UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID
PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE)
FÍSICA
Modelo 2012
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
La prueba consta de dos opciones A y B, cada una de las cuales incluye tres cuestiones y dos problemas.
El alumno deberá elegir la opción A o la opción B. Nunca se deben resolver cuestiones o problemas de
opciones distintas. Se podrá hacer uso de calculadora científica no programable.
CALIFICACIÓN: Cada cuestión debidamente justificada y razonada con la solución correcta se
calificará con un máximo de 2 puntos. Cada problema debidamente planteado y desarrollado con la
solución correcta se calificará con un máximo de 2 puntos. En aquellas cuestiones y problemas que
consten de varios apartados, la calificación será la misma para todos ellos.
TIEMPO: Una hora treinta minutos.
OPCIÓN A
Pregunta 1.- Se ha descubierto un planeta esférico de 4100 km de radio y con una aceleración
de la gravedad en su superficie de 7,2 m s‒2.
a) Calcule la masa del planeta.
b) Calcule la energía mínima necesaria que hay que comunicar a un objeto de 3 kg de
masa para lanzarlo desde la superficie del planeta y situarlo a 1000 km de altura de la
superficie, en una órbita circular en torno al mismo.
Dato: Constante de Gravitación G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2.
Solución.
a.
La masa de un planeta se puede calcular conocida su gravedad y su radio teniendo en
cuenta que en su superficie, el peso de un cuerpo es la fuerza con la que el planeta lo atrae.
P = FG
mg = G
M=
M⋅m
R2
; g=G
(
M
R2
7,2 m s − 2 ⋅ 4,1 × 10 6
6,67 × 10 −11
)
; M=
g ⋅ R2
G
2
= 1,81 × 10 24 kg
b.
La energía necesaria para lanzar un satélite desde la superficie de un planeta y situarlo
en órbita, es la diferencia entre la energía mecánica que tiene en la órbita y la que tiene en la
superficie del planeta.
∆E = E Órbita − E (Superficie)
(
)
La energía mecánica de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y su
energía potencial.
1
M⋅m

E m Órbita = E c + E p = mv 2 +  − G

2
R 

Donde R es el radio de la órbita
(
)
Para calcular la velocidad del satélite en la órbita, se iguala la fuerza centrípeta
con la gravitatoria
Fg = Fc
G⋅
M⋅m
R
2
= m⋅
v2
R
⇒
v2 = G ⋅
M
R
Sustituyendo en la expresión de la energía:
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
1
(
)
E m Órbita =
1
M 
M⋅m 1 M⋅m
M⋅m
1 M⋅m
m⋅G
+ − G
−G
=− G
= G
2
R 
R  2
R
R
2
R
En la superficie del planeta, la energía mecánica es únicamente potencial.
M⋅m
E m (Superficie ) = E p = −G
RP
Donde RP es el radio del planeta.
Sustituyendo en la primera expresión se obtiene la energía necesaria para lanzar un
satélite desde la superficie del planeta.
 1
1 M⋅m 
M⋅m
1 
 = −G ⋅ M ⋅ m ⋅ 

∆E = E Órbita − E(Superficie) = − G
−  − G
−
2
R
RP 

 2R R P 
(
)

1
1
∆E = −6,67 × 10 −11 ⋅ 1,81 × 10 24 ⋅ 3 ⋅ 
−
6
4,1 × 10 6
 2 ⋅ 5,1 × 10

 = 5,28 × 10 7 J


Pregunta 2.- Un objeto de 2 kg de masa unido al extremo de un muelle oscila a lo largo del eje
X con una amplitud de 20 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El objeto tarda 9 s
en completar 30 oscilaciones, y en el instante de tiempo t = 0 su posición era xo = +10 cm y su
velocidad positiva. Determine:
a) La velocidad del objeto en el instante t = 1,2 s.
b) La energía cinética máxima del objeto.
Solución.
9
A = 20 cm
T=
= 0,3 s
30
 y = 10 cm = 0,1 m
Si t = 0 : 
v > 0
a.
Para calcular la velocidad del objeto en un instante determinado (t = 1,2 s) es necesario
conocer la ecuación que describe el movimiento.
El objeto realiza un movimiento armónico simple que viene descrito por la ecuación:
y = A sen (ω t + φ o )
2 π 2π 20π rad
Donde A = 20 cm = 0,2 m; ω =
=
=
; y el desfase inicial se calcula con
s
T 0,3
3
los datos de condiciones iniciales.
π

1  φo = 6
Para t = 0: y = 0,1 = 0,2 sen (ω ⋅ 0 + φ o ) : sen φ o = : 
2 φ = 5π
o
6

Las posibles expresiones de la posición son:
π
5π 
 20 π
 20 π
y = 0,2 sen 
t+ 
y = 0,2 sen 
t+

6
6 
 3
 3
El signo de la velocidad para t = 0 nos permite deducir cual de las dos expresiones es la
que corresponde al movimiento
La expresión de la velocidad, es la derivada de la posición respecto del tiempo.
dy d 
π 
20π
π  4π
π
 20π
 20 π
 20 π
=  0,2 sen 
t +   = 0,2
t+ =
t+ 
v=
cos
cos
6
dt dt 
6 
3
6 3
 3
 3
 3
v=
dy d 
5π  
20π
5π  4 π
5π 
 20 π
 20 π
 20 π
=  0,2 sen 
t+
cos
t+
cos
t+
  = 0,2
=

dt dt 
6 
3
6  3
6 
 3
 3
 3
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
2

4π
π
 20 π
 v = 3 cos 3 ⋅ 0 + 6  =


Para t = 0: 
4
π
20
π
5
π


v =
cos
⋅0+
=

3
3
6


•
•
π
 20 π
Posición: y = 0,2 sen 
t+ 
6
 3
4π
π
 20 π
Velocidad: v =
cos
t+ 
3
6
 3
Para t = 1,2: v(t = 1,2 ) =
b.
4π
π
cos > 0
3
6
4π
5π
cos
<0
3
6
4π
π  4π
π
 20 π

cos
⋅ 1,2 +  =
cos 8π +  = 3,6 m s −1
3
6 3
6
 3

Se puede hacer de dos formas distintas:
•
1
mv 2
2
1
E c (máx ) = mv 2máx
2
v = Aω cos(ω t + φ o ) 
 : v máx = Aω
v máx ⇔ cos(ω t + φ o ) = 1
Por definición de energía cinética: E c =
E c (máx ) =
•
1
1
1
m(Aω)2 = mA 2 ω 2 = ⋅ 2 ⋅ 0,2 2
2
2
2
Por conservación de energía. E c (máx ) = E p (max ) =
2
 20 π 
⋅
 = 17,5 J
 3 
1
kA 2
2
m
4π 2 m 4π 2 ⋅ 2
: k=
=
= 877,3 N m −1
2
2
k
T
0,3
1
1
E c (máx ) = E p (max ) = kA 2 = 877,3 ⋅ 0,2 2 = 17,5 J
2
2
T = 2π
Pregunta 3.- Un objeto de 4 cm de altura se sitúa a 6 cm por delante de la superficie cóncava
de un espejo esférico. Si la imagen obtenida tiene 10 cm de altura, es positiva y virtual:
a) ¿Cuál es la distancia focal del espejo?
b) Realice un diagrama de rayos del sistema descrito.
Solución.
a.
La ecuación general de los espejos esféricos y la relación de aumento lateral permiten
plantear un sistema de ecuaciones con el que hallar la distancia focal (f) y la posición de la
imagen (s’).
 1 1 1
 1 1 1
 y = 4 cm
 s ′ + s = f
− 6 + s = f
 s ′ = 15

′
y
=
10
cm


 10

y′
s′
s′
f = −10
M L = = −
 s = −6 cm

=−


y
s
−6
 4
La distancia focal del espejo es de 10 cm.
NOTA: El signo negativo de f es debido al convenio de signos.
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
3
b.
Existen dos posibles formas de realizar el trazado de rayos del sistema:
Pregunta 4.- Al iluminar con luz de frecuencia 8,0×1014 Hz una superficie metálica se
obtienen fotoelectrones con una energía cinética máxima de 1,6×10‒19 J.
a) ¿Cuál es la función de trabajo del metal? Exprese su valor en eV.
b) Determine la longitud de onda mínima de los fotones que producirían fotoelectrones en
dicho material.
Datos: Constante de Planck h = 6,63×10‒34 J s; velocidad de la luz en el vacío c = 3,00×108 m/s; valor
absoluto de la carga del electrón e= 1,6×10‒19 C.
Solución.
Nota: El apartado b de la pregunta no está correctamente enunciado, la longitud de onda y la
energía son inversamente proporcionales, por lo tanto entendemos que lo que se pide es la
longitud de onda máxima de los fotones que producirán fotoelectrones.
a.
Si se hace un balance de energía, se debe cumplir el
principio de conservación, la energía asociada a la radiación se
transforma en trabajo de extracción de los fotoelectrones y en
energía cinética de estos.
E R = We + E c
hf = We + E c
We = hf − E c = 6,63 × 10 −34 ⋅ 8 × 1014 − 1,6 × 10 −19 = 3,7 × 10 −19 J
Para expresarlo en electrón voltio, se divide por el factor de conversión, que es la carga
del electrón en valor absoluto.
3,7 × 10 −19 J
We =
= 2,3 eV
1,6 × 10 −19 J
eV
b.
Para resolver este apartado se parte de un supuesto teórico: los fotoelectrones emitidos
se emiten velocidad nula, y por tanto toda la energía de la radiación se transforma en trabajo de
extracción.
W
3,7 × 10 −19 J
E R = We : hf = We : f = e =
= 5,58 × 1014 s −1
−
34
h
6,63 × 10 J ⋅ s
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
4
Conocida la frecuencia de la radiación luminosa se calcula su longitud de onda.
c 3 × 10 8 m s −1
λ= =
= 5,4 × 10 −7 m
14
−
1
f 5,58 × 10 s
Para que se produzca emisión de electrones, la longitud de onda de la radiación debe ser
inferior a 5,4 × 10 −7 m .
Pregunta 5.- Se disponen tres cargas eléctricas puntuales en los vértices
de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen una longitud L como
indica la figura (L = 1,2 m, q1= q2 = 5 nC, q3= 5 nC).
r
a) Calcule la fuerza total, F , ejercida por las cargas q1 y q2 sobre la
carga q3 , y dibuje el diagrama de fuerzas de la carga q3.
b) ¿Cuál sería el trabajo necesario para llevar la carga q3 desde su
posición actual al punto P de coordenadas x = 1,2 m, y = 1,2 m?
Dato: Constante de la ley de Coulomb K = 9×109 N m2 C‒2.
Solución.
a.
El módulo de la fuerza entre dos cargas se
calcula mediante la Ley de Coulomb:
q ⋅ q′
F=K 2
d
La dirección, la línea que une las cargas, y el
sentido, por ser de signos contrarios, de atracción.
F1 = K
q1 ⋅ q 3
2
L
= 9 × 10 9
5 × 10 −9 ⋅ 5 × 10 −9
1,2
2
= 1,56 × 10 −7 N
r
r
F1 = −1,56 × 10 −7 j N
F2 = K
q2 ⋅ q3
L2
= 9 × 10 9
5 × 10 −9 ⋅ 5 × 10 −9
(
2 1,2
)
2
= 7,81 × 10 −8 N
Por ser un triángulo isósceles rectángulo, el ángulo en valor absoluto es de 45º
r
r
r
F2 = 7,81 × 10 −8 sen 45º i − 7,81 × 10 −8 sen 45º j N
()
r
r
r
La fuerza F a la que se ve sometida la carga q3 es la suma vectorial de F1 y F2 .
r
r
r
r r r
F = F1 + F2 = −1,56 × 10 −7 j + 7,81 × 10 −8 sen 45º i − 7,81 × 10 −8 sen 45º j
(
)
(
)
r
r
r
F = 7,81 × 10 −8 sen 45º i + − 1,56 × 10 −7 − 7,81 × 10 −8 sen 45º j
r
r
r
F = 5,56 × 10 −8 i − 2,11 × 10 −7 j N
F=
(5,56 × 10 ) + (− 2,11 × 10 )
−8 2
α = arctg
Fy
Fx
−7 2
= arctg
= 2,18 × 10 −7 N
− 2,11 × 10 −7
5,56 × 10 −8
≈ −75º
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
5
b.
Por ser un campo conservativo:
W = − ∆E P = −q ⋅ ∆V = −q 3 ⋅ (V4 − V3 )
Siendo V4 el potencial creado por q1 y q2 en el
punto P y V3 el potencial creado por q1 y q2 en la posición
inicial de q3.
q
V=K
d
q1
q2
q
q
; V4 = K 1 + K 2
V3 = K
+K
L
L
2L
2L
Teniendo en cuenta que q1 = q2 ⇒ V3 = V4, por lo tanto ∆V = 0 y el trabajo es nulo.
W = −q ⋅ ∆V = −q 3 ⋅ 0 = 0
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
6
OPCIÓN B
Pregunta 1.- Un satélite artificial está situado en una órbita circular en torno a la Tierra a una
altura de su superficie de 2500 km. Si el satélite tiene una masa de 1100 kg:
a) Calcule la energía cinética del satélite y su energía mecánica total.
b) Calcule el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra.
Datos: Constante de Gravitación G = 6,67×10‒11 N m2 kg‒2; Radio de la Tierra = 6370 km.;
Masa de la Tierra = 5,98×1024 kg.
Solución.
a.
Por definición:
1
mv 2
2
Para calcular la velocidad del satélite en su órbita, se tiene en cuente que para que el
satélite orbite entorno a la Tierra, la suma de todas las fuerzas que áctuan sobre él deben ser
igual a la fuerza centrípeta a la que se ve sometido el satélite.
FG = Fc
Ec =
G
MTm
2
R Orb
=m
MT
v2
; v2 = G
R Orb
R Orb
La energía cinética del satélite en la órbita queda:
MT
1
1 M m 1
5,98 × 10 24 ⋅ 2500
E c = mG
= G T = 6,67 × 10 −11 ⋅
= 2,47 × 1010 J
2
R Orb 2 R Orb 2
(6370 + 2500) × 10 3
La energía mecánica del satélite es la suma de la energía cinética y la energía potencial.
M m
1 M m 
1 M m
E m = E c + E p = G T +  − G T  = − G T = −2,47 × 1010 J
2 R Orb 
R Orb 
2 R Orb
b.
Por definición:
r r
r
L = r × mv
En módulo:
L = r ⋅ mv sen α
Siendo α el ángulo que forma el radio y la velocidad, que sor ser una órbita circular es
de 90º, teniendo en cuenta que la velocidad es tangencial a la trayectoria.
L = r ⋅ mv sen 90º = r ⋅ mv
Teniendo en cuenta que v 2 = G
v= G
MT
R Orb
MT
5,98 × 10 24
= 6,67 × 10 −11 ⋅
= 6705,8 m
3
s
R Orb
8870 × 10
Sustituyendo en la expresión del módulo:
L = r ⋅ mv = 8870 × 10 3 m ⋅ 1100 kg ⋅ 6705,8 m = 6,54 × 1013 kg m 2 s −1
s
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
7
Pregunta 2.- Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100 Hz viaja
a una velocidad de propagación v = 200 m/s en la dirección positiva del eje X y oscila en la
dirección del eje Y. En el instante t = 0 la elongación es máxima y positiva en el punto x = +3 m.
a) Calcule la longitud de onda, , y el número de onda, k, de la onda.
b) Determine la expresión matemática que representa la onda.
Solución.
A = 1,5 m ; f = 100 Hz ; v = 200 m
s
−1
v 200 m s
a.
λ= =
=2m
f
100 s −1
2π 2π
k=
=
= π rad
m
λ
2
b.
La expresión matemática de una onda armónica que se desplaza en el sentido positivo
de x es:
y = A sen (ω t − k x + φ o )
ω = 2 π f = 2π ⋅ 100 = 200π rad
s
y = 1,5 sen (200π t − π x + φ o )
Para calcular la fase inicial se tiene en cuenta que para t = 0; y = A = 1,5 m en x = 3 m.
π
1,5 = 1,5 sen (200π ⋅ 0 − π ⋅ 3 + φ o ) ; sen (φ o − 3π ) = 1 ; φ o − 3π =
2
π
7π
φ o = + 3π =
2
2
La expresión matemática de una onda armónica queda:
7π 

y = 1,5 sen  200π t − π x +

2 

= 5,9×10‒7 m se propaga
por el interior de una fibra óptica de índice de refracción ni = 1,5. Si la fibra óptica tiene un
recubrimiento exterior cuyo índice de refracción es ne = 1.0, determine:
a) La velocidad de propagación y la longitud de onda del rayo en el interior de la fibra
óptica.
b) El ángulo de incidencia mínimo en la pared interna de la fibra para que el rayo que
incida sobre ella no salga a la capa externa.
Pregunta 3.- Un rayo de luz cuya longitud de onda en el vacío es
Dato: Velocidad de la luz en el vacío = 3,00×108 m/s.
Solución.
a.
λ1 =
λ o 5,9 × 10 −7
=
= 3,9 × 10 −7 m λ o ≡ Longitud de onda en el vacío
n1
1,5
v1 =
c 3 × 10 8
=
= 2 × 10 8 m
s
n1
1,5
)
)
Según la Ley de Snell: n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r
)
Al ángulo que produce reflexión total (r = 90º ) se denomina
)
ángulo límite l .
)
) n
1
n 1 ⋅ sen l = n 2 ⋅ sen 90º ; sen l = 2 ⋅ 1 =
= 0,67
n1
1,5
)
l = arcsen 0,67 = 41,8º
b.
()
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
8
Pregunta 4.- En un laboratorio se reciben 100 g de un isótopo desconocido. Transcurridas 2
horas se ha desintegrado el 20 % de la masa inicial del isótopo.
a) Calcule la constante radiactiva y el periodo de semidesintegración del isótopo.
b) Determine la masa que quedará del isótopo original transcurridas 20 horas.
Solución.
m o = 100 g
m(t = 2h ) = 80% m o
a.
La ecuación fundamental de la radioactividad expresa en función de la masa inicial de
núcleos radioactivos (mo) la masa existente (m) transcurrido un tiempo t.
m(t ) = m o ⋅ e − λ t
λ ≡ Constante de desintegración, se expresa en tiempo‒1, representa la probabilidad de que un
determinado núcleo radioactivo se desintegre.
Nota: El signo negativo indica que el número de núcleos radioactivos disminuye con el tiempo.
m(t = 2h ) = m o ⋅ e − λ⋅2
Teniendo en cuenta que m(t = 2h ) = 80% m o = 0,8m o
0,8m o = m o ⋅ e −2 λ ; e −2λ = 0,8
Tomando logaritmos neperianos, se despeja el valor de λ.
Ln e −2λ = Ln 0,8 ; − 2λ = −0,223 ; λ = 0,11 h −1
Periodo de semidesintegración: tiempo necesario para que el número de núcleos
radioactivos iniciales se reduzca a la mitad.
Aplicando la ecuación fundamental en función de las masas y teniendo en cuenta que si
1
m = m o ⇒ t = T1 2 :
2
1
1
− λ⋅T1 2
− λ⋅T1 2
λ⋅T
λ⋅T
mo = mo ⋅ e
; e
= ; e 1 2 = 2 : Ln e 1 2 = Ln 2
2
2
Ln 2 Ln 2
T1 2 =
=
= 6,21 h
λ
0,11
b.
Se aplica ecuación fundamental.
m(t ) = 100 ⋅ e −0,11t
m(t = 20 h ) = 100 ⋅ e −0,11⋅20 = 10,74 g
Pregunta 5.- Se tiene el circuito de la figura en forma de triángulo rectángulo, formado por
una barra conductora vertical que se desliza horizontalmente hacia la derecha con velocidad
constante v = 2,3 m/s sobre dos barras conductoras fijas que forman un ángulo
= 45º.
Perpendicular al plano del circuito hay un campo magnético uniforme y constante B = 0,5 T
cuyo sentido es entrante en el plano del papel. Si en el instante inicial t = 0 la barra se encuentra
en el vértice izquierdo del circuito:
a) Calcule la fuerza electromotriz inducida en el circuito en
el instante de tiempo t = 15 s.
b) Calcule la corriente eléctrica que circula por el circuito
en el instante t = 15 s, si la resistencia eléctrica total del
circuito en ese instante es 5 . Indique el sentido en el
que circula la corriente eléctrica.
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
9
Solución.
Según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida (ε) en un circuito en presencia
a.
de un campo magnético es:
dΦ
ε=−
dt
Φ ≡ Flujo de campo magnético que atraviesa la superficie del circuito.
r r
Φ = B o S = B ⋅ S ⋅ cos α
• B = 0,5 T (constante )
Por ser un triángulo rectángulo isósceles (α = 45º), los catetos son de igual longitud y
esta es función del tiempo (l = v·t).
1
1
1
1
• S = L ⋅ L = L2 = (v ⋅ t )2 = v 2 t 2
2
2
2
2
r
r
r
• α = 180º B y S tienen igual dirección y sentidos opuestos. El sentido de S es saliente
r
y el de B es entrante.
1
1
Φ = B ⋅ S ⋅ cos α = 0,5 ⋅ v 2 t 2 cos 180º = − v 2 t 2
2
4
dΦ
d  1 2 2 1 2 1
ε=−
= −  − v t  = v t = ⋅ 2,3 2 ⋅ 15 = 39,7 v
dt
dt  4
2
 2
b.
Según la ley de Ohm:
I=
V 39,7 v
=
= 7,9 A
R
5Ω
El sentido de la corriente lo determina la ley de Lenz “El sentido de la corriente
inducida sería tal que su flujo se opone a la causa que la produce”. Si la barra conductora se
desplaza en el sentido positivo de x, la intensidad de la corriente inducida I, ha de tener un
sentido tal que la fuerza que actúe sobre el conductor debida a esta corriente, por estar en
r
r
presencia de B , ha de ser opuesta a v .
La regla de la mano derecha, indica que el sentido
de I en el conductor que se desplaza debe ser en la
r
dirección positiva de y + j , por lo tanto el sentido de la
corriente en el circuito será en el sentido horario.
( )
A la misma conclusión se puede llegar teniendo en
cuenta que la fuerza es el producto vectorial de la
velocidad (I) por el campo (B). Si la fuerza debe tener el
r
sentido negativo de x − i , el campo magnético tiene el
r
sentido negativo de z − k , la intensidad deberá tener la
r
dirección positiva de y + j .
( )
( )
( )
Modelo Propuesto por U.C.M. CURSO 2011 − 2012 (L.O.E.)
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