Métodos de un paso para el problema de Cauchy (P.V.I.)

Capı́tulo 2
Métodos de un paso para el problema de
Cauchy (P.V.I.)
Consideramos el Problema de Cauchy,
y 0 = f (x, y)
y (a) = µ
(2.1)
supondremos, a lo largo del capı́tulo, que f (x, y) es Lipschitziana respecto de y de modo que exista solución
única en el intervalo [a, b]. Un método de un paso para (2.1) respecto a la partición {x0 = a < x1 < · · · <
xN = b} y paso uniforme h = b−a
N viene definido por:
y0
= µ
yn+1 = yn + hΦ (xn ; yn , yn+1 ; h, f ) n = 0, . . .
(2.2)
Observemos que en el caso de método implı́cito podemos asegurar la existencia de la solución numérica
utilizando la condición de Lipschitzianidad para Φ respecto de los argumentos y.
En efecto, si (2.2) es implı́cito, entonces el valor yn+1 es la solución de una ecuación, (no lineal, en
general), del tipo:
z = g(z)
donde la función g(z) cumple: |g(z1 ) − g(z2 )| 6 hM |z1 − z2 | siendo M la cte de Lipschitz de Φ.
Luego, para h 6 h0 tal que h0 M < 1, la función g es una contracción y la ecuación dada se puede
resolver usando, p.e., iteración de punto fijo.
Como ya hemos comentado anteriormente, el análisis de las propiedades de orden requiere el uso de
desarrollos de Taylor tanto de la solución, y(x), como de la función f (x, y) por lo que tendremos en cuenta
los cálculos y notaciones siguientes:
m
? Sea D(h,k)
el operador que actúa sobre una función de dos variables, suficientemente regular, como
sigue:
!
m
m
X
∂•
∂•
∂mg
m
m
D(h,k)
g= h
+k
g=
hm−j k j m−j j
(2.3)
∂x
∂y
∂x
∂y
j
j=0
En particular, para la función de (2.1) usamos la notación:
2
3
F = D(1,f ) f, G = D(1,f
) f, y H = D(1,f ) f
1
2
Métodos de un paso.
? El desarrollo de Taylor de una función, g, de dos variables en un punto genérico (x, y) viene expresado
por la igualdad (donde g = g(x, y)):
g (x + h, y + k) = g + D(h,k) g + · · · +
1 p
D
g + Resto = Tp (g; h, k) + Resto
p! (h,k)
(2.4)
? Finalmente, las derivaciones sucesivas de la solución, y(x), conducen a las igualdades siguientes:
y0
y 00
y 000
y iv)
2.1
=
=
=
=
..
.
f
f 0 = fx + fy y 0 = fx + fy f = F
f 00 = F 0 = Fx + Fy f = G + fy · F
f 000 = (f 00 )x + f (f 00 )y = H + 3F (f · fyy + fxy ) + fy (G + fy F )
(2.5)
Método de Euler. Variantes del método.
El método de Euler es un método elemental para la búsqueda de una solución numérica del problema
(2.1) que se explicita como sigue:
Para la partición del intervalo [a, b]: {a = x0 < x1 < · · · < xN = b} con xn = a + nh y h =
paso del método, se define la solución numérica {yn }N
n=0 siguiente:
b−a
N
y0 = µ
yn+1 = yn + hf (xn , yn )
es el
(2.6)
Este método, aproxima la solución en xn+1 por el valor de la recta, que pasa por (xn , yn ) y de pendiente
f (xn , yn ), en x = xn+1 . Dicha recta es una aproximación de la recta tangente a la curva solución en el punto
(xn , yn ).
Si en lugar de usar la recta anterior usamos la de pendiente f (xn+1 , yn+1 ) obtenemos el método de Euler
implı́cito siguiente:
y0 = µ
yn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 )
(2.7)
Es sencillo comprobar que los métodos (2.6-2.7) son consistenten con (2.1) y su error de truncatura local
son:
Rn+1 = y (x + h) − y (x) − hf (x, y(x)) = (por desarrollo de Taylor para y(x)) =
2
2
= hy 0 (x) + h2 y 00 (x) + O h3 − hf (x, y(x)) = h2 y 00 (x) + O h3
↑
y 0 =f
y
Rn+1 = y (x + h) − y (x) − hf (x + h, y(x + h)) =
= y (x + h) − y (x) − hy 0 (x + h) = (por desarrollo de Taylor para y(x) e y 0 (x)) =
2
2
= hy 0 (x) + h2 y 00 (x) + O h3 − h y 0 (x) + hy 00 (x) + O h2 = − h2 y 00 (x) + O h3
respectivamente. Por lo tanto, ambos métodos tienen orden p = 1.
Apuntes de J. Lorente
3
Podemos mejorar el error de truncatura local realizando algunas sencillas modificaciones, entre las que
menciaonaremos dos:
Método de Euler Mejorado:
y0 = µ
yn+1 = yn + hf xn + h2 , yn + h2 f (xn , yn )
(2.8)
Este método tiene un error de truncatura local:
Rn+1 = y(x + h) − y(x) − hf x + h2 , y(x) + h2 f (x, y(x))
=
↑
notamos y=y(x), f=f(x,y(x))
= (por desarrollo de y(x) y f (x, y)) =
= hy 0 +
= h3
1
h2 00
2 y
6y
000
+
h3 000
6 y
+ O h4 − h T2 f ; h2 , h2 f + O h3 =
− 81 G + O h4 =
h3
6
1
4G
+ fy F + O h4
Luego, el método es de orden 2 por lo que será más preciso (teóricamente).
Método de Euler Modificado:
y0 = µ
yn+1 = yn +
h
2
[f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + hf (xn , yn ))]
(2.9)
El error de truncatura local del método (2.9) es:
Rn+1 = y(x + h) − y(x) −
h
2
[f (x, y(x)) + f (x + h, y + hf (x, y(x)))] =
= . . . = 16 y 000 − 14 G + O h4 =
h3
6
− 12 G + fy F + O h4
Ası́, este método también es de orden 2.
Los métodos anteriores pueden deducirse usando integración numérica para la función f (x, y(x)) en el
intervalo genérico [xn , xn+1 ] sin más que tener en cuenta la igualdad:
Z xn+1
Z xn+1
0
y(xn+1 ) − y(xn ) =
y (t)dt =
f (t, y(t))dt
xn
xn
Más concretamente, (2.8) se obtiene usando la fórmula de I.N. del punto medio y usando Euler con paso
h/2 para aproximar el valor y(xn + h/2) que aparece en la fórmula. Si se usa la fórmula del trapecio y se
aproxima el valor y(xn+1 ) usando el método de Euler con paso h, obtenemos (2.9).