Consideraciones de robustez aplicadas a la sinton´ıa de

Universidad de Costa Rica
Facultad de Ingenierı́a
Escuela de Ingenierı́a Eléctrica
Consideraciones de robustez aplicadas a la
sintonı́a de controladores PID para el
control regulatorio
Por:
Ronald Castillo Cruz
Ciudad Universitaria “Rodrigo Facio”, Costa Rica
julio de 2013
Consideraciones de robustez aplicadas a la
sintonı́a de controladores PID para el
control regulatorio
Por:
Ronald Castillo Cruz
IE-0499 Proyecto eléctrico
Aprobado por el Tribunal:
Dr. Orlando Arrieta Orozco
Profesor guı́a
Licda. Mercedes Chacón Vásquez
Profesora lectora
Lic. Mauricio Espinoza Bolaños
Profesor lector
Resumen
El presente trabajo corresponde a un estudio sobre la sintonización analı́tica de Chen y Seborg (2002), en la cual no se establece una relación entre
el parámetro de diseño τc , y el ı́ndice de robustez del sistema de control, este
parámetro de diseño corresponde a la relación entre la constante de tiempo de
lazo cerrado del sistema y la constante de tiempo del modelo.
Debido a esta razón, en el presente estudio, a través de la búsqueda de los
valores mı́nimos de τc que proporcionan niveles de robustez establecidos, se
lograron determinar ecuaciones de ajuste que permiten aproximar el valor de
este parámetro de diseño, con el cual es posible garantizar el cumplimiento de
un nivel robustez determinado.
En primera instancia se presenta un marco teórico, que permite establecer
las bases para el desarrollo del trabajo, en el cual se menciona la estructura
del cálculo del ı́ndice de robustez; un acercamiento al método utilizado por
Chen y Seborg (2002), para la obtención de las ecuaciones analı́ticas de los
parámetros del controlador, y la presentación de un trabajo previo por parte
de Alfaro et al. (2012), que abordo la temática para un modelo de respuesta
inversa, dicho artı́culo representa en gran medida, la base para el desarrollo
del presente trabajo.
A lo largo del desarrollo del documento se presentan las ecuaciones de
ajuste obtenidas para cada uno de los casos contemplados en el trabajo, ası́
como una serie de pruebas que pretenden validar los resultados logrados, con
las cuales se obtuvo que, las ecuaciones determinadas a partir de los datos encontrados, establecen de buena forma una relación entre el valor del parámetro
de diseño τc y el ı́ndice de robustez Ms .
v
Índice general
Índice de figuras
ix
Índice de cuadros
xi
Nomenclatura
xiii
1 Introducción
1.1 Alcance del proyecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Metodologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
2 Antecedentes
2.1 Consideraciones de robustez en el sistema de control . . . . . .
2.2 Diseño basado en Sı́ntesis Directa para Rechazo de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Consideraciones de robustez en la sintonización PID, para control regulatorio de procesos de respuesta inversa. . . . . . . . .
5
5
3 Análisis de robustez en el lazo de control,
de estudio
3.1 Normalización de las expresiones . . . . .
3.2 Búsqueda del parámetro de diseño τc . . .
3.3 Modelo de POMTM . . . . . . . . . . . .
3.4 Modelo ISOMTM . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Modelo de SOMTM . . . . . . . . . . . .
3.6 Modelo ISOMC . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Modelo IMTM . . . . . . . . . . . . . . .
5
7
para los modelos
.
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9
9
11
12
15
16
19
19
4 Pruebas y ejemplos
23
4.1 Pruebas con los modelos de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Conclusiones y recomendaciones
33
Bibliografı́a
35
vii
A Ecuaciones de sintonı́a de Chen y Seborg (2002), en su forma normalizada.
37
A.1 Proceso de POMTM, controlador PI. . . . . . . . . . . . . . . . 37
A.2 Proceso de POMTM, controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . 37
A.3 Proceso de IPOMTM, controlador PID. . . . . . . . . . . . . . 37
A.4 Proceso de SOMTM, controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . 38
A.5 Proceso de IPOMC, controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . 38
A.6 Proceso de IMTM, controlador PI. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
A.7 Proceso de IMTM, controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . . 38
B Método de identificación 123c,(Alfaro, 2008)
39
B.1 Identificación de un modelo de POMTM . . . . . . . . . . . . . 39
B.2 Identificación de un modelo de SOMTM . . . . . . . . . . . . 40
R para la búsqueda de
C Programas elaborados en MATLAB,
los valores mı́nimos de τc
C.1 Búsqueda de τc para el modelo de POMTM con controlador PI
C.2 Búsqueda de τc para el modelo de POMTM con controlador PID
C.3 Búsqueda de τc para el modelo IMTM con controlador PI . . .
C.4 Búsqueda de τc para el modelo IMTM con controlador PID . .
C.5 Búsqueda de τc para el modelo de ISOMTM con controlador PID
C.6 Búsqueda de τc para el modelo de ISOMC con controlador PID
C.7 Búsqueda de τc para el modelo de SOMTM con controlador PID
viii
41
41
41
42
42
43
43
43
Índice de figuras
2.1
Sistema de control realimentado,(Alfaro et al., 2012). . . . . . . . .
3.1
3.2
Comportamiento del Ms , con respecto a la variación de τc . . . . . 13
Comportamiento del tiempo derivativo Td del controlador, con respecto a la variación de τc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo de
POMTM, con controlador PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para una planta POMTM,
con controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para una planta ISOMTM,
con controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Comportamiento del Ms para el modelo de SOMTM. . . . . . . . . 16
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para una planta SOMTM,
Msd ≤2,0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo de
SOMTM, Ms≤1,8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo SOMTM,
Ms≤1,6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo de
SOMTM, Ms≤1,4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo ISOMC,
con controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Comportamiento del Ms en un modelo IMTM con controlador PID,
con respecto a la variación de τc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Comportamiento del tiempo derivativo Td , para un modelo IMTM,
con respecto a la variación de τc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
4.1
4.2
4.3
4.4
Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito
modelo POMTM, con controlador PI. . . . .
Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito
modelo POMTM, con controlador PID. . . .
Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito
modelo ISOMTM, con controlador PID. . . .
Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito
modelo ISOMC, con controlador PID. . . . .
ix
de estudio, para un
. . . . . . . . . . . .
de estudio, para un
. . . . . . . . . . . .
de estudio, para un
. . . . . . . . . . . .
de estudio, para un
. . . . . . . . . . . .
6
24
25
26
27
4.5
4.6
4.7
Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito de estudio, para un
modelo SOMTM, con controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . .
Respuesta en el tiempo de un sistema de control con un modelo de
POMTM y un controlador PI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Respuesta en el tiempo de un sistema de control con un modelo de
SOMTM y un controlador PID, para un Ms ≤2,0. . . . . . . . . . .
B.1 Curva de reacción del proceso,(Alfaro, 2008)
x
. . . . . . . . . . . .
28
30
31
39
Índice de cuadros
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Cuadro resumen de los modelos de estudio, y sus respectivas funciones de transferencia de lazo cerrado, de manera normalizada. . .
Valores de los coeficientes ai . Modelo de POMTM (PI/PID) . . .
Valores de los coeficientes ai . modelo ISOMTM, PID. . . . . . . .
Valores de los coeficientes ai . Modelo de SOMTM, PID. . . . . . .
Valores de los coeficientes ai . Modelo ISOMC, PID . . . . . . . .
Valores de τc mı́nimos para el modelo IMTM, con controlador
PI/PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parámetros del controlador PI/PID, valor de parámetro del diseño
τc , e ı́ndice de robustez, modelo de POMTM. . . . . . . . . . . . .
Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo ISOMTM. . . . . . . . . . . . .
Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo ISOMC. . . . . . . . . . . . . .
Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo de SOMTM. . . . . . . . . . .
Parámetros del controlador PI y PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo IMTM. . . . . . . . . . . . . .
Ejemplo 1-Parámetros del controlador PI, valor de parámetro del
diseño τcmin , e ı́ndice de robustez, planta de POMTM. . . . . . . .
Ejemplo 2-Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del
diseño τcmin , e ı́ndice de robustez, planta SOMTM . . . . . . . . .
xi
10
14
15
18
20
20
24
25
26
28
29
30
31
Nomenclatura
a
razón de contantes de tiempo del modelo.
ai
coeficiente de composición de los polinomios de ajuste.
b
posición relativa del cero en el semiplano derecho del modelo.
C(s)
función de transferencia del controlador.
d(s)
entrada para la perturbación.
DS − d
sı́ntesis directa para perturbaciones.
IM T M
integrador más tiempo muerto.
ISOM C
integrador de segundo orden más un cero.
ISOM T M
integrador de segundo orden más tiempo muerto.
L
tiempo muerto del modelo.
Myd (s)
función de transferencia de lazo cerrado para perturbaciones.
Ms
sensibilidad máxima.
Msd
sensibilidad máxima deseada.
Msrm
sensibilidad máxima resultante del modelo.
Msrp
sensibilidad máxima resultante del proceso.
Pm (s)
función de transferencia del modelo.
P (s)
función de transferencia del proceso.
P OM T M
primer orden más tiempo muerto.
r(s)
entrada de referencia.
SOM T M
segundo orden más tiempo muerto.
T
constante de tiempo del modelo.
xiii
τc
relación entre la constante de tiempo de lazo cerrado y la
constante de tiempo del modelo.
τcmin
relación entre la constante de tiempo de lazo cerrado y la
constante de tiempo del modelo obtenida de la ecuación
de ajuste.
τo
tiempo muerto normalizado.
u(s)
señal de salida del controlador.
y(s)
señal de salida del proceso.
xiv
1
Introducción
Gracias al profundo anhelo que ha imperado en la humanidad en las últimas
décadas, de poder controlar y automatizar actividades comerciales e industriales, han surgido novedosas ideas que pretenden satisfacer este deseo. Sin
lugar a dudas una de las ideas que más éxito ha tenido, es la creación de un
algoritmo de control PI o PID.
El cómo seleccionar los valores correspondientes a los parámetros de ese
controlador PI o PID, ha sido objeto de estudio de diversos profesionales en el
área, asimismo como de laboratorios de investigación, que elaboran métodos
para configurar correctamente el controlador, llamados métodos o reglas de
sintonización.
En el caso que compete al presente trabajo, se basó en una regla de sintonización analı́tica llamada, Diseño basado en Sı́ntesis Directa para Rechazo de
Perturbaciones, (Chen y Seborg, 2002), en donde definen un único parámetro
de diseño τc , el cual corresponde a la relación entre la constante de tiempo
de lazo cerrado del sistema de control, y la constante de tiempo del modelo,
el cual tiene una influencia directa en la velocidad y la robustez del sistema
(Chen y Seborg, 2002).
Sin embargo, no se establece una relación entre este parámetro de diseño τc
y la robustez del lazo de control, por lo que siendo este un punto tan importante
para el control automático, conduce a pensar que es necesario poder establecer
esta conexión, y ası́ lograr complementar la regla de sintonı́a.
En el presente trabajo se formula una relación entre el ı́ndice de robustez
Ms del lazo de control, con el parámetro de diseño τc , creando ası́ un criterio
para determinar el valor de τc .
1.1
Alcance del proyecto
Este trabajo pretende establecer un criterio de escogencia del parámetro de diseño τc del método de sintonización analı́tica Diseño basado en Sı́ntesis Directa
para Rechazo de Perturbaciones(Chen y Seborg, 2002), basado en la robustez
del lazo de control, a través del ı́ndice de robustez Ms , abarcando una serie de
modelos de planta correspondientes a plantas estables e integrantes, barriendo
un rango de valores de Ms ∈[2,0, 1,8, 1,6, 1,4].
1
2
1 Introducción
1.2
Objetivos
Objetivo general
Establecer una relación entre el parámetro de diseño τc de la sintonı́a de Chen
y Seborg (2002) y una determinada consideración de robustez para el sistema
de control.
Objetivos especı́ficos
Para el desarrollo de este proyecto se establecieron los siguientes objetivos:
• Determinar la relación entre el parámetro de diseño τc de la regla de
sintonización de Chen y Seborg (2002), con los valores de ı́ndice de robustez Ms ∈[2,0, 1,8, 1,6, 1,4], para modelos de planta de primer orden
más tiempo muerto, integrantes más tiempo muerto, integrantes de segundo orden más tiempo muerto, integrantes de segundo orden con un
cero, segundo orden sobreamortiguada más tiempo muerto.
• Obtener una ecuación general que relacione la velocidad de respuesta de
lazo cerrado, con el valor de ı́ndice de robustez seleccionado, para cada
planta.
• Verificar el cumplimiento de la robustez seleccionada para el conjunto
de plantas, mediante pruebas de evaluación de rendimiento y robustez.
1.3
Metodologı́a
El desarrollo del trabajo incluyó los siguientes pasos y procedimientos, listados
en secuencia:
1. Manipulación algebraica de las ecuaciones de la regla de sintonización
Diseño basado en Sı́ntesis Directa para Rechazo de Perturbaciones(Chen
y Seborg, 2002), con el objetivo de normalizarlas y poder trabajar con
las mismas.
2. Cálculo del ı́ndice de robustez para un lazo de control utilizando la regla de sintonización Diseño basado en Sı́ntesis Directa para Rechazo de
Perturbaciones (Chen y Seborg, 2002).
3. Realizar la búsqueda del valor del parámetro de diseño τc de la regla de
sintonización, Diseño basado en Sı́ntesis Directa para Rechazo de Perturbaciones(Chen y Seborg, 2002) para cada planta establecida según
sea el valor del ı́ndice de robustez seleccionado.
1.3. Metodologı́a
3
4. Obtenidos ya los datos graficarlos, y ajustarlos a ecuaciones para cada
caso.
5. Realizar las pruebas pertinentes con el objetivo de validar los datos encontrados y las ecuaciones de ajuste creadas.
Cada uno de los puntos comprendidos entre los números 2 y 5, se llevaran a
R
cabo a través de la creación de programas y funciones en MATLAB.
2
Antecedentes
2.1
Consideraciones de robustez en el sistema de
control
La estabilidad en los lazos de control es un tema de vital importancia en el
área del control automático. La estabilidad absoluta corresponde a un punto
indispensable, sin embargo el análisis de estabilidad relativa lleva consigo la
estabilidad del sistema ante pequeñas variaciones de las caracterı́sticas dinámicas de la planta, con respecto al modelo utilizado para el proceso (Alfaro y
Vilanova, 2010).
Esta estabilidad relativa, o bien sea robustez del lazo de control, ha sido
medida tradicionalmente a través del margen de ganancia y del margen de fase
del sistema (Alfaro y Vilanova, 2010). Actualmente se utiliza para establecer
el grado de robustez, la sensibilidad máxima Ms , definida en (3.1) (Alfaro y
Vilanova, 2010).
Ms =
˙ máx |S(jω)| = máx
1
.
|1 + C(jω)P (jω)|
(2.1)
El valor que es adecuado para este ı́ndice, se encuentra comprendido en el
ámbito de 2,0 a 1,2, y representa una ventaja ya que corresponde a un único
ı́ndicador, además de que garantiza un margen de ganancia y un margen de
fase mı́nimos (Alfaro y Vilanova, 2010).
2.2
Diseño basado en Sı́ntesis Directa para
Rechazo de Perturbaciones
El método de sintonización analı́tica propuesto por Chen y Seborg (2002), está
basado principalmente en el método conocido como Sı́ntesis Directa, en el cual
se obtiene una expresión analı́tica para el controlador, obtenida a partir del
modelo del proceso y de una respuesta deseada de la función transferencia de
lazo cerrado (Chen y Seborg, 2002).
Esta función de transferencia de lazo cerrado, representa el comportamiento del sistema de control, ante cambios en la perturbación (Chen y Seborg,
2002), lo que conduce a obtener controladores con una buena respuesta ante
la presencia de una perturbación en el sistema de control.
5
6
2 Antecedentes
Figura 2.1: Sistema de control realimentado,(Alfaro et al., 2012).
Chen y Seborg (2002), realizan una breve comparación de la Sı́ntesis Directa con el método del Modelo de Control Interno, el cual está estrechamente
relacionado con el enfoque de la Sı́ntesis Directa. Chen y Seborg (2002) establecen que “al igual que la Sı́ntesis Directa, el Modelo de Control Interno, se
basa en un modelo del proceso, y se refiere a los ajustes del controlador según
sean los parámetros de modelo de la planta de manera directa”.
El Control con Modelo Interno (IMC), tiene la ventaja de que toma en
consideración la incertidumbre del modelo del proceso controlado, además de
que proporciona soluciones al compromiso entre el desempeño y la robustez
del sistema de control, de manera más fácil (Chen y Seborg, 2002).
Sin embargo, para los procesos controlados que cuentan con una relación
pequeña del tiempo muerto entre la constante de tiempo, los métodos de
Sı́ntesis Directa y el de IMC, proporcionan controladores PI/PID, que generan
que la respuesta del sistema sea lenta ante perturbaciones (Chen y Seborg,
2002).
Chen y Seborg (2002), proponen un método de sintonización analı́tica de
controladores PI/PID, llamado, Diseño basado en Sı́ntesis Directa para Rechazo de Perturbaciones, (DS − d), en el cual realizaron una modificación al
planteamiento utilizado en la Sı́ntesis Directa, orientando esta al rechazo de
perturbaciones.
A continuación se muestra el método utilizado por Chen y Seborg (2002),
para la obtención de los controladores PI/PID, en la sı́ntesis DS − d.
Si se considera el diagrama de bloques mostrado en la figura 2.1, es posible
obtener la función de transferencia de lazo cerrado para perturbaciones que se
muestra en (2.2),
Myd (s) =
P (s)
.
1 + P (s)C(s)
(2.2)
Reorganizando (2.2), es posible obtener una expresión para el controlador
la cual se muestra en (2.3),
C(s) =
1
1
−
.
Myd (s) P (s)
(2.3)
2.3. Consideraciones de robustez en la sintonización PID, para control
regulatorio de procesos de respuesta inversa.
7
De esta manera tomando una función de transferencia adecuada para la
función de transferencia de lazo cerrado para perturbaciones, es posible determinar las ecuaciones analı́ticas de los controladores PI/PID, según sea el
modelo de la planta tomado.
Es importante mencionar que cada una de las ecuaciones de sintonı́a de
los controladores, han quedado en términos de los parámetros del modelo de
la planta, y de un único parámetro de diseño τc , el cual tiene un efecto directo
en la velocidad de respuesta y la robustez, del lazo de control.
2.3
Consideraciones de robustez en la
sintonización PID, para control regulatorio de
procesos de respuesta inversa.
Alfaro et al. (2012), presentaron un trabajo en el cual, haciendo uso de las
ecuaciones de sintonización analı́tica, Diseño basado en Sı́ntesis Directa para
Rechazo de Perturbaciones (Chen y Seborg, 2002), establecen una relación
entre el parámetro de diseño τc , y el ı́ndice de robustez Ms del lazo de control.
En dicho trabajo llevaron a cabo una búsqueda de los valores mı́nimos de
τc , para un modelo de respuesta inversa, con los cuales se cumpliera con un
ı́ndice de robustez del sistema de control Msd ≤2,0, y obteniendo ası́ el mayor
desempeño del lazo de control.
A raı́z de los resultados obtenidos, establecieron una ecuación que permite calcular el valor mı́nimo del parámetro de diseño τc , cumpliendo con la
consideración de robustez ya mencionada.
La ecuación obtenida en (Alfaro et al., 2012), se presenta en (2.4), y expresa
la relación encontrada entre el parámetro de diseño, y los parámetros a y b del
modelo respuesta inversa, correspondientes a la relación entre las constantes
de tiempo del modelo, y la posición relativa del cero en el semiplano derecho
respectivamente.
τcmin = 0,05 + 0,75a + 0,475b − 0,1875ab.
(2.4)
Este trabajo representa la base práctica para la obtención de los resultados presentados en el presente documento, debido a que se aplicó a misma
metodologı́a para algunos otros modelos contemplados en la sı́ntesis DS − d .
3 Análisis de robustez en el lazo
de control, para los modelos de
estudio
3.1
Normalización de las expresiones
En la sintonización analı́tica de Chen y Seborg (2002), se establece la sintonı́a
de controladores PI o PID, para una serie de modelos de planta, entre las cuales están las comprendidas en este trabajo, sin embargo, dichas expresiones,
tanto los modelos de planta como las funciones de transferencia de lazo cerrado y las expresiones para los parámetros del controlador, no se encuentran
normalizadas, por lo que en la presente sección, se busca establecer de forma
normalizada, todas las expresiones necesarias para el estudio.
En primera instancia se tiene el modelo del proceso de POMTM, el cual
se describe en (3.1),
P (s) =
Ke−Ls
,
Ts + 1
(3.1)
aplicando una normalización del tipo dado en (3.2), para la cual el tiempo
muerto normalizado queda definido según (3.3), es posible representar la expresión (3.1), de la forma mostrada en (3.4),
ŝ = T s,
(3.2)
L
.
T
(3.3)
τo =
P (s) =
Ke−τo ŝ
,
ŝ + 1
(3.4)
Según la regla de sintonı́a DS-d, la función de transferencia de lazo cerrado
establecida para el lazo de control con un controlador PI y una planta de
POMTM, es la que está dada por (3.6); por otro lado para una planta del
mismo tipo pero, con un controlador PID, la función de transferencia de lazo
cerrado es la que se muestra en (3.7), de igual manera utilizando la expresión
para el tiempo muerto normalizado presentada en (3.3), y utilizando (3.5),
9
10 3 Análisis de robustez en el lazo de control, para los modelos de estudio
Cuadro 3.1: Cuadro resumen de los modelos de estudio, y sus respectivas
funciones de transferencia de lazo cerrado, de manera normalizada.
Algoritmo de control
Modelo
Myd (s)
PI
Ke−τo ŝ
ŝ+1
Ti
ŝe−τo ŝ
Kc T
(τc ŝ+1)2
P ID
Ke−τo ŝ
ŝ+1
P ID
KT e−τo ŝ
ŝ(ŝ+1)
P ID
KT (−bŝ+1)
ŝ(ŝ+1)
P ID
Ke−τo s
(ŝ+1)(aŝ+1)
Ti
ŝe−τo ŝ
Kc T
(τc ŝ+1)3
PI
KLe−ŝ
ŝ
Ti
ŝe−ŝ
Kc L
(τc ŝ+1)2
P ID
KLe−ŝ
ŝ
Ti
ŝ(1+ 2ŝ )e−ŝ
Kc L
(τc ŝ+1)3
Ti
Kc T
ŝ(1+ τ2o s)e−τo s
(τc ŝ+1)3
Ti
ŝe−τo ŝ
Kc T
(τc ŝ+1)3
Ti
Kc T
ŝ(−bŝ+1)
(τc ŝ+1)3
para el parámetro de diseño τc , es posible obtener dichas expresiones de manera
normalizada.
τc =
Myd (s) =
Myd (s) =
Tc
,
T
(3.5)
Ti
−τo ŝ
Kc T ŝe
,
(τc ŝ + 1)2
Ti
Kc T ŝ(1
τo
−τo s
2 s)e
.
+ 1)3
+
(τc ŝ
(3.6)
(3.7)
Ahora bien, utilizando el procedimiento mostrado anteriormente es posible
determinar la expresiones normalizadas para los modelos ISOMTM, ISOMC
y SOMTM.
Para un modelo integrador más tiempo muerto, IMTM, como el que se
muestra en (3.8), se realiza una normalización utilizando el parámetro mostrado en (3.9). Además, el parámetro de diseño τc , para este tipo de modelo, se
3.2. Búsqueda del parámetro de diseño τc
11
define según (3.10), quedando ası́ normalizado con respecto al valor del tiempo
muerto.
Todas las expresiones normalizadas se presentan en el cuadro resumen 3.1,
con su respectiva función de transferencia de lazo cerrado.
P (s) =
Ke−Ls
,
s
ŝ = Ls,
(3.8)
(3.9)
Tc
.
(3.10)
L
Utilizando la misma metodologı́a descrita anteriormente, se obtienen las
ecuaciones normalizadas para los parámetros del controlador, que se muestran
en el apéndice A.
τc =
3.2
Búsqueda del parámetro de diseño τc
Dada la definición para el ı́ndice de robustez presentada en (3.1), se procedió
a determinar los valores para el parámetro de diseño τc , que garantizaren el
nivel de robustez deseado para el lazo de control.
Al contar con las ecuaciones correspondientes normalizadas, obtenidas en
la sección anterior, se procedió a realizar un análisis para cada uno de los
modelos, tomando en cuenta que para el caso del modelo de POMTM y el
IMTM, el análisis se hizo utilizado tanto un controlador PI, como un PID.
La búsqueda consistió, en que, partiendo de un valor inicial de τc , lo suficientemente bajo, se calculó el valor de los parámetros del controlador, utilizando la regla de sintonı́a de Chen y Seborg (2002), de esta manera junto
con el modelo en estudio, se determinó el valor de robustez inicial, con este
valor como referencia se comenzó a incrementar el valor de τc , hasta que la
robustez cumpliera con la especificación determinada. Para todos los modelos
de estudio, se buscó cumplir con un Msd ∈[2,0, 1,8, 1,6, 1,4].
De esta manera se lograron obtener los valores de τc mı́nimos para cada uno
de los casos de estudio, cada uno de estos valores de τc , proporcionan la mayor
velocidad de respuesta del sistema de control garantizando el cumplimiento
del nivel de robustez deseado.
Tras obtener todos los valores de τc requeridos, se procedió a gratificar los
resultados, esto con el objetivo de observar el comportamiento de los datos,
para ası́ determinar el tipo de ecuación de ajuste que se les aplicarı́a.
Debido a que los datos, presentaron un comportamiento lo suficientemente
uniforme, se optó por utilizar una ecuación de ajuste polinomial; inicialmente
12 3 Análisis de robustez en el lazo de control, para los modelos de estudio
se probó con una expresión de segundo orden, pero esta no fue suficiente para
representar el comportamiento de los datos, por lo que se cambio por una de
tercer orden.
La obtención de cada una de estas curvas de ajuste se realizó utilizando el
R Curve Fitting Toolbox.
MATLAB
3.3
Modelo de POMTM
Para el modelo de POMTM, con controlador PI, el estudio se realizó variando
el valor del tiempo muerto normalizado τo , en un rango de 0,1 a 2,0, encontrando ası́ los valores del parámetro de diseño τc mı́nimos, correspondientes a
cada valor de τo .
Para el caso del mismo modelo, pero con un controlador PID, el estudio
preliminar se realizó de igual forma variando el tiempo normalizado τo en el
rango de 0,1 a 2,0, sin embargo, se pudo identificar un problema con los valores
de τo de 0,1 a 0,4, y de 1,7 a 2,0.
La situación que se presentó, consistió en que para estos valores de τo , el
rango de los posibles valores de τc , que permitı́an obtener un valor de Ms ≤1,4,
fue de 0,45 a 0,49, esto para un τo =0,1, tal como se puede observar en la
figura 3.1, sin embargo, tal como se ve en la figura 3.2, estos valores de τc ,
proporcionan tiempos derivativos negativos, por lo que no se pueden considerar
como válidos.
Esto sucede a lo largo del rango de τo de 0,1 a 0,4, y de 1,7 al 2,0, como
se menciono anteriormente.
La posible razón para este comportamiento, es que debido para valores
muy pequeños de τo , el modelo tiende a comportarse como uno de primer
orden sin retardo, para el cual es suficiente utilizar un controlador PI, lo que
genera que la regla de sintonización DS − d, tiende a reducir a cero el valor del
tiempo derivativo, al efectuarse esto y no existir una restricción para el valor
del tiempo derivativo, este comienza a tomar valores por debajo de cero.
Dada la razón presentada en los párrafos anteriores, para estudio completo
del modelo de POMTM con un controlador PID, el intervalo de τo , para el
cual se obtuvieron los valores de τc mı́nimos, se definió de 0,5 a 1,6, ya que en
este intervalo, no se presentó ningún inconveniente con la regla de sintonı́a.
Resultados
Los resultados obtenidos para el estudio con un controlador PI, y el modelo
POMTM, se presentan en la figura 3.3, y corresponden a los valores mı́nimos
de τc , que hacen que el sistema de control cumpla con el ı́ndice de robustez
establecido.
3.3. Modelo de POMTM
13
2
Ms
1.8
1.6
τ =0,1
o
1.4
1.2
1
0.1
0.2
0.3
0.45 0.49
0.6
τ
0.7
0.8
0.9
1
Figura 3.1: Comportamiento del Ms , con respecto a la variación de τc .
0
−5
−10
τ =0,1
o
T
d
−15
−20
−25
−30
−35
−40
0.450.49
τc
0.9
Figura 3.2: Comportamiento del tiempo derivativo Td del controlador, con
respecto a la variación de τc .
2.5
2
τc
1.5
1
Ms=2,0
Ms=1,8
Ms=1,6
Ms=1,4
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.3: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo de
POMTM, con controlador PI.
14 3 Análisis de robustez en el lazo de control, para los modelos de estudio
1.4
1.3
1.2
1.1
τc
1
0.9
0.8
0.7
Ms=2,0
Ms=1,8
Ms=1,6
Ms=1,4
0.6
0.5
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
o
Figura 3.4: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para una planta
POMTM, con controlador PID.
Cuadro 3.2: Valores de los coeficientes ai . Modelo de POMTM (PI/PID)
M odelo/Controlador
Msd
a0
a1
a2
a3
P OM T M/
PI
2,0
1,8
1,6
1,4
0,0796
0.1091
0.1462
0.1686
1.0650
1.1990
1.4190
2.0900
-0.5878
-0.6392
-0.7474
-1.4200
0,1353
0.1491
0.1862
0.4869
P OM T M/
P ID
2,0
1,8
1,6
1,4
0,0772
0,0694
0,0846
0,1601
0,8714
0,9709
1,0690
1,1680
-0,2199
-0,2804
-0,3605
-0,5108
0,0298
0,0453
0,0751
0,1645
Por otra parte, en el análisis con un controlador PID, para el mismo modelo, se lograron obtener los resultados presentados en la figura 3.4.
A partir de los resultados mostrados anteriormente, fue posible determinar
una ecuación de la forma mostrada en (3.11), que permite encontrar el valor
τcmin que garantiza el cumplimiento del nivel de robustez dado.
Los valores correspondientes a los coeficientes ai , que componen a (3.11)
para el caso de POMTM, se presentan en el cuadro 3.2.
τcmin = a0 + a1 τo + a2 τo2 + a3 τo3 .
(3.11)
3.4. Modelo ISOMTM
15
5
4.5
4
3.5
τc
3
2.5
2
1.5
Ms=2.0
Ms=1.8
Ms=1.6
Ms=1.4
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.5: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para una planta
ISOMTM, con controlador PID.
Cuadro 3.3: Valores de los coeficientes ai . modelo ISOMTM, PID.
3.4
Msd
a0
a1
a2
a3
2,0
1,8
1,6
1,4
0,1877
0,2780
0,4153
0,6561
3,9860
4,1570
4,3550
4,5870
-1,7420
-1,9320
-2,1800
-2,5710
0,3410
0,3926
0,4640
0,6025
Modelo ISOMTM
Ahora bien, para el caso del modelo ISOMTM, se realizó la misma variación
del tiempo muerto normalizado, efectuada para el modelo de POMTM con un
controlador PI. Para este modelo, la regla de sintonı́a de Chen y Seborg (2002),
establece la sintonización de un controlador PID para el lazo de control.
En este caso, dado el intervalo de variación para τo , no se presentaron
inconvenientes con la regla de sintonı́a.
Resultados
Los resultados logrados corresponden a los presentados en la figura 3.5, con
los cuales se determinó una ecuación de ajuste como la mostrada en (3.11),
para la cual los valores de sus coeficientes se presentan en el cuadro 3.3.
16 3 Análisis de robustez en el lazo de control, para los modelos de estudio
2.5
τo =1,0
2
M
s
τo =1,1
1.8
τo =1,2
1.6
1.4
τo =1,5
τo =1,4
0.5
1
1.5
τc
2
2.5
Figura 3.6: Comportamiento del Ms para el modelo de SOMTM.
3.5
Modelo de SOMTM
Considerando ahora el modelo de SOMTM sobreamortiguado, se escogió un
ámbito de variación del tiempo muerto normalizado τo , de 0.1 a 0.9, y un
intervalo de variación de 0,20 a 1,0 para el parámetro a, correspondiente a la
relación entre las constantes de tiempo del modelo.
Para este caso en particular se determinó que para valores de τo superiores
a 0,9, no era posible obtener un valor de Ms ≤1,4, tal como lo demuestra la
figura 3.6, por lo que para poder obtener ecuaciones uniformes para cada uno
de los valores de Ms estudiados, se optó por limitar el espacio de variación
para τo .
Resultados
En este caso se obtuvieron un conjunto de resultados para cada valor de Msd ,
por lo que en la figura 3.7, se presentan los resultados obtenidos para un
Msd ≤2,0.
Por otro lado, al realizar el estudio para un Msd ≤1,8, se lograron obtener
los resultados presentados en la figura 3.8, mientras que en la figura 3.9, los
resultados corresponden a un Msd ≤1,6, y en la figura 3.10, corresponden a
un Msd ≤1,4, estos resultados corresponden a los valores de τc mı́nimos, que
permiten obtener el nivel de robustez deseado según sea el valor del parámetro
a.
A partir de estos resultados, y al igual que para los modelos de POMTM e
ISOMTM, fue posible obtener una ecuación como la mostrada en (3.11), cuyos
valores de ai , se presentan en cuadro 3.4.
3.5. Modelo de SOMTM
17
0.7
τ
c
0.6
0.5
0.4
a=0,20
a=0,40
a=0,60
a=0,80
a=1,0
0.3
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
τ
0.6
0.7
0.8
0.9
o
Figura 3.7: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para una planta
SOMTM, Msd ≤2,0.
0.8
0.7
τc
0.6
0.5
a=0,20
a=0,40
a=0,60
a=0,80
a=1,0
0.4
0.3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
τo
0.6
0.7
0.8
0.9
Figura 3.8: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo de
SOMTM, Ms≤1,8.
0.9
0.8
τc
0.7
0.6
0.5
a=0,20
a=0,40
a=0,60
a=0,80
a=1,0
0.4
0.3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
τ
0.6
0.7
0.8
0.9
o
Figura 3.9: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo
SOMTM, Ms≤1,6.
18 3 Análisis de robustez en el lazo de control, para los modelos de estudio
1.4
1.2
τ
c
1
0.8
a=0,20
a=0,40
a=0,60
a=0,80
a=1,0
0.6
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
τo
0.6
0.7
0.8
0.9
Figura 3.10: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo de
SOMTM, Ms≤1,4.
Cuadro 3.4: Valores de los coeficientes ai . Modelo de SOMTM, PID.
Msd
a
a0
a1
a2
a3
2,0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,1248
0,1543
0,1734
0.1903
0,1741
0,8462
1,2260
1,4830
1,6200
1,9280
-0,8110
-1,4830
-1,8450
-1.9310
-2,3920
0,3704
0,7071
0,8754
0.8754
1,1280
1,8
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,1421
0,1910
0,2029
0,2094
0,2139
0,8830
1,2540
1,6110
1,8940
2,0520
-0,7110
-1,5280
-2,0470
-2,4440
-2,5250
0,3030
0,7828
1,0100
1,1950
1,1780
1,6
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,1712
0,2344
0,2515
0,2753
0,2833
0,9294
1,3300
1,7580
1,9480
2,1810
-0,4556
-1,5240
-2,2810
-2,4460
-2,7270
0,1263
0,7744
1,1780
1,2040
1,3130
1,4
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,02437
0,3166
0,3416
0,3915
0,4087
2,5110
1,5190
1,8770
1,9750
2,2460
-0,6984
-2,7620
-2,4890
-2,4320
-2,7800
-0,7407
2,8370
1,4230
1,2540
1,3800
3.6. Modelo ISOMC
19
25
20
τc
15
10
Ms=2.0
Ms=1.8
Ms=1.6
Ms=1.4
5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
b
Figura 3.11: Valores mı́nimos del parámetro de diseño τc , para un modelo
ISOMC, con controlador PID
3.6
Modelo ISOMC
Para un modelo ISOMC, la variación efectuada para realizar el estudio, corresponde a la del parámetro b, en un ámbito de 0,1 a 2,0, recordando que este
parámetro representa la posición relativa del cero del modelo en el semiplano
derecho. En este caso, para cada valor de b se determinó el valor mı́nimo del
parámetro de diseño τc , que cumpliera con cada uno de las condiciones de
robustez.
Resultados
Tras realizar la búsqueda de los valores de τc , se obtuvieron los resultados
mostrados en la figura 3.11, a partir de los cuales, se determinó una ecuación
que se representa en (3.12), la cual relaciona el valor de τcmin , con el valor
del parámetro b.
τcmin = a0 + a1 b + a2 b2 + a3 b3 .
(3.12)
El valor de los coeficientes que conforman la ecuación (3.12), para cada
ı́ndice de robustez, se encuentran en el cuadro 3.5.
3.7
Modelo IMTM
En el modelo IMTM, al igual que para la planta de POMTM, la sintonización
analı́tica de Chen y Seborg (2002), establece la sintonı́a de controladores PI y
PID, para este tipo de modelo.
En este caso, debido a la normalización aplicada para este modelo, no es
necesaria la variación de ningún parámetro de la planta, por lo que, únicamente
20 3 Análisis de robustez en el lazo de control, para los modelos de estudio
Cuadro 3.5: Valores de los coeficientes ai . Modelo ISOMC, PID
Msd
a0
a1
a2
a3
2,0
1,8
1,6
1,4
-0,1450
0,2236
0,9790
2,6520
15,2800
16,2100
17,1000
17,6200
-5,7210
-6,1510
-6,3260
-5,6640
1,3330
1,4530
1,5080
1,3430
Cuadro 3.6: Valores de τc mı́nimos para el modelo IMTM, con controlador
PI/PID.
M odelo/Controlador
Msd
τc
IM T M/
PI
2,0
1,8
1,6
1,4
1,92
2,35
3,07
4,53
IM T M/
P ID
2,0
1,8
1.22
1.36
se encuentra un solo valor de τc mı́nimo, que permite que el lazo de control
cumpla con el nivel de robustez deseado.
Resultados
En el cuadro 3.6, se presentan los valores de τcmin , obtenidos para el caso del
modelo IMTM con un controlador PI.
Para este tipo de modelo con un controlador PID, se obtuvieron resultados
satisfactorios al considerar ı́ndices de robustez Msd ∈[2,0, 1,8], ya que para los
casos de Msd ∈[1,6 ,1,4], no fue posible determinar el valor de τc mı́nimo, según
la normalización aplicada a este modelo, el valor del tiempo muerto no influye
en la obtención del valor de τc , sin embargo se obtuvieron distintos valores de
τc mı́nimos, para cada valor de tiempo muerto probado, además de esto, al
introducir este valor de τc en la ecuaciones de los parámetros del controlador,
se generaban valores del tiempo derivativo Td , negativos.
Como se puede apreciar en la figura 3.12, no es posible alcanzar niveles de
robustez de 1,6 ni de 1,4, para valores bajos de τc , sin embargo, como se ve en la
figura 3.13, para valores de τc superiores a 1,9, el valor del tiempo derivativo
es negativo, lo que imposibilita obtener un valor de τc que proporcione la
3.7. Modelo IMTM
21
Ms
2.5
1.6
1.4
1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
τc
3
3.5
4
4.5
5
Figura 3.12: Comportamiento del Ms en un modelo IMTM con controlador
PID, con respecto a la variación de τc
1
0.5
0
Td
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−3
0.5
1
1.5
2
2.5
τc
3
3.5
4
4.5
5
Figura 3.13: Comportamiento del tiempo derivativo Td , para un modelo
IMTM, con respecto a la variación de τc
robustez deseada, y parámetros posibles para el controlador.
Por otro lado cuando se consideraron los ı́ndices de robustez Msd ∈[2,0, 1,8],
si se lograron tener resultados positivos, los cuales se presentan en el cuadro
3.6.
Es importante aclarar que para este modelo, no se obtuvieron una serie de
valores de τc , si no uno en especı́fico para cada valor de robustez deseada, por
lo que no hubo la necesidad de crear una ecuación de ajuste.
4
Pruebas y ejemplos
Con el objetivo de validar los resultados obtenidos en el capı́tulo 3, en el
presente capı́tulo se presentan una serie de pruebas y ejemplos con diferentes
valores para los parámetros de los modelos estudiados; además, también se
pretende ejemplificar el uso de las ecuaciones de ajuste determinadas en el
capı́tulo anterior.
4.1
Pruebas con los modelos de estudio
Modelo de POMTM
Si se considera en primera instancia, el caso en concreto de un modelo de
POMTM, como el que se muestra en (4.1), en donde el valor del tiempo muerto
normalizado τo es de 0,55, a partir del cual y con el valor de τcmin determinado
con (3.11), se determina el valor de los parámetros del controlador a partir de
(A.1) y (A.2), para un PI, y con las expresiones (A.3), (A.4), y (A.5) para un
PID.
P (s) =
1, 25e−5,53s
.
9, 98s + 1
(4.1)
El valor de los parámetros del controlador obtenido, se presentan en el
cuadro 4.1, además se presentan también, el valor de τcmin obtenido según
(3.11) y el valor de Msrm logrado según sea el caso.
Tal como se puede apreciar en el cuadro 4.1, el valor del Msrm , obtenido,
cumple con las condiciones de robustez establecidas, proporcionando al sistema
de control el nivel de robustez deseado, y permite ver que la ecuación de ajuste
se aproxima de buena forma a los datos de τc mı́nimos, determinados a partir
de la búsqueda.
Es importante aclarar que, el valor de τcmin presentado en el cuadro 4.1,
fue determinado a través de (3.11), que corresponde a la ecuación de ajuste
determinada a raı́z de los datos obtenidos.
En la figura 4.1, se observan los valores de Ms resultantes para todo el
ámbito de estudio con un controlador PI, y tal como se puede apreciar, el
comportamiento del Ms , obedece en gran medida, las condiciones de robustez
establecidas.
23
24
4 Pruebas y ejemplos
Cuadro 4.1: Parámetros del controlador PI/PID, valor de parámetro del diseño
τc , e ı́ndice de robustez, modelo de POMTM.
Controlador
PI
P ID
Msd
τcmin
Kc
Ti
Td
Mrm
s
2,0
1,8
1,6
1,4
0,512
0,602
0,734
0,973
0,93
0,83
0,71
0,53
8,55
8,97
9,53
9,98
-
2,00
1,80
1,60
1,39
2,0
1,8
1,6
1,4
0,498
0,529
0,579
0,678
1,35
1,21
1,01
0,70
11,10
11,21
11,25
10,77
1,90
1,83
1,65
0,98
1,95
1,77
1,58
1,39
2.1
2
1.9
M
s
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura 4.1: Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito de estudio, para un
modelo POMTM, con controlador PI.
Con el controlador PID, los valores de Ms , logrados se presentan en la figura 4.2, que de igual forma que en el caso anterior, estos valores se encuentran
contemplados entre las condiciones de robustez establecidas.
Modelo ISOMTM
En el caso de un modelo ISOMTM, si se toma el modelo mostrado en (4.2), y
siguiendo la metodologı́a desarrollada para el modelo de POMTM, se lograron
obtener los resultados para los parámetros de controlador PID, τcmin , y el
ı́ndice de robustez Msrm expuestos en el cuadro 4.2.
4.1. Pruebas con los modelos de estudio
25
2.1
2
1.9
1.8
M
s
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.6
0.8
1
1.2
τ
1.4
1.6
o
Figura 4.2: Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito de estudio, para un
modelo POMTM, con controlador PID.
Cuadro 4.2: Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo ISOMTM.
Msd
τcmin
Kc
Ti
Td
Mrm
s
2,0
1,8
1,6
1,4
1,080
1,202
1,375
1,682
0,30
0,26
0,21
0,15
16,77
18,51
21,00
25,42
5,35
5,54
5,71
5,72
2,01
1,82
1,62
1,40
P (s) =
1, 25e−1,2s
.
s(4,8s + 1)
(4.2)
Como se puede apreciar en los resultados representados en el cuadro 4.2,
en algunos casos se obtuvieron valores de Msrm , superiores a los deseados, sin
embargo, las diferencias obtenidas son muy pequeñas, por lo que se podrı́a
considerar válida la aproximación del valor del valor de τcmin , a través de la
ecuación de ajuste.
A partir de las ecuaciones de ajuste determinadas para este modelo, se
lograron obtener, para todo el espacio de estudio, los valores de Ms presentados
en la figura 4.3, en la que se es posible apreciar un comportamiento aceptable
para los ı́ndices de robustez obtenidos, con respecto a la especificación dada,
sin embargo, es posible notar que para el caso de Msd ≤1,4, para valores altos
de τo , la ecuación de ajuste proporciona un valor de τcmin , que genera que la
robustez exceda el valor establecido.
26
4 Pruebas y ejemplos
2.1
2
1.9
M
s
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
τo
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.3: Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito de estudio, para un
modelo ISOMTM, con controlador PID.
Cuadro 4.3: Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo ISOMC.
Msd
τcmin
Kc
Ti
Td
Mrm
s
2,0
1,8
1,6
1,4
8,658
9,534
10,880
13,250
0,007
0,006
0,005
0,003
221,82
243,63
277,18
336,08
458,92
574,70
725,84
1033,70
1,98
1,78
1,58
1,39
Modelo ISOMC
Continuando ahora con el modelo ISOCM, se ha escogido el modelo dado en
(4.3), con el objetivo de realizar la comprobación de la ecuación de ajuste
determinada para este tipo de modelo.
P (s) =
−0, 75s + 1
.
(8, 30s + 1)
(4.3)
Utilizando (A.12), (A.13) y (A.14) se obtuvieron los valores de los parámetros del controlador presentados en el cuadro 4.3, ası́ como el valor de τcmin ,
obtenido con (3.12), para obtener el cumplimiento del valor de robustez.
Según los resultados mostrados en el cuadro 4.3, los niveles de robustez se
cumplen, por lo que nuevamente se podrı́a decir, que la estimación realizada
por la curva de ajuste, permite aproximar de manera correcta el valor de τcmin
necesario para el cumplimiento del ı́ndice de robustez.
Por otro lado, al observar en la figura 4.4, todos los valores de Ms , obtenidos
para el rango de b, se encuentran en un margen muy cercano a los valores de
4.1. Pruebas con los modelos de estudio
27
2.1
2
1.9
M
s
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
b
Figura 4.4: Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito de estudio, para un
modelo ISOMC, con controlador PID.
Msd especificados, dando a conocer un buen funcionamiento de las ecuaciones
de ajuste encontradas.
Modelo SOMTM
Tomando el modelo presentado en (4.4) para esta prueba, el cual tiene una
ganancia K de 1,25, una constante de tiempo T de 0,85, un tiempo muerto de
0,52, y un valor de a de 0,4, se logró determinar el valor de los parámetros del
controlador, ası́ como el valor del parámetro de diseño τcmin , que proporciona
el nivel de robustez deseado, y el valor de Msrm , logrado para el lazo de control.
P (s) =
1, 25e−0,52s
.
(0, 85s + 1)(0, 34s + 1)
(4.4)
Dichos valores mencionados en el párrafo anterior, se presentan en el cuadro
4.4, y demuestran que la aproximación dada del valor mı́nino de τcmin , por
(3.11), resulta acertada en el efecto de garantizar el cumplimiento del ı́ndice
de robustez para el sistema de control.
Para este modelo, se escogió un valor de 0,4 para el parámetro a, esto
con el objetivo de presentar los valores de Ms , que se obtuvieron para todo el
ámbito de estudio de τo ; como se puede ver en la figura 4.5, los valores de Ms
presentan un comportamiento acorde con el criterio de robustez establecido,
sobretodo para los valores de Msd ∈[2,0, 1,8, 1,6], sin embargo, para un Msd ≤1,4,
la ecuación de ajuste presento deficiencias principalmente a partir de τo =0,8.
Modelo IMTM
Al analizar el modelo IMTM en el capı́tulo anterior, se obtuvo que para este
modelo se determinó unicamente un valor de τc , que proporciona en cada caso
28
4 Pruebas y ejemplos
Cuadro 4.4: Parámetros del controlador PID, valor de parámetro del diseño
τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo de SOMTM.
Msd
τcmin
Kc
Ti
Td
Mrm
s
2,0
1,8
1,6
1,4
0,512
0,565
0,655
1,8617
1,18
1,04
0,85
0,51
1,09
1,11
1,13
1,05
0,23
0,23
0,22
0,16
1,97
1,79
1,59
1,38
2.1
2
1.9
M
s
1.8
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
τ
0.6
0.7
0.8
0.9
o
Figura 4.5: Valores de Ms obtenidos para todo el ámbito de estudio, para un
modelo SOMTM, con controlador PID.
el valor del ı́ndice de robustez deseado, por lo que para este caso se tomará
el modelo dado en (4.5), con el objetivo de validar los valores de τc mı́nimos
encontrados.
P (s) =
e−4,7s
.
s
(4.5)
En el cuadro 4.5, se muestran los valores de τc mı́nimos, que proporcionan
el cumplimiento de cada nivel de robustez, junto con el valor Msrm obtenido para cada caso y los valores de los parámetros del controlador PI y PID
correspondientes.
Es posible notar en el cuadro 4.5, como los valores obtenidos en cada
prueba, satisfacen los requisitos establecidos con respecto a los valores del
ı́ndice de robustez.
En este caso no es necesario mostrar el comportamiento de los valores de
Ms , puesto que, debido a las caracterı́sticas del modelo, no fue necesaria la
variación de ningún parámetro del mismo.
4.2. Ejemplos
29
Cuadro 4.5: Parámetros del controlador PI y PID, valor de parámetro del
diseño τcmin , e ı́ndice de robustez, modelo IMTM.
Msd
τc
Kc
Ti
Td
Mrm
s
PI
2,0
1,8
1,6
1,4
1,92
2,35
3,07
4,53
0,12
0,10
0,09
0,07
22,75
26,80
33,55
47,82
-
1,99
1,79
1,59
1,40
P ID
2,0
1,8
1,22
1.36
0,17
0,15
19,55
21,52
1,65
1,44
1,99
1,79
Controlador
4.2
Ejemplos
Ejemplo 1
Considerando el proceso controlado mostrado en (4.6), el cual corresponde a
una planta de las propuestas en Åström y Hägglund (2000), y utilizando el
método de identificación 123c (Alfaro, 2008), fue posible obtener un modelo
de POMTM presentado en (4.7).
P1 (s) =
1
.
(s + 1)(0, 5s + 1)(0, 25s + 1)(0, 125s + 1)
(4.6)
e−0,691s
.
(1, 248s + 1)
(4.7)
P (s) =
Utilizando la información de modelo presentada en (4.7), se obtuvo un
controlador PI, usando (A.1), (A.2), donde el parámetro de diseño τcmin , fue
seleccionado con (3.11).
De igual manera, usando la información del modelo (4.7), y (3.11), se
determinaron los parámetros de un controlador PID usando de (A.3) a (A.5).
Los valores de los parámetros obtenidos, se muestran en el cuadro 4.7, ası́
como el parámetro de diseño τcmin , con su respectivo valor de Msrm .
Como se puede observar en los resultados mostrados en el cuadro 4.7, el
rm
Ms obtenido a partir modelo, cumple con el criterio establecido en este trabajo, en la figura 4.6, se observa la respuesta temporal del sistema de control,
para un cambio en valor de referencia del 20 %, y una perturbación del 10 %,
como se puede apreciar se tiene una respuesta satisfactoria para la regulación.
Además se observa como la respuesta disminuye su velocidad con respecto
aumenta el valor de la robustez.
30
4 Pruebas y ejemplos
Cuadro 4.6: Ejemplo 1-Parámetros del controlador PI, valor de parámetro del
diseño τcmin , e ı́ndice de robustez, planta de POMTM.
Msd
τcmin
Kc
Ti
Mrm
s
Mrp
s
2,0
1,8
1,6
1,4
0,512
0,602
0,734
0,973
1,158
1,044
0,89
0,66
1,05
1,12
1,19
1,24
2,00
1,80
1,60
1.39
1,88
1,72
1,49
1,34
30
25
variables en %
20
15
10
Ms=2,0
5
M =1,8
s
Ms=1,6
0
M =1,4
−5
0
s
5
10
15
20
25
Tiempo
Figura 4.6: Respuesta en el tiempo de un sistema de control con un modelo
de POMTM y un controlador PI.
Ejemplo 2
Tomando para este ejemplo, el mismo proceso controlado mostrado en (4.6), y
utilizando de igual forma que en el ejemplo anterior, el método de identificación
123c (Alfaro, 2008), se logró obtener un modelo de SOMTM presentado en
(4.8).
P1 (s) =
e−0,289s
.
(0, 87s + 1)(0, 70s + 1)
(4.8)
En este caso, el valor del parámetro a, corresponde a un valor de 0,80, el
cual corresponde de buena manera con uno de los utilizados para determinar
las curvas de ajuste en este tipo de modelo.
Nuevamente, usando la información de modelo mostrada en (4.8), se pudo
obtener un controlador PID, usando (A.9) hasta (A.11), donde el parámetro
de diseño τc , fue seleccionado con (3.11).
Los valores de los parámetros que se obtuvieron, se muestran en el cuadro
4.7, ası́ como el parámetro de diseño τcmin , con su respectivo valor Msrm .
4.2. Ejemplos
31
Cuadro 4.7: Ejemplo 2-Parámetros del controlador PID, valor de parámetro
del diseño τcmin , e ı́ndice de robustez, planta SOMTM
Msd
τcmin
Kc
Ti
Td
Mrm
s
Mrp
s
2,0
1,8
1,6
1,4
0,546
0,611
0,695
0,823
3,4
2,9
2,37
1,74
1,33
1,40
1,50
1,60
0,34
0,35
0,37
0,38
1,98
1,78
1,59
1,39
1,78
1,63
1,49
1,34
40
35
variables en %
30
25
20
15
10
5
0
−5
0
100
200
300
400
500
Tiempo
600
700
800
900
1000
Figura 4.7: Respuesta en el tiempo de un sistema de control con un modelo
de SOMTM y un controlador PID, para un Ms ≤2,0.
De igual manera que el ejemplo 1, para este ejemplo, se obtuvieron valores
de robustez acordes con las especificaciones establecidas. La respuesta temporal para el sistema de control con una robustez Ms ≤2,0, se muestra en la
figura 4.7, para la cual se dió un valor a la entrada de referencia del 20 %, y a
diferencia del ejemplo anterior, un valor del 30 % a la perturbación.
En este caso se nota como mejora sustancialmente la respuesta del control
regulatorio con respecto a la respuesta del servocontrol.
5
Conclusiones y recomendaciones
Conclusiones
El trabajo desarrollado permitió, observar la relación entre el parámetro de
diseño τc con el ı́ndice de robustez del sistema de control.
Esta relación si bien es cierto, en algunos de los casos estudiados, ha conducido a poder obtener de forma sencilla, un método con el cual es posible
escoger el valor del parámetro de diseño τc de la sintonización analı́tica de
Chen y Seborg (2002), teniendo en consideración un criterio tan importante
como es la robustez para los sistemas de control.
Entre los logros obtenidos tras la realización de este trabajo se pueden
mencionar los siguientes:
1. La determinación de una ecuación de ajuste, con la cual es posible aproximar el valor de τcmin , para cada uno de los casos estudiados, tanto
considerando el modelo como el indice de robustez Msd .
2. El complemento de la regla de sintonización analı́tica de Chen y Seborg
(2002), proporcionando un criterio de robustez, para el cálculo de los
parámetros del controlador utilizado en sistema de control.
3. La aplicación de técnicas computacionales, a los estudios de control automático, como complemento al desarrollo analı́tico.
Las ecuaciones de ajuste determinadas en el desarrollo del proyecto, cumplieron de buena forma con el objetivo de aproximar los valores reales determinados a partir de la búsqueda, si bien es cierto los intervalos utilizados, no
proporcionan la totalidad de los casos, si permitieron tener un acercamiento oportuno al comportamiento de los modelos, y por ende de los sistemas a
controlar.
Al final del trabajo, se pudo ver como, los estudios realizados sobre los
modelos, proporcionan un acercamiento positivo hacia los sistemas, sin embargo, no garantizan de manera completa, que la aplicación de una técnica
desarrollada para los modelos, pueda funcionar de igual manera que para los
sistemas, lo que conduce a concluir que siempre se darán diferencias, lo importante de rescatar es, que si estas diferencias no son muy distantes, la técnica
desarrollada es válida para la aplicación en un sistema real.
33
34
5 Conclusiones y recomendaciones
Recomendaciones
Con base en el trabajo realizado y los resultados obtenidos, podrı́a decirse que
para un estudio posterior, seria recomendable ampliar el ámbito de estudio de
los parámetros del modelo, y si bien es cierto la aplicación de polinomios de
ajuste, proporcionan una herramienta útil; la aplicación directa de los valores
determinados a partir de las búsquedas, podrı́an garantizar resultados más
precisos.
Otra limitación presentada en el desarrollo del trabajo, fue la no inclusión del modelo de segundo orden subamortiguado, el cual ha sido utilizado
para representar gran cantidad de sistemas, y que también se incluye en la
sintonización analı́tica de Chen y Seborg (2002).
Como una posible ampliación, seria interesante el establecimiento de una
ecuación más general para el caso del modelo de SOMTM, en la cual no exista
la limitante del valor del parámetro a, ya que es difı́cil encontrar modelos
que coincidan correctamente con los casos desarrollados en este proyecto, por
lo que una expresión mas general proporcionarı́a mucho más flexibilidad a la
hora de aplicar este método.
Además, con el objetivo de poder garantizar, una aproximación más correcta con los sistemas, serı́a recomendable utilizar métodos de identificación
que proporcionen el mejor modelo a partir de un sistema, de esta forma, al
trabajar con estos modelos, se optimizarı́a la funcionalidad de la técnica con
respecto a los sistemas reales. Tal tarea podrı́a enfrentarse utilizando técnicas
de optimización para la obtención del modelo.
Bibliografı́a
Alfaro, V., Balaguer, P., y Arrieta, O. (2012). Robustness Considerations on
PID Tuning for Regulatory Control of Inverse Response Processes. IFAC
Conference on Advances in PID Control PID’12.
Alfaro, V. M. (2008). Método de Identificación de modelos de Orden Reducido
de Tres Puntos 123c. Departamento de Automática Escuela de Ingenierı́a
Eléctrica Universidad de Costa Rica.
Alfaro, V. M. y Vilanova, R. (2010). Sintonización De Los Controladores PID
De 2GdL: Desempeño, Robustez Y Fragilidad. XIV Congreso Latinoamericano de Control Automático ( CLCA 2010).
Chen y Seborg, E. (2002). PI/PID Controller Design Based On Direct Synthesis And Rejection, Disturbance. Ind. Eng. Chem. Res. 2002, 41:4807–4822.
Åström, K. y Hägglund, T. (2000). Benchmark Systems for PID Control.
IFAC Digital Control: Past,Present and Future of PID Control, páginas
4807–4822.
35
A Ecuaciones de sintonı́a de Chen
y Seborg (2002), en su forma
normalizada.
A.1
A.2
Proceso de POMTM, controlador PI.
kc =
˙ Kc K =
1 + τo − (τc − 1)2
.
(τc + τo )2
(A.1)
τi =
˙ Ti /T =
1 + τo − (τc − 1)2
.
(1 + τo )
(A.2)
Proceso de POMTM, controlador PID.
kc =
˙ Kc K =
τi =
˙ Ti /T =
τd =
˙ Td /T =
A.3
(2τo +
τo2
2 )(3τc
(2τo +
τo2
2 )(3τc
+ τ2o ) − (2τc3 + 3τc2 τo )
.
2(τc + τ2o )3
+ τ2o ) − (2τc3 + 3τc2 τo )
.
(2 + τo )τo
τo2
2 (3τc
3τc2 τo +
(2τo +
τo2
2
+
)(3τc +
τo
2)
τo
2)
− 2(1 + τo )τc3
− (2τc3 + 3τc2 τo )
.
(A.3)
(A.4)
(A.5)
Proceso de IPOMTM, controlador PID.
kc =
˙ Kc KT =
(3τc + τo )(1 + τo )
.
(τc + τo )3
τi =
˙ Ti /T = 3τc + τo .
τd =
˙ Td /T =
3τc2 + 3τc τo − τc3 + τo2
.
(3τc + τo )(1 + τo )
37
(A.6)
(A.7)
(A.8)
A Ecuaciones de sintonı́a de Chen y Seborg (2002), en su forma normalizada.
38
A.4
Proceso de SOMTM, controlador PID.
kc =
˙ Kc K =
A.5
((1 + a)τo + a)(3τc + τo ) − τc3 − 3τc2 τo
.
(τc + τo )3
τi =
˙ Ti /T =
((1 + a)τo + a)(3τc + τo ) − τc3 − 3τc2 τo
.
a + (1 + a + τo )τo
(A.10)
τd =
˙ Td /T =
3τc2 a + aτo (3τc + τo ) − (1 + a + τo )τc3
.
((1 + a)τo + a)(3τc + τo ) − τc3 − 3τc2 τo
(A.11)
Proceso de IPOMC, controlador PID.
kc =
˙ Kc K =
(3τc + b)(1 + b)
.
T (τc + b)3
τi =
˙ Ti /T = 3τc + b.
τd =
˙ Td /T =
A.6
3τc2 + 3τc b + τc3 + b2
.
(3τc + b)(1 + b)
(A.12)
(A.13)
(A.14)
Proceso de IMTM, controlador PI.
kc =
˙ Kc KL =
2τc + 1
.
(τc + 1)2
τi =
˙ Ti /L = 2τc + 1.
A.7
(A.9)
(A.15)
(A.16)
Proceso de IMTM, controlador PID.
kc =
˙ Kc KL =
L(3τc + 12 )
.
(τc + 21 )3
1
τi =
˙ Ti /L = 3τc + .
2
τd =
˙ Td =
(τc + 21 )3 − 2τc3
.
(3τc + 12 )
(A.17)
(A.18)
(A.19)
B Método de identificación
123c,(Alfaro, 2008)
El método de identificación 123c para modelos de POMTM y de SOMTM,
consiste en la obtención de tres puntos correspondientes a los instantes t25 ,
t50 y t75 a partir de la curva de reacción del proceso a una entrada escalón
de magnitud ∆u, los cuales corresponden a los tiempos necesarios para que la
respuesta del proceso alcance el 25, 50 y el 75 % de su valor final, ası́ como un
cambio total en la respuesta ∆y (Alfaro, 2008). En la figura B.1, se pueden
observar los valores descritos en el párrafo anterior.
B.1
Identificación de un modelo de POMTM
Las ecuaciones dadas en (Alfaro, 2008), utilizadas para la obtención de los
parámetros de la un modelo de POMTM, se presentan en (B.1), (B.2) y (B.3),
y corresponden a la ganancia del modelo, la constante de tiempo y el tiempo
muerto del modelo respectivamente.
K=
∆y
∆u
Figura B.1: Curva de reacción del proceso,(Alfaro, 2008)
39
(B.1)
40
B.2
B Método de identificación 123c,(Alfaro, 2008)
T = 0, 9102(t75 − t25 )
(B.2)
L = 1, 2620t25 − 0, 2620t75 )
(B.3)
Identificación de un modelo de SOMTM
Para la identificación un modelo de de SOMTM sobreamortiguado, las ecuaciones que determinan los parámetros del modelo corresponden de (B.4), a
(B.9).
∆y
∆u
(B.4)
−0, 6240t25 + 0, 9866t50 − 0, 3626t75
0, 3533t25 − 0, 7036t50 + 0, 3503t75
(B.5)
K=
a=
T” =
t75 − t25
0, 9866 + 0, 7036a
(B.6)
L = t − 75 − (1, 3421 + 1, 3455a)T ”
(B.7)
T1 = T ”
(B.8)
T2 = aT ”
(B.9)
C Programas elaborados en
R para la búsqueda de
MATLAB,
los valores mı́nimos de τc
C.1
Búsqueda de τc para el modelo de POMTM
con controlador PI
clc
K=1;
%ganancia del modelo
T=1;
%constante de tiempo del modelo
for L=(0.1:0.1:2.0) %tiempo muerto
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcA(tc,K,T,L);
while MaxSentcA(tc,K,T,L)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcA(tc,K,T,L);
end
disp([’valores para L =’,num2str(L)])
tc=tc
[Ms]= MaxSentcA(tc,K,T,L)
end
C.2
Búsqueda de τc para el modelo de POMTM
con controlador PID
clc
K=1;
%ganancia del modelo
T=1;
%constante de tiempo del modelo
for L=(0.5:0.1:1.6) %tiempo muerto
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcB(tc,K,T,L);
while MaxSentcB(tc,K,T,L)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcB(tc,K,T,L);
end
41
R para la búsqueda de los valores
C Programas elaborados en MATLAB ,
42
mı́nimos de τc
disp([’valores para L =’,num2str(L)])
tc=tc
[Ms]= MaxSentcB(tc,K,T,L)
end
C.3
Búsqueda de τc para el modelo IMTM con
controlador PI
clc
K=1;
%ganancia del modelo
for L=(1:1:10) %tiempo muerto
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcC(tc,K,L);
while MaxSentcC(tc,K,L)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcC(tc,K,L);
end
disp([’valores para L =’,num2str(L)])
tc=tc
[Ms]= MaxSentcC(tc,K,L)
end
C.4
Búsqueda de τc para el modelo IMTM con
controlador PID
clc
K=1;
%ganancia del modelo
for L=(1:1:10) %tiempo muerto
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcD(tc,K,L);
while MaxSentcD(tc,K,L)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcD(tc,K,L);
end
disp([’valores para L =’,num2str(L)])
tc=tc
[Ms]= MaxSentcD(tc,K,L)
end
C.5. Búsqueda de τc para el modelo de ISOMTM con controlador PID
C.5
43
Búsqueda de τc para el modelo de ISOMTM
con controlador PID
clc
K=1;
%ganancia del modelo
T=1;
%constante de tiempo del modelo
for L=(0.5:0.1:1.6) %tiempo muerto
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcE(tc,K,T,L);
while MaxSentcE(tc,K,T,L)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcE(tc,K,T,L);
end
disp([’valores para L =’,num2str(L)])
tc=tc
[Ms]= MaxSentcE(tc,K,T,L)
end
C.6
Búsqueda de τc para el modelo de ISOMC con
controlador PID
clc
K=1;
%ganancia del modelo
T=1;
%constante de tiempo del modelo
for b=(0.1:0.1:2.0) %Posición relativa del cero
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcF(tc,K,T,b);
while MaxSentcF(tc,K,T,L)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcF(tc,K,T,b);
end
disp([’valores para b =’,num2str(b)])
tc=tc
[Ms]= MaxSentcF(tc,K,T,b)
end
C.7
clc
Búsqueda de τc para el modelo de SOMTM
con controlador PID
R para la búsqueda de los valores
C Programas elaborados en MATLAB ,
44
mı́nimos de τc
K=1;
%ganancia del modelo
T=1;
%constante de tiempo del modelo
for a=0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0;
for L=(0.1:0.1:0.9) %tiempo muerto
tc=0.1; %valor inicial para τc
[Ms]= MaxSentcG(tc,K,T,L,a);
while MaxSentcG(tc,K,T,L,a)>=1,4; 1,6; 1,8; 2,0;
tc=tc+0.01;
[Ms]=MaxSentcG(tc,K,T,L,a);
end
disp([’valores para a =’,num2str(a),’con L =’,num2str(L)]) tc=tc
[Ms]= MaxSentcG(tc,K,T,L,a)
end
end