EJERCICIOS DE C´ALCULO NUMÉRICOS: PRIMER PARCIAL

EJERCICIOS DE CÁLCULO NUMÉRICOS: PRIMER PARCIAL 2004/05
1. Razone la verdad o falsedad de las afirmaciones siguientes:
(a) Si A ó B es invertible, entonces I − AB y I − BA tienen los mismos valores propios;
(b) Los valores propios de AB y BA son iguales;


b1 b2 b3 . . . bn
 a 0 0 ... 0 



(c) Sea Bn = 
donde bj =
 0 a . ... 0 
 . .

.
0 0
0 0 ... a 0
iterativo: x(k+1) = Bn x(k) + c, c ∈ Rn converge;
β
2j
(|a| < 1 y |β| ≤ 1 ). El método
(d) Dos matrices con los mismos valores propios son semejantes;
(e) El método de Euler modificado proporciona la solución exacta de la E.D.O. y 0 = −2λx
R1
(f) El orden de exactitud de la F.I.N. −1 f (x) dx ≈ 31 f (−1) + 43 f (0) + cf 0 (0) + 13 f (1) es
mayor que 1;
(g) El orden de un método de 1-paso con Φ (x, y; h) = f (x, y) + h2 y 00 (x) es 2.
2. Obtenga un método de tipo Runge-Kutta de dos etapas que reúna los requisitos siguientes:
(a) sea explı́cito;
(b) tenga orden 2;
(c) el error de truncatura local sea mı́nimo.
0
3. Para el método Runge-Kutta de 2-etapas con arreglo matricial: α
0
α
0
0
1−α
2
1+α
2
(a) Determine el orden del método según los valores del escalar α.
(b) Para α con orden máximo para el método, ¿cuál es el término principal del error local de
truncatura?
(c) Verifique si el método es estable (cero-estable) para todo α.
0
α
4. El arreglo de Butcher,
β
0
α
0
1
3
0
0
β
α
2
3
0
0
define un método Runge-Kutta explı́cito de 3-etapas.
0
−α
(a) ¿Es consistente para cualquier valor α?
(b) ¿Es de orden p > 2 para todos los valores de α y β? ¿puede ser de orden 3?
(c) Elija valores adecuados de α y β para los que el método sea de orden exáctamente 2 y dé,
en tal caso, la parte principal del error de truncatura local.
1
5. Analice la A-estabilidad de los métodos de 1-paso siguientes:
(a) Método de Euler: yn+1 = yn + hf (xn , yn ) n = 0, 1, . . .
(b) Método de Euler implı́cito: yn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 ) n = 0, 1, . . .
(c) yn+1 = yn + hf xn + h2 , yn + h2 f (xn , yn ) n = 0, 1, . . .
(d) yn+1 = yn + h2 (f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + hf (xn , yn ))) n = 0, 1, . . .
6. ¿Qué ocurre si se aplica el método Runge-Kutta clásico a la ecuación y 0 = f (x)?
7. Resuelva el problema de interpolación siguiente:
Hallar la función spline cuadrática clase 1, s(x) ∈ S(2, 1; {a = x0 , x1 , . . . , xN = b}, que interpola
la función f (x, y(x)) en xi = a + ih, i = 0, 1, . . . , N h = b−a
y s0 (x0 ) = d0 (valor dado); es
N
decir,
Hallar s (x) = si (x) ∈ P2 , (xi ≤ x ≤ xi+1 ) i = 0, . . . , N − 1 verificando :
si (xi ) = f (xi , y (xi )) , s0i (xi ) = di
si (xi+1 ) = f (xi+1 , y (xi+1 ))
(a) Deduzca, desde el interpolante anterior, un método para resolver el problema de Cauchy;
8. Considere el P.V.I. , y 0 = 1 − xy , y (2) = 2
(a) Demuestre que se verifica la relación de recurrencia siguiente:
0
,
y 00 = 1−2y
x
y (k−1)
(k)
y = −k x
k = 3, 4, . . .
(b) Dé la solución numérica obtenida con el método de Taylor de orden 10 en el intervalo [2,
20] y paso h=1;
(c) Calcule la solución exacta y compárela con los resultados obtenidos en (b).
9. Resuelva, numéricamente, el P.V.I. (y 0 )2 − 2xy 0 − y cos (x) = 0, con y (0) = 0 en el intervalo [0,
1] (se supone la búsqueda de una solución no nula). ¿Cómo procederı́a si se sustituye (y 0 )2 por
(y 0 )3 ?
10. (a) Demuestre que cuando se aplica el método de Runge-Kutta al problema, y 0 = λy, la
fórmula para generar la solución numérica es:
1
1
1
2
3
4
(hλ) y (x)
y(x + h) = 1 + hλ + (hλ) + (hλ) +
2
6
24
(b) Pruebe que el error de truncatura local es O (h5 )
2