Solución Numérica de Ecuación Diferencial Segundo Orden. Caso

Tema 5
Computación-I
Solución Numérica de Ecuación Diferencial Segundo Orden.
Caso Unidimensional.
Ejemplo: Oscilador Armónico
Para ilustrar la solución numérica de una ecuación diferencial de segundo orden vamos
a estudiar el oscilador armónico en una dimensión, F = −kx. La segunda ley de Newton
nos da la siguiente ecuación diferencial de segundo orden:
m
d2 x
= −kx
dt2
(1)
Para resolver esta ecuación diferencial de segundo orden, la convertimos en dos ecuaciones diferenciales de primer orden, que ya sabemos como resolverlas:
m
dx
=v
dt
(2)
dv
= −kx
dt
(3)
Estas dos ecuaciones de primer orden están acopladas, es decir, para obtener x(t)
tenemos que conocer v(t), y para obtener v(t) tenemos que conocer x(t). Por tanto,
tenemos que ir resolviendo las dos ecuaciones a la vez. Vamos a ver como las resolvemos
usando los dos métodos que ya vimos para la ecuación diferencial de primer orden: el
método de Euler y el método del punto medio.
I. Método de Euler
Este es el método más sencillo. Se basa en la aproximación numérica de la derivada
como diferencias finitas hacia adelante:
dx
x(t + ∆t) − x(t)
(t) =
.
dt
∆t
(4)
dv
v(t + ∆t) − v(t)
(t) =
.
dt
∆t
(5)
Es decir:
v(t + ∆t) = v(t) +
dv
(t) ∆t
dt
(6)
x(t + ∆t) = x(t) +
dx
(t) ∆t
dt
(7)
Para el oscilador armónico dv/dt = −k/m x, y tenemos las dos ecuaciones acopladas
siguientes:
v(t + ∆t) = v(t) −
k
x(t) ∆t
m
x(t + ∆t) = x(t) + v(t) ∆t
que hay que resolver simultaneamente.
(8)
(9)
II. Método del punto medio
En este caso tomamos la fórmula de diferencias centradas para la derivada numérica:
dx
∆t
x(t + ∆t) − x(t)
(t +
)=
.
dt
2
∆t
(10)
dv
∆t
v(t + ∆t) − v(t)
(t +
)=
.
dt
2
∆t
(11)
Por tanto:
v(t + ∆t) = v(t) −
k
xpm ∆t
m
x(t + ∆t) = x(t) + vpm ∆t
(12)
(13)
donde xpm ≡ x(t + ∆t/2) y vpm ≡ v(t + ∆t/2). Estos valores auxiliares los obtenemos
usando el método de Euler:
vpm = v(t) −
∆t
k
x(t)
m
2
(14)
∆t
(15)
2
Como ya se ha comentado, las soluciones de v(t) y x(t) están acopladas, y hay que
xpm = x(t) + v(t)
ir resolviéndolas a la vez. Es decir, partiendo de los valores en el tiempo t, v(t) y x(t),
obtenemos en primer lugar xpm y vpm usando las ecuaciones (14-15); con estos valores
usamos ahora las ecuaciones (12-13) para obtener v(t+∆t) y x(t+∆t), y ası́ sucesivamente.
José Ortega