handout optimization

Macro monetaria y financiera:
Equilibrio competitivo en el modelo de generaciones solapadas.
Hernán D. Seoane∗
Universidad Carlos III de Madrid
February 14, 2016
Intro
Seguimos la notación en el capı́tulo 2 de Wallace and McCandless, (1992) “Introduction to Dynamics Macroeconomic Theory. Harvard University Press”.
El equilibrio competitivo
Considere un OLG con agentes con utilidad logarı́tmica
max
ct (t),ct (t+1)
ln (ct (t)) + β ln (ct (t + 1))
con la siguiente restricción de presupuesto del primer periodo (la cual suponemos se mantiene con igualdad)
ct (t) = ωt (t) − l(t)
y de segundo periodo
ct (t + 1) = ωt (t + 1) + r(t)l(t)
∗ Si
encuentra algún error, por favor contácteme por email.
1
Para encontrar la solución del agente, juntamos las 2 restricciones en una restricción de presupuesto intertemporal (en vlaor presente)
ct (t) +
ct (t + 1)
ωt (t + 1)
= ωt (t) +
r(t)
r(t)
donde l(t) ha sido utilizado para juntar ambas restricciones.
Recuerde que buscamos el Equilibrio Competitivo: el conjunto de funciones de polı́tica
ct (t), ct (t + 1) y l(t) y precios r(t), para todo t tal que la solución de las familias es óptima y la
demanda y oferta se igualan en todos los mercados.
Construimos el Lagrangiano
ct (t + 1)
ωt (t + 1)
L = ln (ct (t)) + β ln (ct (t + 1)) − λ ct (t) +
− ωt (t) +
r(t)
r(t)
Las condiciones de primer orden para este problema son
∂L
1
:
−λ=0
∂ct (t) ct (t)
∂L
1
1
:β
−λ
=0
∂ct (t + 1)
ct (t + 1)
r(t)
∂L
ct (t + 1)
ωt (t + 1)
: ct (t) +
− ωt (t) +
=0
∂λ
r(t)
r(t)
Reordenando
λ=
β
ct (t) +
1
ct (t)
r(t)
=λ
ct (t + 1)
ct (t + 1)
ωt (t + 1)
= ωt (t) +
r(t)
r(t)
La ecuación de Euler (de las 2 primeras condiciones)
β
r(t)
1
=
ct (t + 1)
ct (t)
que nos permite encontrar un relación entre consumo en ambos periodos
ct (t) =
ct (t + 1)
βr(t)
2
Utilizando la restricción de presupuesto
ct (t + 1) ct (t + 1)
ωt (t + 1)
+
= ωt (t) +
βr(t)
r(t)
r(t)
Despejando ct (t + 1).
ct (t + 1)
1
1
+
βr(t) r(t)
ct (t + 1)
= ωt (t) +
ωt (t + 1)
r(t)
1+β
ωt (t + 1)
= ωt (t) +
βr(t)
r(t)
Luego, ct (t + 1) es:
ct (t + 1) =
βr(t)
1+β
ωt (t + 1)
ωt (t) +
r(t)
Usando la ecuación de Euler podemos encontrar el consumo del primer periodo
1
ct (t) =
1+β
ωt (t + 1)
ωt (t) +
r(t)
Para encontrar la solución completa del problema del agente, aún tenemos que recuperar el ahorro l(t).
Utilizando la restricción presupuestaria del primer periodo,
ct (t) = ωt (t) − l(t)
l(t) = ωt (t) −
1
1+β
ωt (t + 1)
ωt (t) +
r(t)
Para encontrar el equilibrio, tenemos que hallar los precios r(t), de equilibrio. Este precio nos tiene que
dar equilirio en el mercado de bienes. Recuerde que el comercio sólo puede ocurrir entre agentes de la misma
generación. Los prestamos totales deben ser 0, ya que en cada generación nuestros agentes son todos iguales
N (t)l(t) = 0
que implica que l(t) = 0 en equilibrio. Agregando las restricciones de todos los jóvenes en t:
N (t)ct (t) = N (t)ωt (t) − N (t)l(t)
ct (t) = ωt (t)
3
Reemplazando la función de consumo,
1
1+β
ωt (t) +
ωt (t + 1)
r(t)
r(t) =
ωt (t + 1)
βωt (t)
= ωt (t)
Resolviendo para r(t).
Finalmente, note que el consumo de equilibrio en el primer peiodo es la función de consumo evaluada en
los precios de equilibrio:
ct (t) =
1+β
ωt (t)
1+β
consumo de equilibrio del segundo periodo
ct (t + 1) =
βωt (t + 1)
(ωt (t) + βωt (t))
βωt (t)(1 + β)
o
ct (t + 1) = ωt (t + 1)
En equilibrio, los precios son tal que los agentes quieren consumir sus dotaciones.
4