ED-segundo-orden-3D

Tema 5
Computación-I
Solución Numérica de Ecuación Diferencial Segundo Orden.
Casos Bidimensional y Tridimensional.
Ejemplo: cuerpo bajo la atracción gravitatoria
Vamos a analizar la solución numérica del movimiento de un cuerpo (de masa m) bajo
la atracción gravitatoria de otro cuerpo (masa M ), que vamos a suponer fijo en el origen.
La fuerza que la masa M ejerce sobre la masa m situada en la posición ~r es:
mM
F~ = − G 3 ~r
r
(1)
donde r = |~r|.
Para simplificar, vamos a considerar el caso bidimensional, es decir, la masa m se
mueve en el plano XY:
~r = x u~x + y u~y
(2)
(u~x , u~y son vectores unitarios en las direcciones de los ejes X e Y). La ecuación de
movimiento (segunda ley de Newton):
m
mM
d2~r
~ =−G
=
F
(x u~x + y u~y )
dt2
(x2 + y 2 )3/2
(3)
m
d2 x
mM
=−G 2
x
2
dt
(x + y 2 )3/2
(4)
m
d2 y
mM
=−G 2
y
2
dt
(x + y 2 )3/2
(5)
Es decir,
Para resolver estas dos ecuaciones diferenciales de segundo orden acopladas, las convertimos en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden:
dx
= vx
dt
dy
= vy
dt
dvx
M
=−G 2
x
dt
(x + y 2 )3/2
M
dvy
=−G 2
y
dt
(x + y 2 )3/2
(6)
(7)
(8)
(9)
Estas cuatro ecuaciones están acopladas y por tanto hay que resolverlas simultaneamente. Vamos a ver en detalle como sera la solución mediante el método de Euler y el
método del punto medio.
I. Método de Euler
Usando la aproximación numérica de la derivada como diferencias finitas hacia adelante obtenemos para este caso:
vx (t + ∆t) = vx (t) +
M
dvx
(t) ∆t = vx (t) − G 3
x(t) ∆t
dt
r (t)
(10)
vy (t + ∆t) = vy (t) +
dvy
M
(t) ∆t = vy (t) − G 3
y(t) ∆t
dt
r (t)
(11)
x(t + ∆t) = x(t) + vx (t) ∆t
(12)
y(t + ∆t) = y(t) + vy (t) ∆t
(13)
r(t) = [x2 (t) + y 2 (t)]1/2
(14)
donde
II. Método del punto medio
En este caso usamos la fórmula de diferencias centradas para la derivada numérica.
Como ya hemos visto en la solución para el caso unidimensional (oscilador armónico), el
primer paso es obtener los valores de x, y, vx , vy , en el punto medio entre t y t + ∆t,
tpm = t + ∆t/2 (usando para ello el método de Euler):
Paso 1:
∆t
) = x(t) + vx (t)
2
∆t
≡ y(t +
) = y(t) + vy (t)
2
xpm ≡ x(t +
ypm
∆t
2
∆t
2
2 1/2
rpm = [x2pm + ypm
]
(15)
(16)
(17)
vxpm ≡ vx (t +
∆t
M
∆t
) = vx (t) − G 3
x(t)
2
r (t)
2
(18)
vypm ≡ vy (t +
∆t
M
∆t
) = vy (t) − G 3
y(t)
2
r (t)
2
(19)
Una vez calculadas estas cantidades auxiliares, las usamos para resolver numéricamente
las ecuaciones diferenciales (6-9):
Paso 2:
vx (t + ∆t) = vx (t) − G
M
xpm ∆t
3
rpm
(20)
vy (t + ∆t) = vy (t) − G
M
ypm ∆t
3
rpm
(21)
x(t + ∆t) = x(t) + vxpm ∆t
(22)
y(t + ∆t) = y(t) + vypm ∆t
(23)
José Ortega