4.8. Concepto de base 4.9. Complementos y ejercicios

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Capı́tulo 4. Sistemas generadores
4.8.
Concepto de base
Sea V = {0} un espacio vectorial sobre IK. Un conjunto B = ∅ que sea a la vez
sistema generador y conjunto libre se dice que es una base de V.
Usando técnicas de la Teorı́a Avanzada de Conjuntos se prueba que todo espacio vectorial admite una base, ası́ como que dos posibles bases de un mismo espacio tienen
igual cardinal. En el capı́tulo siguiente probaremos estos hechos si bien únicamente
para espacios de generación finita.
4.9.
Complementos y ejercicios
1. Sea IK un cuerpo conmutativo, sea V un espacio vectorial sobre IK, sea
{u1 , u2 , . . . , ur }, con r ≥ 2, un conjunto finito de vectores de V. Se denominan operaciones elementales sobre los vectores dados a cada uno de los
tres siguientes procesos:
a) Cambio de lugar entre dos vectores ui y uj , con i = j.
b) Sustitución de un vector ui por el λui , con λ = 0.
c) Sustitución de un vector ui por el ui + λuj , con i = j.
Estos procesos se esquematizan, respectivamente, en la forma
ui ↔ uj , ui ↔ λui , ui ↔ ui + λuj .
Razonar que U = < u1 , u2 , . . . , ur > no se altera por aplicación de operaciones
elementales sobre sus generadores.
2. Razonar que el subespacio U = < u1 , u2 , . . . , ur > se conserva por permutación
de sus generadores.
3. Razonar que U = < u1 , u2 , . . . , ur > no se altera si un vector ui se sustituye
por su suma con una combinación lineal de los restantes.
4. Razonar que la primera operación elemental es suplerflua, es decir, que puede
obtenerse mediante una cadena finita de las otras dos.
5. Razonar que la dependencia o independencia lineal de varios vectores u1 , u2 , . . . , ur
no se altera por aplicación a los mismos de operaciones elementales.
6. Dados r vectores u1 , u2 , . . . , ur ∈ IK n , supongamos que
uj = (a1j , a2j , . . . , anj )
y planteemos una relación lineal nula
x1 u1 + x2 u2 + . . . + xr ur = 0
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4.9. Complementos y ejercicios
entre ellos. Operando el primer miembro e igualando al segundo, la ecuación
vectorial de antes se convierte en el sistema lineal homogéneo
⎧
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1r xr = 0
⎪
⎨
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2r xr = 0
...
⎪
⎩
an1 x1 + an2 x2 + . . . + anr xr = 0
el cual posee n ecuaciones y r incógnitas. Estudiar la independencia o dependencia lineal de los vectores equivale entonces a ver si la única solución de este
sistema es x1 = x2 = . . . = xr = 0, o, por el contrario, si hay otras soluciones
posibles. La resolución de este sistema puede hacerse por métodos elementales
(igualación, sustitución, reducción), técnicas equivalentes a la aplicación de lo
que ahora llamamos operaciones elementales. Utilizando estas ideas, decı́dase
la independencia o dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:
a) (0, 1, 2, 3), (2, −2, 3, 3), (0, 0, 3, 1).
b) (1, 2, 1, 2), (0, 4, 1, 3), (2, 0, 1, 1).
c) (1, −1, 3, 2), (0, 1, 2, −1), (2, −3, 4, 5), (1, 0, 4, 1).
d ) (1, −1, 3, 2), (0, 1, 2, −1), (1, 0, 4, 1), (2, −3, 4, 4).
7. Situándonos en el espacio vectorial V = IRIR , comprobar que los dos siguientes
conjuntos de funciones son ligados:
a) {cos2 x, sen2 x, 8}.
b) {cosh2 x, senh2 x, 3}.
I Razonar que la
8. Se considera el espacio vectorial complejo C
I IR = {f : IR → C}.
sucesión de funciones
fn (x) = einx = cos nx + i sen nx
donde x ∈ IR, constituye un conjunto libre.
9. Se considera el espacio vectorial real IRIR = {f : IR → IR}. Razonar que la
sucesión de funciones
1, cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . , cos nx, sen nx, . . .
constituye un conjunto libre.