27
Sea x0 la solución al P M G: Min p · x s.a u(x) ≥ u
⇒
e(p, u) = p · x0 .
Sea x1 la solución al P M G: Min p0 · x s.a u(x) ≥ u
⇒
e(p0 , u) = p0 · x1 .
Sea x2 la solución al P M G: Min p00 · x s.a u(x) ≥ u
⇒
e(p00 , u) = p00 · x2
= [αp + (1 − α)p0 ] · x2
= αp · x2 + (1 − α)p0 · x2 .
Ahora, p · x2 ≥ p · x0 , dado que x0 es la solución al P M G dados los precios p y dado
que ambos problemas tienen la misma restricción.
También, p0 · x2 ≥ p0 · x1 , dado que x1 es la solución al P M G dados los precios p0 y dado
que ambos problemas tienen la misma restricción.
⇒
Multiplicando por α y (1 − α) a ambos lados respectivamente, se tiene:
αp · x2 ≥ αp · x0 y
(1 − α)p0 · x2 ≥ (1 − α)p0 · x1 ;
sumando verticalmente,
αp · x2 + (1 − α)p0 · x2 ≥ αp · x0 + (1 − α)p0 · x1
= αe(p, u) + (1 − α)e(p0 , u).
Como e(p00 , u) = αp · x2 + (1 − α)p0 · x2 ,
e(p00 , u) ≥ αe(p, u) + (1 − α)e(p0 , u).
⇒
4) e(p, u) es continua, ∀p >> 0, ∀u > 0. Esta demostración se encuentra en el Apéndice
matemático de Varian (1992).
Ejercicio 2.6 Verificar que las propiedades de e(p, u) se cumplen para el caso Cobb-Douglas.
Teorema 2.1 (Teorema de la envolvente) Considere un problema de maximización en el
que la función objetivo depende de un parámetro a:
M (a) = max g(x1 , x2 , a) s.a h(x1 , x2 , a) = 0
x1 ,x2
Sea L el Lagrangeano de este problema y sea x∗ la solución de este problema.
⇒
∂M (a)
∂L(x, a)
=
∂a
∂a
x∗
28
CAPÍTULO 2. LOS PROBLEMAS DEL CONSUMIDOR
Nota: Ver una demostración de este teorema en Varian (1992).
Lema 2.1 (Lema de Roy) Sea x(p, m) la función de demanda Marshalliana y sea v(p, m)
la función de utilidad indirecta.
⇒
xi (p, m) =
∂v(p,m)
∂pi
− ∂v(p,m)
∂m
∂v(p, m)
6= 0
∂m
y
∀i = 1, . . . , n siempre que
pi > 0 ∀i,
y
m > 0.
Demostración.
v(p, m) = max u(x) s.a p · x ≤ m
⇒
L = u(x) + λ(m − p · x)
C.P.O.: Teniendo en cuenta el teorema de la envolvente,
∂v
∂L
=
∂pi
∂pi
x∗
∂v
∂L
=
∂m
∂m
.Igualando λ en (1) y (2)
⇒
= −λx∗i ;
(1)
= λ.
(2)
x∗
∂v
=−
∂pi
µ
∂v
∂m
¶
x∗i
⇒
x∗i
=−
∂v
∂pi
∂v
∂m
Lema 2.2 (Lema de Shephard) Si la función de gasto es diferenciable en p y p > 0,
⇒
hi (p, u) =
∂e(p, u)
; ∀i = 1, . . . , n.
∂pi
Demostración.
e(p, u) = min p · x s.a u(x) ≥ u
⇒
L = p · x + λ(u − u(x))
∂e(p, u)
∂L
=
∂pi
∂pi
h∗
= xi
h∗
= h∗i ;
teniendo en cuenta el teorema de la envolvente
⇒
hi (p, u) =
∂e(p, u)
.
∂pi
0
