a) Durante la oscilación, ¿es constante la energía
mecánica de M? Explica por qué
b) ¿Con qué frecuencia oscila M?
c) Determina y representa gráficamente su velocidad en función del tiempo. Toma origen
de tiempos t=0, en el instante del golpe (Zaragoza-Junio97-LOGSE)
K = 36 N/m ; t = 0 ; x=0 ; A = 0,5 m
La energía total del muelle vale
potencial
1 2
kA y si no hay fuerzas disipativas se conserva la energía total, dividiéndose en
2
1 2
1
kx y cinética mv 2
2
2
aunque su suma es constante e igual a :
π
m
1 π
ó T = 2π
= 2π
= s
k
36 3
x = A sen(ωt + ϕ ) para t =0 x =0 ;
0 = A sen ϕ ; ϕ = 0 ; x = A sen ωt ;
3
x = 0,5 sen ω 2π t = 0,5 sen 6t ;
4
3
x(m) v(m/s)
1 2
kA
2
f = −kx = m(−ω 2 x) ; k = mω 2 ;
3
36 = 1 ⋅ 4π 2 f 2 ; f = Hz
2
1
x=0 ,5 se n 6 t
0
-1 0
5
10
15
v=3 co s6 t
-2
-3
-4
t
π
dx
= ωA cos ωt = 3 cos 6t
dt
1 π
T= =
f 3
v=
( Se puede visualizar unas simulaciones de movimientos con gráficas elongación-tiempo ; velocidad-tiempo y
aceleración-tiempo en el Departamento de Física de la materia condensada. Cristalografía y mineralogía de la
Universidad de Valladolid.
Péndulo simple, Resorte con oscilaciones amortiguadas y Resorte con oscilaciones forzadas. En la dirección de
Internet: http://caos.eis.uva.es/indice.htm en el apartado
Otra dirección de este tipo es : http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm# de la Universidad
del País Vasco IntroducciónSimulaciones
Otra dirección de simulaciones de física en general: http://www.explorescience.com/
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11.Una partícula describe un M.A.S. de frecuencia 50 Hz y amplitud 5 mm. Calcular la
aceleración en el centro y en los extremos de la trayectoria.(Barcelona-Septiembre97COU)
a = − Aω 2 sen(ωt + ϕ ) = −ω 2 x
ω = 2πf = 2π 50 = 100π Rad / s
En el centro: x =0 ; a =0
En los extremos x = A , a = −ω A =
2
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(100π )2 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = − 50π 2 m/s2
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12.En la gráfica se representa la posición en función del tiempo de un cuerpo de masa M=0,5
kg, que realiza una oscilación armónica en torno al origen de coordenadas.
a) Escribe la ecuación de la velocidad de M en
función del tiempo y represéntala gráficamente
b) Explica qué fuerza debe estar actuando sobre M
para producirle este movimiento: ¿cómo depende
del tiempo? ¿Y de la posición de M? ) (ZaragozaJunio97-LOGSE)
De la gráfica El periodo T es el tiempo que emplea en hacer un
1
ciclo completo; T = 2 s y la frecuencia Hz
2
la amplitud en el eje de las Y A = 0,2 m
2π 2π
ω=
=
= π Rad / s
T
2
La ecuación de un M.A.S. es: x = A cos(ωt + ϕ ) ; Si t = 0 x = +A ;
cos ϕ = 1 ; ϕ = 0
⎛ 2π ⎞
t⎟ =
Aplicadas las condiciones iniciales la ecuación queda: x = 0,2 cos⎜
⎝ 2 ⎠
dx
La velocidad es: v =
= −0,2 ⋅ πsen(πt )
dt
N
4π 2
b) f = –kx − kx = m(−ω 2 x ) ; k = mω 2 = 0,5
= 0,5π 2
m
4
0,2 cos πt
La dependencia de la posición es : f = − kx = −0,5π 2 x
La dependencia del tiempo: f = −0,5π 2 ⋅ 0,2 cos(πt )
elongación-velocidad-tiempo
1
x-v
0,5
0
-0,5 0
1
2
3
x
v
-1
t
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19.Una partícula de 0,5 kg que describe un movimiento armónico simple de frecuencia 5/π Hz tiene, inicialmente, tiene
una energía cinética de 0,2 J y una energía potencial de 0,8 J.
a) Calcula la posición y la velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad máxima.
b) Haz un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál será el
desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales?
2
5⎞
N
⎛
k = mω = 0,5 ⋅ ⎜ 2π ⋅ ⎟ = 50
π⎠
m
⎝
1
1
E c = mv 2 ; 0,2 = 0,5 ⋅ v 2 ; v=0,89 m/s
2
2
1
1 2
E p = kx ; 0,8 = 50 ⋅ x 2 ; x = 0,18 m/s
2
2
2
1
k ⋅ A 2 ; 0,2 + 0,8 =
2
1
2
La velocidad máxima será cuando la Ep=0 y la E M = m ⋅ v max ; 1 =
2
La Energía mecánica total:
E M = E p + Ec =
1
50 ⋅ A 2 ; A=0,2 m
2
1
2
0,5 ⋅ v max
; v max = 2 m / s
2
5⎞
⎛
v max = ω ⋅ A ; v max = ⎜ 2π ⋅ ⎟ ⋅ 0,2 = 2 m / s
π⎠
⎝
1 2 1 2
1
2
b) Si la Ec=Ep mv = kx = 0,5 ; 0,5 = 50 ⋅ x ; x00,14 m
2
2
2
O bien
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14.En un M.A.S., ¿cuánto vale la elongación, en el instante en que la velocidad vale la mitad
de su valor máximo?
Expresa el resultado en función de A (Barcelona- Junio98-COU)
En un M.A.S. la elongación
x = A sen(ωt + ϕ )
dx
= Aω cos(ωt + ϕ )
dt
La velocidad máxima cuando: cos(ωt + ϕ ) = ±1 ; vmax = ±ωA
La velocidad
v=
Cómo la velocidad es la mitad de la velocidad máxima:
Simplificando:
cos(ωt + ϕ ) =
Aplicando la igualdad:
v = Aω cos(ωt + ϕ ) =
ωA
2
1
2
sen 2 (ωt + ϕ ) + cos 2 (ωt + ϕ ) = 1 ; sen(ω + ϕ ) = ±
3
;
2
3
A
2
3
π
1
(ωt + ϕ ) = ; y sen(ωt + ϕ ) =
Otra forma es: si, cos(ωt + ϕ ) = ;
2
3
2
La elongación es igual a:
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x=±
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27.
Un péndulo simple está construido con una bolita suspendida de un hilo de longitud L = 2
m. Para pequeñas oscilaciones, su periodo de oscilación en un cierto lugar resulta ser T =
2,84 s.
a) Determina la intensidad del campo gravitatorio en el lugar donde se ha medido el
periodo. (1 p.)
b) Considera que el movimiento de la bolita es prácticamente paralelo al suelo, a lo largo
de un eje OX con origen, O, en el centro de la oscilación. Sabiendo que la velocidad de la
bolita cuando pasa por O es de 0,4 m/s, calcula la amplitud de su oscilación y representa
gráficamente su posición en función del tiempo x(t). Toma origen para el tiempo, t = 0, en
un extremo de la oscilación. (1,5 p.) Zaragoza LOGSE JUNIO 98
El periodo de oscilación de un péndulo simple es:
l
g
2,84 = 2π
Graf. posición-tiempo
2
; g = 9,789 ms–2
g
0,2
b) En el centro de la oscilación la velocidad es máxima
x = A sen(ωt + ϕ ) , la velocidad
dx
v=
= Aω cos(ωt + ϕ ) ;
dt
y la velocidad máxima es cuando el
v max = ωA =
0
-0,1 0
x(t)
1
2
3
4
-0,2
t
cos(ωt + ϕ ) = 1
2π
2π
A ; 0,4 =
A ; A = 0,181
T
2,84
m
Para t=0 ; x = A ;
x = 0,181 sen(
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0,1
x(t)
T = 2π
A = A sen(ωt + ϕ ) ; sen ϕ = 1 ; ϕ =
π
2
;
π
2π
t + ) = 0,181 sen(2,2124t + 1,5708)
2,84
2
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28.Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en tomo al origen de un eje OX,
con una frecuencia de 5 Hz y una amplitud de 5 cm.
a) Calcula la velocidad de la partícula cuando pasa por el origen (1 p.)
b) Determina y representa gráficamente la energía cinética de m en función del tiempo.
Toma origen de tiempo, t = 0, cuando m
pasa por x = 0. (1 p.) Zaragoza Junio 99
1,57 m/s
Cinemáticamente:
La elongación de un M.A.S. es: x = A sen(ωt + ϕ )
dx
= ωA cos(ωt + ϕ ) y la velocidad
dt
máxima se alcanza cuando la elongación es cero y la
velocidad es máxima para ello
cos(ωt + ϕ ) = ±1 y entonces la
v max = ±ωA = 2πf ⋅ A = 2π ⋅ 5 ⋅ 0,05 = 1,57 m / s
La velocidad: v =
Ecinética-tiempo
Ecinética
0,015
Energéticamente:
La energía total de un oscilador armónico es:
0,01
1
E total = kA 2 = E potencial + E cinética
0,005
2
En en origen x=0 Epotencial=0 ; Cuando pasa
0
por el origen, toda le energía se manifiesta en
0,05
0,1
-0,005 0
1 2 1
2
kA = mv
forma de energía cinética.
2
2
Cómo f = −kx = m(−ω 2 x) ; k = mω 2
1
1
mω 2 A 2 = mv 2 simplificando v max = ±ωA
2
2
v = 1,57 m/s
1
1
b) La energía cinética: E cinética = mv 2 = 0,01(0,5π )2 cos 2 (10πt ) = 0,012 cos 2 (10πt )
2
2
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0,15
0,2
0,25
t
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29.El bloque de la figura, de masa M =0,2 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal
sin rozamiento y unido a una pared mediante un
resorte horizontal y de masa despreciable.
Partiendo de la posición de equilibrio, se desplaza
M hacia la derecha hasta conseguir un
deformación del resorte ΔL = 10 cm y se libera M
con velocidad inicial nula. Se observa que M
realiza una oscilación armónica en torno a la
posición de equilibrio, con periodo T = 0,5 s
a) Calcula la constante recuperadora del resorte. (0,5 p) 31,58 N/m
b) Determina y representa gráficamente la aceleración de M en función del tiempo, a partir
del instante en que se libera.(1p) Zaragoza septiembre 99
m
0,2
sustituyendo valores: 0,5 = 2π
K= 31,58 N/m
k
k
b) La ecuación del movimiento armónico simple es: x = Asen(ωt + ϕ ) = 0,1sen(4πt + ϕ ) ;
a) El periodo de oscilación de un muelle: T = 2π
Para t= 0 x = +0,10 ; sustituyendo 0,10 = 0,10sen(0 + ϕ ) ; ϕ =
π⎞
⎛
; x = 0,1sen⎜ 4πt + ⎟
2
2⎠
⎝
π
⎡
π ⎞⎤
⎛
d ⎢0,1sen⎜ 4πt + ⎟⎥
2 ⎠⎦
π⎞
dx
⎝
⎛
⎣
=
La velocidad es v =
= 0,1 ⋅ 4π ⋅ cos⎜ 4πt + ⎟
2⎠
dt
dt
⎝
dv
=−
y la aceleración: a =
dt
⎡
π ⎞⎤
⎛
d ⎢0,1 ⋅ 4π ⋅ cos⎜ 4πt + ⎟⎥
2 ⎠⎦
π⎞
⎝
⎛
⎣
= −0,1 ⋅ (4π ) 2 ⋅ sen⎜ 4πt + ⎟
2⎠
dt
⎝
e l onga c i ón- v e l oc i da d- a c e l e r a c i ón
2, 5
2
1 ,5
1
0, 5
x
0
v
0
0, 1
0, 2
0, 3
0, 4
0, 5
0, 6
0, 7
0, 8
0, 9
a
-0, 5
-1
-1 , 5
-2
-2, 5
t
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31.Un muelle de masa despreciable tiene una longitud natural L0, = 10 cm. Cuando colgamos un cuerpo de
masa m = 0,1 kg de su extremo inferior, su longitud en equilibrio es Leq= 20 cm. Considera g = 10 m/s2
a) Cuál es la constante recuperadora de este resorte? (0,5
p)
Supón que, partiendo de la posición de equilibrio,
desplazamos la masa 5 cm hacia abajo y la soltamos con
velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar
armónicamente.
b)Ecuación de la elongación en función del tiempo y
representa gráficamente la longitud del resorte en función
del tiempo, a partir del instante en que soltamos m. (1 p)
c) ¿Con qué amplitud oscilará? ¿Con qué frecuencia?
¿Con qué velocidad pasará por la posición de equilibrio?(1
p)
El alargamiento vale Δx = 20 − 10 = 10cm = 0,1m
La fuerza de recuperación del muelle equilibra el peso del cuerpo:
0,1 ⋅ g = k ⋅ 0,1 ; k = g N/m
b) La amplitud A = 5 10–2 m
El periodo de oscilación del muelle: T = 2π
La frecuencia: f =
1
= 1,58 Hz
T
En el equilibrio Ep = 0 toda la energía
(
m
0,1
= 2π
= 0,63s
k
g
1
1
mv 2 : g 5 ⋅10 − 2
2
2
)
2
=
1 2
kA se transforma en cinética
2
1
0,1v 2 v = 0,5 m/s
2
⎞
⎛ 2π
c) La elongación x = A cos(ωt + ϕ ) = 5 ⋅10 − 2 cos⎜⎜
t + ϕ ⎟⎟
0
,
63
⎠
⎝
Si t =0 x= –5 10–2 m ; –5 10–2 = 5 10–2 cos (ϕ) ; cos ϕ = –1 ; ϕ= π
x = 5 ⋅10 −2 cos(9,97t + π )
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32.π
Un cuerpo de 10 g se mueve con movimiento armónico de ecuación: x = 10sen⎛⎜10t + ⎞⎟ .
⎝
2⎠
a) Calcular su velocidad en t=0. (1 p)
b) Calcular la energía potencial y la energía cinética cuando la elongación es cero (1 p)
π⎞
⎛
La elongación de un movimiento vibratorio armónico simple es: x = Asen(ωt + ϕ ) = 10 sen⎜10t + ⎟
2⎠
⎝
a) La velocidad de un movimiento vibratorio armónico simple es: v =
π⎞
dx
⎛
= 10 ⋅10cos⎜ (10t + ⎟
dt
2⎠
⎝
⎛π ⎞
Cuando t = 0 v = 100 cos⎜ ⎟ = 0
⎝2⎠
1
b) La Energía potencial: E p = kx 2
2
1
La energía cinética: E c = mv 2
2
Si la elongación es cero: la Ep es cero y la Ec será máxima y también su velocidad, de la ecuación de la velocidad la
1
máxima vale: 100 m/s E c = 0,010 ⋅100 2 = 50 J
2
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33.La gráfica adjunta da la posición, en metros, y el tiempo, en segundos, de una partícula de masa m =l kg que
realiza un movimiento vibratorio armónico simple.
a) Escribe la ecuación que da su velocidad en función de t.
b) Escribe la ecuación da su aceleración en función de t
c) Escribe la ecuación da su energía total en función de t
Según el gráfico 1oscilación y media emplea 100 s luego la
3 osc
frecuencia vale: 2
= 0,015Hz
100s
La elongación:
x = Asen(ωt + ϕ ) = 5sen(2π 0,015t + ϕ ) = 5sen(0,094t )
Si t =0 ϕ = 0 0 = 5 sen ϕ ; sen ϕ=0 ; ϕ=0
x= 5 sen (0,094t)
dx
La velocidad v =
= 5 ⋅ 0,094 cos(0,094t ) = 0,471 cos(0,094t )
dt
dv
= −5 ⋅ (0,094) 2 sen(0,094t ) = −0,044sen(0,094t )
La aceleración: a =
dt
1
1
c) La energía total es suma de la potencial mas la cinética E total = kx 2 + mv 2 ; como k = mω2
2
2
1
1
1
2 2
2
2 2
2
E total = mω 5 sen (0,094t + mω 5 cos (0,094t ; sacando factor común mω 2 5 2
2
2
2
1
1
E total = mω 2 5 2 sen 2 (0,094t + cos 2 (0,094t = mω 2 5 2 ; la energía total es constante e independiente del tiempo
2
2
1
De otra forma, aplicando el principio de conservación de la energía E total = kA 2 como la energía ni se crea ni se
2
destruye, solo se conserva la energía es independiente del tiempo, solo hay cambios en la energía cinética y potencial
pero su suma es constante
(
((
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) (
(
)
))
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34.Un cuerpo de 10 g está vibrando con un movimiento armónico simple de amplitud 15 cm y frecuencia de 4
c/s.
a) Calcular el valor máximo de la velocidad. (1 p)
b) Calcula su energía potencial y cinética en el punto de máxima elongación(1 p) (1,2.π m/s)
La posición de un movimiento armónico simple, viene determinada en general por:
x = Asen(ωt + ϕ ) llamada elongación
2π
= 2πf = 2 ⋅ π ⋅ 4 = 8π s −1
t
La elongación de un movimiento vibratorio armónico simple es: x = Asen(ωt + ϕ ) = 0,15sen(8πt + ϕ )
a) La velocidad de un movimiento vibratorio armónico simple es:
dx
v=
= 8π ⋅ 0,15 cos(8πt + ϕ )
dt
Cuando cos(8πt + ϕ ) = ±1 , la velocidad es máxima
v = ±8π ⋅ 0,15 = 1,2π L m / s
1
b) La Energía potencial: E p = kx 2
2
1
La energía cinética: E c = mv 2
2
En el punto de máxima elongación x=A ; v =0 ; Ec=0
1
1
1
E p = kA 2 = ;como k = mω2 E p = mω 2 A 2 = 0,010(8π )2 (0,15)2 = 0,071 J
2
2
2
La frecuencia angular ω =
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35.Una partícula de masa 5 g oscila con un movimiento armónico simple, en torno a un punto O, con una
frecuencia de 12 Hz y una amplitud de 4 cm. En el instante inicial la elongación de la partícula es nula.
a) Si dicha oscilación se propaga según una dirección que tomamos como eje X, con una velocidad de 5 m/s,
escribir la ecuación que representa la onda unidimensional originada.
b) Calcular la energía que transmite la onda generada por el oscilador. Madrid 97
x = A sen(ωt + ϕ ) = 4 ⋅ 10 −2 sen(2π ⋅ 12t + ϕ ) ,
Para t=0 ; x = 0; 0 = 4 ⋅ 10 −2 sen(ϕ ) ; sen ϕ = 0 ; ϕ = 0 ; ϕ =
π
2
;
⎛
x ⎞⎞
⎛
y ( x, t ) = 4 ⋅10 − 2 sen⎜⎜ 24π ⎜ (t − ⎟ ⎟⎟
5 ⎠⎠
⎝
⎝
1
1
La energía E = kA 2 = mω 2 A 2 = 0,0576π 2 J
2
2
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Movimiento Armónico Simple
Física 2ªBachiller
39
.-
La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente
horizontal y armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = 2 s y una amplitud A = 2 cm.
a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Toma origen de
tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación (1p.)
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo
gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.)
⎛ 2π
⎞
x = Asen(ωt + ϕ ) = 0,02sen⎜
t + ϕ ⎟ ; si t=0; x=0; 0 = 0,02senϕ ; ϕ = 0 ó π Rad ; x = 0,02senπt
⎝ 2
⎠
dx
v=
= 0,02 ⋅ π cos πt
dt
t(s)
v(m/s)
0
0,06283
0,1
0,05976
0,2
0,05083
0,3
0,03693
0,4
0,01942
0,5
3,8E-18
0,6
-0,0194
0,7
-0,0369
0,8
-0,0508
0,9
-0,0598
1
-0,0628
1,1
-0,0598
1,2
-0,0508
1,3
-0,0369
1,4
-0,0194
1,5
4,4E-17
1,6
0,01942
b) TTierra = 2π
solmas.doc
T
l
l
1
; TLuna = 2π
; Dividiendo miembro a miembro: Tierra =
: TLuna = 2 ⋅ 6 s
g
g
TLuna
6
6
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40.1) La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y
armónica, en presencia del campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = 2 s y una
amplitud A = 2 cm.
a) Obtén la ecuación de la velocidad de la bolita en función del tiempo, y represéntala
gráficamente. Toma origen de tiempo (t = 0) en el centro de la oscilación. (1 p.)
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde
la intensidad del campo gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.) Zaragoza Junio
2000 v = 0,02 ⋅ π ⋅ cos πt ; 2 6 s Ver http://baldufa.upc.es/
a) La ecuación de un movimiento armónico simple es en general: x = A sen(ωt + ϕ )
La amplitud de la oscilación A = 0,02 m
2π 2π
La pulsación ω =
=
= π s −1
T
2
La ecuación del movimiento armónico es:
x = 0,02 sen(πt + ϕ )
Aplicando las condiciones iniciales para
conocer ϕ.
Si t = 0 ; x = 0 0 = 0,02 sen(π ⋅ 0 + ϕ ) ; ϕ=0
Rad
x = 0,02 sen π ⋅ t
dx
La velocidad es v =
= 0,02 ⋅ π ⋅ cos πt
dt
b) El periodo de oscilación de un péndulo
l
simple T = 2π
g
En la Tierra: 2 = 2π
l
g
En la Luna: T = 2π
l
g
6
Haciendo el cociente entre las dos expresiones:
solmas.doc
2
=
T
l
g
6l
g
=
1
; T =2 6 s ;
6
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41.El cuerpo de la figura tiene masa M = 0,5 kg, está apoyado sobre una superficie horizontal
sin rozamiento y sujeto al extremo de un resorte de constante recuperadora K = 20 N/m.
Partiendo de la posición de equilibrio, x = 0, se desplaza el bloque 5 cm hacia la derecha y
se libera con velocidad inicial nula, de forma que empieza a oscilar armónicamente en
tomo a dicha posición.
a) Calcula el periodo de la oscilación. (0,5 p.)
b) Calcula las energías cinética y potencial de M en los extremos de su oscilación y
cuando pasa por el centro de la misma. (1,5 p.)
c) Durante la oscilación, ¿es constante la energía mecánica de M? ¿Por qué? (0,5 p.)
Zaragoza Septiembre 2000 ; 1s; 5 ⋅ 10−2 sen 2πt + π 2 ó 5 ⋅ 10−2 cos(2πt ) ; Ec(ext)=0;
(
)
Ep(ext)=0,025 J ; Ec(centro) =0,025 J ; Ep(centro) =0 ; Si en ausencia de rozamientos se
conserva la energía mecánica
a) El periodo de oscilación de un muelle
0,5
m
= 2π
=1s
vale: T = 2π
20
k
La ecuación de movimiento del cuerpo, vibratorio
⎛ 2π
⎞
armónico simple es: x = 5 ⋅ 10 − 2 sen⎜
t + ϕ ⎟ ; aplicando
⎝ 1
⎠
las condiciones iniciales: t=0 s ; x = 5 10–2 m ; v = 0 m/s
π
⎞
⎛ 2π
5 ⋅ 10− 2 = 5 ⋅ 10− 2 sen⎜
0 + ϕ ⎟ ; sen ϕ = 0 ; ϕ = rad ;
2
⎠
⎝ 1
π⎞
⎛
x = 5 ⋅ 10− 2 sen⎜ 2πt + ⎟
2⎠
⎝
1 2
1
1
kx ; la cinética Ec = mv 2 y la total (mecánica) Em = kA2
2
2
2
En los extremos de la oscilación, la velocidad del cuerpo es cero, Ec = 0 y todo es energía potencial
2
1
1
Em = kA2 = 20 5 ⋅ 10 − 2 = 0,025 J
2
2
En el centro: la elongación es cero y la Ep =0, toda la energía se manifiesta en forma de cinética(su velocidad es
1
máxima) Ec = Em − Ep = kA2 − 0 = 0,025 J
2
b) La energía potencial vale: Ep =
(
)
c) Si no hay rozamientos, la energía mecánica se conserva
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47.Una partícula de masa m = 10 g oscila armónicamente en la forma x = Asenωt x. En la figura
se representa la velocidad de esta partícula en función del tiempo.
a) Determina la frecuencia angular, ω, y la amplitud, A, de la oscilación. (1 p.)
b) Calcula la energía cinética de m en el instante t1 = 0,5 s, y la potencial en t2 = 0,75 s.
¿Coinciden? ¿Por qué? (1,5 p.) Zaragoza Junio 2001; 2π
Rad 1
; m ; 0,02 J ; 0,02 J
s
π
a) La ecuación de un movimiento armónico simple es: x = Asen(ωt + ϕ )
Derivando se obtiene la ecuación de la velocidad
dx
= A ω cos(ωt + ϕ )
v=
dt
La gráfica es del tipo coseno, por comparación de los valores de la gráfica y de la ecuación :
2π
2π
1
Aω = 2 ; T = 1 s luego A
=2 ; A
=2 A= m
T
π
1
2π
Rad
La pulsación o frecuencia angular: ω =
= 2π
1
s
1
1 2
1
2
b) La E c = mv
E p = kx
ET = E c + E p = kA 2
2
2
2
1
Para t1=0,5 s ; v(1)=-2 m/s ; E c = 10 ⋅ 10 −3 (− 2)2 = 0,02 J
2
f = − kx = m − ω 2 x ; k = mω 2 = 10 ⋅ 10 −3 (2π ) 2 = 4π 2 10 −2
(
)
2
1 2 −2 ⎛ 1 ⎞
4π 10 ⎜ ⎟ = 0,02 J
2
⎝π ⎠
La Energía potencial Ep= ET-Ec = 0,02 – 0,02 = 0
Razonable, si la velocidad es máxima, la energía cinética es máxima y la potencial cero.
Para t2 = 0,75 v(2)=0 Ec(2)=0
Ep = ET- Ec = 0,02 – 0 = 0,02 J
Si la velocidad es cero la energía potencial tienen que ser máxima
Coinciden con el valor de la energía total en instantes en que es máxima una energía y el otro tipo de energía
La energía total ET =
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49.Una partícula de 0,2 kg está sujeta al extremo de un muelle y oscila con una velocidad
v(t ) = 2 sen(2t ) m / s en donde el tiempo se mide en segundos y los ángulos, en radianes. En el
instante inicial, dicha partícula se encuentra en el origen. Calcula las siguientes
magnitudes de la partícula:
a) Posición en t = π/2 s.
b) Energía total.
c) Energía potencial en t = π/8 s.Murcia. 2001
En este problema el centro de la oscilación no coincide con el origen de coordenadas
Si la velocidad es del tipo seno, como se obtiene por derivación de la elongación, esta tendrá que ser del tipo coseno
x = A cos(ωt ) ; aplicando las condiciones iniciales para t=0 x=0; con la ecuación anterior esto es imposible, luego
tendrá que existir un desfase en la elongación: La ecuación del elongación será: x = x 0 + A cos(ωt )
dx d ( x 0 + A cos(ωt )
=
= − Aωsen(ωt )
dt
dt
Por comparación entre la ecuación general de la velocidad: v = Asen(ωt ) y la particular v(t ) = 2 sen(2t ) m / s
ωt = 2t y − Aω = 2
Derivamos para obtener la ecuación general de la velocidad v =
ω = 2 s −1 y A = -1 m
La ecuación de la elongación será: x = x 0 + 1 cos(2t ) ,
aplicando las condiciones iniciales para t=0 x =0
0 = x 0 + 1 cos(2 ⋅ 0) ;
x 0 = −1 m
La ecuación de la elongación definitiva será x = −1 + 1 cos(2t )
La representación gráfica es:
π
⎛π ⎞
⎛ π⎞
será x⎜ ⎟ = −1 + 1 cos⎜ 2 ⋅ ⎟ = −2 m
2
⎝2⎠
⎝ 2⎠
Atención si los cálculos se hacen con calculadora, No olvidarse de poner el selector de ángulos en MODO RADIANES
1
1
1
b) La energía total de la partícula vale: E = kA 2 y como k = mω 2 ; E = mω 2 A 2 = 0,2 ⋅ 2 2 ⋅ 12 = 0,4 J
2
2
2
a) La posición para t= t =
2
1
1
π⎞
⎛
mv 2 = 0,2 ⋅ ⎜ 2sen(2 ⋅ ⎟ = 0,2 J
2
2
8⎠
8
⎝
como la energía total es suma de la potencial mas la cinética: ET = E c + E p ; 0,4 = 0,2 + Ep ; Ep = 0,2 J
c) La energía cinética para t =
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π
vale: E c =
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56
.Cierto muelle, que se deforma 20 cm cuando se le cuelga una masa de 1,0 kg
(figura A), se coloca sin deformación unido a la misma masa sobre una superficie sin
rozamiento, como se indica en la figura B.
En esta posición, se tira de la masa hasta que el muelle se alarga 2,0 cm y,
posteriormente, se suelta.
Despreciando la masa del muelle, calcula:
a) La ecuación de la posición para el movimiento armónico simple resultante.
b) Las energías cinética, potencial elástica y mecánica total cuando ha transcurrido un
tiempo t = (3/4 T), donde T es el período del m.a.s Dato: g = 9,8 m/s2 Cantabria 2002;
3π ⎞
⎛
–3
–3
–3
x = 0,02sen⎜ 7t +
⎟ 9,8 10 J ; 0; 9,8 10 J ; 9,8 10 J
2
⎝
⎠
En módulo: mg = kΔx ; 1 ⋅ 9,8 = k ⋅ 0,2 ; k = 49 N/m
k = mω 2 ; 49 = 1 ⋅ ω 2 ; ω = 7 s −1 ; ω =
2π
2π
2π
;7=
;T =
s
T
T
7
La elongación: x = 0,02 sen(7t + ϕ ) ; para t=0 ; x=+0,02 m 0,02 = 0,02 senϕ ; ϕ =
La Energía cinética: E c =
π
2
Rad ;
π⎞
⎛
x = 0,02 sen⎜ 7t + ⎟
2⎠
⎝
1
mv 2
2
La energía potencial: E p =
1 2
kx
2
La energía mecánica:
1
1
E m = kA 2 = 49 ⋅ (0,02 )2 = 9,8 ⋅ 10 −3 J
2
2
Está en el centro de la oscilación Ep =0 y la Ec es máxima igual a la Energía mecánica.: Ec= 9,8 10–3 J
2
Ep =
⎡
1
⎛ 3 2π π ⎞⎤
49 ⋅ 0,02 ⎢0,02 sen⎜ 7 ⋅ ⋅
+ ⎟⎥ = 0
2
2 ⎠⎦
⎝ 4 7
⎣
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58
Una partícula de 10 g de masa oscila armónicamente según la expresión x = Asen(ωt ) . En la figura se representa la
velocidad de esta partícula en función del tiempo. Calcula:
a) La frecuencia angular ω y la amplitud, A, de la oscilación.
b) La energía cinética de la partícula en el instante t1 = 0,5 s, y la energía potencial en t2 = 0,75 s. (2ptos)
dx
= A ⋅ ω cos(ωt )
dt
Comparamos los valores de la gráfica con la ecuación de la velocidad
a) Derivando la elongación con respecto al tiempo: v =
La velocidad máxima: ω ⋅ A = 2
El periodo, la sinusoide se repite al cabo de 1 s , T= 1s
2π 2π
=
= 2π s −1
La pulsación: ω =
1
T
En la ecuación: ω ⋅ A = 2 , 2π ⋅ A = 2 ; A =
1
π
m
dx 1
= 2π cos(2πt )
dt π
1
La Ec para t=0,5 s , fijándonos en el gráfico tiene que ser máxima, E c = 10 ⋅ 10 −3 (2 cos 2π ⋅ 0,5)2 = 0,02 J
2
b) x =
1
π
sen(2πt ) , derivando obtenemos la velocidad; v =
para el tiempo t2=0,75 s le corresponde una velocidad cero, luego la Ep será máxima
1
KA 2 igual a la Ec máxima 0,02
2
J
Directamente visualizando la gráfica: E c
=
1
10 ⋅ 10 − 3 (− 2 )2 = 0,02 J
2
2
Si hacemos números: E p =
solmas.doc
1 2 1
1
⎛1⎞
kA = mω 2 A 2 = 10 ⋅ 10 −3 ⋅ (2π )2 ⋅ ⎜ ⎟ = 0,02 J
2
2
2
⎝π ⎠
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70.1.- Un resorte de masa despreciable se estira 10 cm cuando se le cuelga una masa de
200 g. A continuación el sistema formado por el resorte y la masa se estira con la mano
otros 5 cm y se suelta en el instante t = 0 s. Calcula:
a) La ecuación del movimiento que describe el sistema.
b) Las energías cinética y potencial cuando la elongación es y = 3 cm. Dato: g = 9,80 ms–2
0,200 ⋅ g = k ⋅ 0,10 ; K= 19,6 N/m
T = 2π
m
0,2
= 2 ⋅π
= 0,63 s
k
19,6
⎛ ⎛ 2π ⎞
⎞
x = 0,05sen⎜⎜ ⎜
⎟ ⋅ t + ϕ ⎟⎟
⎝ ⎝ 0,63 ⎠
⎠
Si t=0 x = –0,05 m ; − 0,05 = 0,05senϕ ;
ϕ=
3π
Rad
2
3π ⎞
⎛
x = 0,05sen⎜ 9,97t +
⎟
2 ⎠
⎝
1
1
E Mecánica = kA 2 = 19,6 ⋅ 0,05 2 = 24,5 ⋅ 10 −3 J
2
2
1 2 1
E p = kx = 19,6 ⋅ 0,03 2 = 8,82 ⋅ 10 −3 J ;
2
2
ECinética = E Mecánica − E Potencial = 15,68 ⋅ 10 −3 J
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61.Un péndulo simple está formado por un hilo de longitud L = 99,2 cm y una bolita que oscila en horizontal con una
amplitud A = 6,4 cm y un periodo T = 2,00 s.
a) Calcula la intensidad del campo gravitatorio local, g.
b) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v(t). Toma origen de tiempo, t =
0, cuando la bolita pasa por su posición de equilibrio. (2ptos)
El periodo de un péndulo simple vale: T = 2π
l
0,092
; 2 = 2π
; g = 9,79 m/s
g
g
b) La ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple es: x = Asen(ωt + ϕ )
⎛ 2π
⎞
t +ϕ⎟ ;
sustituimos la información que nos dan: x = 6,4 ⋅ 10 − 2 sen⎜
2
⎝
⎠
Aplicamos las condiciones iniciales para t= 0 la elongación x=0 0 = 6,4 ⋅ 10 −2 senϕ ; ϕ = 0
La ecuación del MAS es: x = 6,4 ⋅ 10 −2 sen(πt )
Derivando obtenemos la velocidad: v =
dx
6,4 ⋅ 10 − 2 π cos πt
dt
v(m/s)
0,064+pi*cos(pi*t)
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-0,05 0
-0,1
-0,15
-0,2
-0,25
1
2
3
4
t(s)
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79.2.- a) Escribe la ecuación de la elongación de un movimiento vibratorio armónico
simple y comenta el significado físico de las magnitudes que aparecen en dicha ecuación.
(1 p.)
Un bloque de masa M = 0,4 kg desliza sobre una superficie horizontal sin rozamiento con
velocidad vo = 0,5 m/s. El bloque choca con un muelle horizontal de constante elástica k =
10 N/m. Tras el choque, M se queda enganchada en el extremo del muelle.
b) Calcula la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones de M. (1 p.)
c) Determina v representa gráficamente la posición del centro de M en función del tiempo,
x(t), a partir del instante del choque (t = 0). en el sistema de referencia indicado en la
figura. (1 p.)
Zaragoza Septiembre 2005
1 10
≡ 0,8 Hz
2π 0,4
b) El choque de la masa contra el muelle provoca la aparición de las oscilaciones. Igualamos la energía cinética que
tiene la masa con la energía potencial elástica del muelle para hallar su amplitud.
1
1
2
× 0,4 × (0,5) = × 10 A 2
A = 0,1m
2
2
c) Planteamos la ecuación de un movimiento armónico simple sustituimos en ella los datos obtenidos en los apartados
anteriores para hallar el desfase. x = Asen( wt + ϕ ) = 0,1sen(2π 0,8t + ϕ ) = 0,1sen(5t + ϕ )
Tomando en el instante del impacto t=0 , x=0 Sustituimos el primero en nuestra ecuación
0 ≡ 0,1senϕ ; 0 = senϕ ; ϕ ≡ 0º óπ
hallamos su derivada respecto al tiempo: la velocidad. y comprobamos como con este valor a tiempo igual a 0
obtenemos una velocidad mayor que 0, que es lo que nos dice el enunciado del problema.
dx
8π
⎛ 8π ⎞
= v = 0,1 cos⎜
t ⎟ ; t = 0 v > 0 x = 0,1sen5t
dt
5
⎝ 5 ⎠
a) La frecuencia de las oscilaciones la hallamos sustituyendo en la fórmula . f =
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80.- Una partícula de masa 0,1 kg realiza un movimiento armónico simple de las siguientes características:
amplitud, A = 1,7 cm; período, T = 0,2 s. en el instante t = 0 se encuentra en la posición x = –1 cm:
a) Escribe la ecuación del movimiento. Represéntala gráficamente.
Partimos de la ecuación general del movimiento armónico simple y sustituimos las incógnitas con los datos que nos
facilita el enunciado.
x = A cos(ω t + ϕ )
⎛ 2π
⎞
x = 1' 7 cos⎜⎜
0 + ϕ ⎟⎟
⎝ 0' 2
⎠
Para hallar la corrección de fase, se sustituye en
la ecuación para el t = 0 , x = -1 cm. Entonces,
obtenemos la ecuación del movimiento.
x
1,5
1
⎞
⎛ 2π
0 + ϕ ⎟⎟
− 1 = 1' 7 cos⎜⎜
⎠
⎝ 0' 2
1
cos ϕ = −
; ϕ = 2'19 Rad
1' 7
0,5
0
-0,5 0
x
5
10
15
-1
-1,5
Así pues, conseguimos la ecuación general de la elongación.
x = 1' 7 cos(10π t + 2'19)
b) Calcula su velocidad en el instante en que la partícula pasa por el origen, x = 0.
Hayamos la derivada de la ecuación general de la elongación.
v = −1' 7 ⋅10π ⋅ sen(10π t + 2' 19)
Cuando x = 0, sen(10 π t + 2' 19) , es ± 1 , por lo que la velocidad es máxima.
v MAX = 1' 7 ⋅ 10π = 17π
cm
s
c) Calcula su aceleración en ese mismo instante.
Debido a que esta en punto de equilibrio, la aceleración es nula. a = 0
d) Calcula su energía mecánica.
1
1
k A2 = m ω 2 A2
2
2
1
E = 0'1 ⋅ (10π ) 2 ⋅ 0' 017 2
2
E = 0' 014 J
E=
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86.- La bolita de un péndulo simple realiza una oscilación aproximadamente horizontal y armónica, en presencia del
campo gravitatorio terrestre, con un periodo T = 2 s y una amplitud A = 5 cm.
a) Determina y representa gráficamente la velocidad de la bolita en función del tiempo, v (t) . Toma origen de tiempo, t
= 0, cuando la bolita pasa por el centro de su oscilación desplazándose en sentido positivo. (1,5 p.)
b) ¿Cuál sería el periodo de oscilación de este péndulo en la superficie de la Luna, donde la intensidad del campo
gravitatorio es la sexta parte del terrestre? (1 p.) Zaragoza septiembre 2006
a) A partir de la ecuación de un movimiento armónico simple, se sustituyen los valores que se dan en el ejercicio.
x = A × sen(ωt + ϕ )
2π
x = 0,05 × sen ( t + ϕ )
Para t = 0 , la elongación es 0 y la velocidad es positiva. Por lo tanto, se
2
sustituyen los valores en la ecuación y se despeja la fase.
0 = 0.05 × sen(π × 0 + ϕ )
sen ϕ = 0
ϕ =0
ϕ =π
Se obtienen dos posibles soluciones para la fase. Para comprobar cuál es la correcta se realiza la derivada de la
elongación (velocidad) y se calcula para tiempo 0 con ambas correcciones de fase.
v=
dx
= 0.05 × π × cos(π × t + ϕ )
dt
v = 0.05 × π × cos(π ) p 0
v = 0.05 × π × cos(0) f 0
La correción de fase es 0 pues la velocidad debe ser positiva. Asi pues, se obtienen las ecuaciones tanto de la
elongación como de la velocidad.
v = 0.05 × π × cos(π × t )
x = 0.05 × sen(π × t )
En esta gráfica se representa la velocidad de la bolita en función del tiempo:
Tiempo
Velocidad
0
0,15707963
1
-0,15707963
2
0,15707963
3
-0,15707963
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v=0,05cos(t)
0,2
0,15
v(m/s)
0,1
0,05
0
-0,05 0
1
2
3
-0,1
-0,15
-0,2
t(s)
b)
El periodo de oscilación de un péndulo se rige por la expresión:
l
g
T = 2π
La gravedad en la Tierra tiene un valor de 9,8 m/s2 y conocemos el periodo de oscilación del péndulo: 2 s.
Ttierra = 2π
l
=2
9 .8
La gravedad en la Luna es 6 veces menor que en la Tierra por lo que:
Tluna = 2π
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l
9.8
6
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Al dividir ambas expresiones y efectuar las correspondientes operaciones se obtiene el periodo de oscilación de este
péndulo en la Luna:
2
=
Tluna
l
l
9.8 =
9.8
1
l × 9.8
=
9.8 × 6l
6
6
Tluna = 2 6s
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85.Una partícula de masa m, que sólo puede moverse a lo largo de eje OX se sitúa inicialmente (t = 0) en la posición
x = xo y se libera con velocidad nula.
Sobre ella actúa una fuerza, dirigida según en eje OX, F = -kx, donde k es una constante positiva.
a) ¿Qué tipo de movimiento realiza la partícula? Describe analítica y gráficamente cómo depende del
tiempo su posición, x (t), y su velocidad v (t).
b) Para m = 0,1 kg, k = 30 N/m y xo = 5 cm, calcula las energías cinética y potencial de la partícula cuando
pasa por x = 0.
Apartado A:
La partícula realiza un Movimiento Armónico Simple (MAS).
Para empezar debemos tomar de base la ecuación general del MAS: X = A ⋅ cos(ωt + ϕ )
De esta ecuación podemos sacar la ecuación de la velocidad, ya que la ecuación de la velocidad es la derivada de la
elongación, dividido entre la derivada del tiempo:
V =
dx
= − A ⋅ ω ⋅ sen(ωt + ϕ )
dt
Ahora hay que sustituir el tiempo, por su valor correspondiente (t = 0); al igual que la velocidad, ya que para V (0) = 0.
De esta manera se puede encontrar el ángulo
ϕ:
0 = − A ⋅ ω ⋅ sen(ω ⋅ 0 + ϕ )
0 = − A ⋅ ω ⋅ sen(ϕ )
0
= sen(ϕ )
− A⋅ω
0 = sen(ϕ )
⎧0 rad
ϕ=⎨
⎩π rad
Los ángulos han de expresarse siempre en radianes.
De hay obtenemos que
ϕ = 0 rad o ϕ = π rad .
Ahora hacemos referencia al valor de x = xo, y sacamos la siguiente ecuación.
∀ϕ = 0 ⇒ xo = A ⋅ cos(ϕ ) ⇒ xo = A ⋅ cos(0) ⇒ xo = A ⋅ 1 ⇒ xo = A
∀ϕ = π ⇒ xo = A ⋅ cos(ϕ ) ⇒ xo = A ⋅ cos(π ) ⇒ xo = A ⋅ −1 ⇒ xo = − A
Podemos deducir que:
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∀ϕ = 0 ⇒ xo = A
∀ϕ = π ⇒ xo = − A
Ahora se sustituye en la educación general y se obtiene lo siguiente:
∀ϕ = 0 ⇒ X = xo ⋅ cos(ωt + 0)
∀ϕ = π ⇒ X = − xo ⋅ cos(ωt + π )
Apartado B:
Para empezar, se puede deducir que en el punto x = 0 la energía potencial es nula.
Para resolverlo necesitamos acudir a la ecuación de la energía mecánica.
E m = E p + Ec
Em =
1 2
kA
2
Como la energía potencial es nula, podemos deducir esta ecuación:
Ec =
1 2
kA
2
Ahora hay que sustituir por los valores indicados para hallar la energía (en Julios).
1
⋅ 30 ⋅ (5 ⋅ 10 − 2 ) 2
2
E c = 0,0375 J
Ec =
Ep = 0 J
Ec = 0,0375 J
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CRITERIOS GENERALES DE CORRECCIÓN
Para calificar el ejercicio, se valorará positivamente:
Cuestiones teóricas:
La Comprensión de las teorías, conceptos, leyes y modelos físicos.
La capacidad de expresión científica: claridad, orden, coherencia, vocabulario y sintaxis.
Cuestiones prácticas:
El correcto planteamiento y la adecuada interpretación y aplicación de las leyes físicas.
La destreza y habilidad en el manejo de las herramientas matemáticas.
La correcta utilización de magnitudes físicas y de notación científica.
La claridad en los esquemas, figuras y representaciones gráficas
El orden de ejecución, la presentación e interpretación de resultados y la especificación de unidades.
Se valorará negativamente la ausencia de explicaciones, el desorden, la mala presentación o redacción y los errores
ortográficos.
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