1. INTRODUCCIÓN. OBSERVABILIDAD DE UN SISTEMA:

SISTEMAS ELECTRÓNICOS Y AUTOMÁTICOS
Tema 6
OBSERVABILIDAD
Resumen del tema
1. INTRODUCCIÓN. OBSERVABILIDAD DE UN SISTEMA.
2. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES.
3. SUBESPACIO NO OBSERVABLE.
3.1. Separación del subespacio no observable.
3.2. Puntos no observables.
4. SEPARACIÓN SIMULTÁNEA DE LOS SUBSISTEMAS CONTROLABLE Y OBSERVABLE.
Sistemas Electrónicos y Automáticos
4º Ingeniería Industrial
1. INTRODUCCIÓN. OBSERVABILIDAD DE UN SISTEMA:
Modelo de estado: Establece las relaciones entre la entrada, el estado y la salida.
Controlabilidad: Estudia cómo la entrada repercute sobre la evolución del estado así como las
posibilidades de alcanzar un estado determinado mediante la elección adecuada de la entrada.
Observabilidad de un sistema: Estudia la forma en la que las variaciones en el valor del estado se
manifiestan sobre la salida.
¾ Este concepto es importante porque, en la práctica, la dificultad a la hora de implementar un control
por realimentación del estado es que algunas de las variables de estado no son accesibles para una
medición directa, por lo que es necesario estimar estas variables de estado no medibles para
construir las señales de control.
¾ Esta estimación se debe hacer a través de los valores de la entrada y de la salida del sistema, que
son las variables que siempre se conocen del sistema.
¾ Tales estimaciones son posibles sólo si el sistema es completamente observable.
Temas 6: Observabilidad.
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Ejemplos:
Sistema Observable.
Sistema no observable.
G (s ) =
3 ⎛
1 ⎞
3
⎟=
⎜1 −
s +1⎝ s + 2 ⎠ s + 2
Desde el punto de vista de la relación entre la entrada y la salida, se comporta como un sistema de
primer orden. Conociendo únicamente u(t) e y(t), sólo se podrá detectar una variable de estado.
¾ Sistema no observable.
¾ Una cancelación de un polo con un cero impide la observabilidad.
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2. OBSERVABILIDAD EN SISTEMAS LINEALES INVARIANTES:
• Se dice que un sistema es observable si es posible conocer su estado inicial a partir del
conocimiento de la entrada y de la salida del sistema durante un intervalo de tiempo finito desde
el instante inicial.
¾ Un sistema es observable si cualquier transición del estado afecta a la salida del mismo.
Los sistemas continuos lineales invariantes son observables si la matriz de observabilidad,
definida como:
⎡ C ⎤
⎢ CA ⎥
⎢
⎥
2
P = ⎢ CA ⎥
⎢
⎥
⎢ M ⎥
⎢⎣CAn −1 ⎥⎦
es de rango n (n es el orden del sistema).
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Demostración:
De acuerdo con la solución de la ecuación de estado, cuando partimos de un determinado estado
inicial, ante entrada nula, la evolución del estado es:
(
A (t − t 0 ) r
x (t ) = e
x0
Por lo tanto, la salida ante entrada nula será:
(
A (t − t 0 ) r
y (t ) = Ce
x0
Aplicando el teorema de Cayley-Hamilton:
[
]
r
r
(
y (t ) = Ce A(t −t 0 ) x0 = C r0 (t ) ⋅ I + r1 (t ) ⋅ A + K + rn −1 (t ) ⋅ A n −1 ⋅ x0 =
r
= r0 (t )C + r1 (t )CA + K + rn −1 (t )CA n −1 ⋅ x0
[
]
Si en la matriz P no existen n filas linealmente independientes, sino que sólo hay rp<n, esto significa
que dentro del espacio de dimensión n existe algún vector que es ortogonal a todas las filas de la
matriz P. Si el estado inicial x0 se encuentra sobre dicho vector, entonces:
[
]
r
(
y (t ) = r0 (t )C + r1 (t )CA + K + rn −1 (t )CA n −1 ⋅ x0 = 0
Es decir, el sistema evoluciona con salida nula a partir del estado x0 y, por tanto, es imposible conocer
el estado inicial del sistema a partir de la evolución de la salida Î Sistema no observable.
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Ejemplo 1:
Estudiar la observabilidad de los sistemas:
⎡ x&1 ⎤ ⎡3 0 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⋅ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ ⋅ u
⎢ 2⎥ ⎢
⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0 2 3⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡ x1 ⎤
a.
y = [2 0 0]⋅ ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
1
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0
⎢ x& ⎥ = ⎢ 0
0
1 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ + ⎢⎢0⎥⎥ ⋅ u
⎢ 2⎥ ⎢
⎢⎣ x&3 ⎥⎦ ⎢⎣− 6 − 11 − 6⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
b.
y = [4 5 1] ⋅ ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎡ x&1 ⎤ ⎡3 0 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⋅ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ ⋅ u
⎢ 2⎥ ⎢
⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0 2 3⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡ x1 ⎤
c.
⎡ y1 ⎤ ⎡2 0 0⎤ ⎢ ⎥
⎢ y ⎥ = ⎢0 1 2⎥ ⋅ ⎢ x2 ⎥
⎦ ⎢x ⎥
⎣ 2⎦ ⎣
⎣ 3⎦
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3. SUBESPACIO NO OBSERVABLE.
• Cuando un sistema es no observable, existen algunos puntos del espacio de estado tales que
tomados como estado inicial ante entrada nula, proporcionan una salida del sistema
permanentemente nula (por tanto, no es posible conocer el estado inicial a partir de la entrada y
la salida). Estos puntos se denominan no observables, y forman un subespacio vectorial,
denominado subespacio no observable.
¾ Si el rango de la matriz de observabilidad P es
rP ,
entonces la dimensión del subespacio no observable es
y la dimensión del sistema es n,
n − rP .
¾ Para determinar la base del subespacio no observable, es necesario buscar los n-rP vectores
linealmente independientes que sean ortogonales a todas las filas de la matriz P.
r
P ⋅ x0 = 0
Esta ecuación establece una aplicación entre el espacio de estado y el espacio de salida.
El subespacio no-observable constituye el núcleo de dicha aplicación.
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Ejemplo 2:
Calcular una base del subespacio no observable:
⎡ x&1 ⎤ ⎡3 0 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢0 1 0⎥ ⋅ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ ⋅ u
⎢ 2⎥ ⎢
⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ x&3 ⎥⎦ ⎢⎣0 2 3⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦
⎡ x1 ⎤
a)
y = [0 1 2] ⋅ ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
1
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0
⎢ x& ⎥ = ⎢ 0
0
1 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ + ⎢⎢0⎥⎥ ⋅ u
⎢ 2⎥ ⎢
⎢⎣ x&3 ⎥⎦ ⎢⎣− 6 − 11 − 6⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
b)
y = [4 5 1] ⋅ ⎢⎢ x2 ⎥⎥
⎢⎣ x3 ⎥⎦
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3.1. SEPARACIÓN DEL SUBESPACIO NO OBSERVABLE:
Cuando partimos de un sistema cualquiera:
r
r
x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t )
r
y (t ) = Cx (t ) + Du(t )
Si dicho sistema no es observable, existe alguna variable de estado que está desacoplada de la salida
(la variación de dicha variable de estado no afecta a la salida), y por lo tanto, no es posible determinar
el estado del sistema a partir de la observación de la entrada y de la salida.
En estos casos, es posible encontrar una matriz de transformación T, tal que si se efectúa el cambio de
base:
r
x (t ) = T ⋅ ~
x (t )
La ecuación de estado en el nuevo sistema de referencia queda de la siguiente forma:
~
~
⎡~
xa (t )⎤ ⎡ Ba ⎤
x&a (t )⎤ ⎡ Aaa 0 ⎤ ⎡ ~
⎢ ~& ⎥ = ⎢ ~
~ ⎥ ⎢ ~ ⎥ + ⎢ ~ ⎥u (t )
⎣ xb (t )⎦ ⎣ Aba Abb ⎦ ⎣ xb (t )⎦ ⎣ Bb ⎦
x (t )⎤
⎡~
r
~
y (t ) = Ca 0 ⎢ ~a ⎥
⎣ xb (t )⎦
[
]
Donde el vector de estado se ha descompuesto en dos partes.
Temas 6: Observabilidad.
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~
1. El subsistema formado por las variables xa (t ) , cuya dinámica viene representada por las matrices
~
~
Aaa y C a , es el subespacio observable, por tanto, su dimensión será igual al rango de P (rP ) .
2. El resto de variables xb (t ) forman el subespacio no observable, de dimensión n − rP . Como se
puede observar en la ecuación de arriba, estas variables no afectan a la salida ni a las variables
~
xa (t ) , por lo tanto, su comportamiento está totalmente desacoplado de la salida y no pueden ser
estimadas a partir del conocimiento de la salida del sistema.
~
La matriz T que realiza esta transformación se construye de la siguiente forma:
T = [Ta | Tb ]
Donde Tb es una base cualquiera del subespacio no observable ( n − rP vectores columna) y Ta está
formado por rP vectores columna cualesquiera que sean linealmente independientes entre sí y con los
de la matriz Tb .
-1
Otro método alternativo, consiste en construir la matriz T a partir de:
Donde
va
está formado por
rP
filas linealmente independientes de P y
independientes entre sí y con las de
Temas 6: Observabilidad.
⎡v ⎤
T −1 = ⎢ a ⎥
⎣ vb ⎦
vb por n − rp
filas linealmente
va .
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Gráficamente, el sistema se ha descompuesto en dos subsistemas, S1, observable y S2, no observable.
~
La salida está totalmente desconectada de las variables de estado de S2, xb (t ) .
Ejemplo 3:
Realizar la separación en los subespacios observable y no-observable de los sistemas del ejemplo 2.
Temas 6: Observabilidad.
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3.2. PUNTOS NO OBSERVABLES:
La salida del sistema ante entrada nula viene dada por:
(
A (t − t 0 ) r
y (t ) = Ce
x0
El hecho de que exista un valor del estado inicial
r
x0 ≠ 0,
tal que:
r
(
y0 (t ) = Ce A(t −t0 ) x0 = 0, ∀t > t 0
Hace que el sistema no sea observable. Si se tiene otro estado inicial
r
(
y1 (t ) = Ce A(t −t0 ) x1 ≠ 0
r
x1
tal que:
Entonces, por linealidad, si el estado inicial es la suma de los dos anteriores, la salida será:
r
(
(
(
(
A (t − t 0 ) r
y (t ) = Ce
(x0 + x1 ) = y0 (t ) + y1 (t ) = y1 (t )
Por lo que observando la salida del sistema no puede determinarse si el estado inicial era
r r
x0 + x1 .
r
x1
o
¾ Si existe algún punto no observable, conociendo únicamente la salida del sistema no se
puede distinguir si el estado inicial era el punto
observable.
Temas 6: Observabilidad.
r
x1
o si era suma de éste un punto no
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Por tanto, si el sistema es no-observable hay dos tipos de puntos:
r
-
Puntos como x0 que, ante entrada nula, generan salida nula cuando se toman como estado
inicial Î Puntos no observables.
-
Puntos como x1 que, ante entrada nula, no dan salida nula al ser tomados como estado inicial,
pero que no son observables, puesto que la misma salida puede haber sido generada por la
superposición con un punto no observable.
r
La existencia de puntos no-observables da lugar a que ningún punto del espacio de estados sea
observable y, por tanto, a que el sistema no sea observable.
Ejemplo 4:
⎡ x&1 ⎤ ⎡2 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1⎤
⎢ x& ⎥ = ⎢0 − 2⎥ ⋅ ⎢ x ⎥ + ⎢0⎥ ⋅ u
⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
⎣ 2⎦ ⎣
Dado el sistema:
⎡ x1 ⎤
y = [2 − 1]⋅ ⎢ ⎥
⎣ x2 ⎦
r ⎡ 3⎤
Indicar si los siguientes puntos son observables: xa = ⎢ ⎥;
⎣6 ⎦
r ⎡1⎤ r ⎡4⎤
xb = ⎢ ⎥; xc = ⎢ ⎥.
⎣0 ⎦
⎣6 ⎦
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4. SEPARACIÓN SIMULTÁNEA DE LOS SUBSISTEMAS CONTROLABLE
Y OBSERVABLE.
Al trabajar con un sistema, según se ha estudiado en los puntos anteriores, únicamente tiene sentido
trabajar con la parte controlable, que es la que se puede modificar con la entrada. Asimismo, también
se debe trabajar únicamente con la parte observable, que es la que se puede estimar a partir de la
observación de la salida.
El objetivo de este apartado consiste en separar simultáneamente la parte observable de la noobservable y la controlable de la no controlable. El objetivo es extraer las variables que son a la vez
controlables y observables.
Cuando partimos de un sistema cualquiera, lineal e invariante:
r
r
x& (t ) = Ax (t ) + Bu(t )
r
y (t ) = Cx (t ) + Du(t )
Es posible encontrar una matriz de transformación T, tal que si se efectúa el cambio de base:
r
x (t ) = T ⋅ ~
x (t )
La ecuación de estado en el nuevo sistema de referencia queda de la siguiente forma:
Temas 6: Observabilidad.
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~
~
xa (t )⎤ ⎡ Ba ⎤
Aac 0 ⎤ ⎡ ~
⎢~ ⎥
~
~ ⎥⎢
xb (t )⎥⎥ ⎢ Bb ⎥
Abc Abd ⎥ ⎢ ~
+
u (t )
~
xc (t )⎥ ⎢ 0 ⎥
0 ⎥⎢ ~
Acc
⎥ ⎢ ⎥
~
~ ⎥⎢
xd (t )⎦ ⎣⎢ 0 ⎦⎥
0 Adc Add ⎦⎥ ⎣ ~
xa (t )⎤
⎡~
⎥
⎢~
(
)
x
t
~
b
0 Cc 0 ⎢ ~ ⎥
⎢ xc (t )⎥
⎢~ ⎥
⎣ xd (t )⎦
~
⎡~
x&a (t )⎤ ⎡ Aaa
⎢ ~& ⎥ ⎢ ~
⎢ xb (t )⎥ = ⎢ Aba
⎢~
x&c (t )⎥ ⎢ 0
⎢ ~& ⎥ ⎢
⎣⎢ xd (t )⎦⎥ ⎣⎢ 0
[
r
~
y (t ) = Ca
0
~
Abb
0
]
Donde el vector de estado se ha descompuesto en cuatro partes.
~
1. El subsistema formado por las variables xa (t ) , cuya dinámica viene representada por las
matrices:
{A~
aa
~ ~
, Ba , Ca
}
es un subsistema controlable y observable.
Temas 6: Observabilidad.
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~
~
2. El subsistema formado por las variables {xa (t ), xb (t )}, caracterizado por las matrices:
~
⎧⎪⎡ A
aa
⎨⎢ ~
A
⎪⎩⎣ ba
~
0 ⎤ ⎡ Ba ⎤ ~
~ ⎥ , ⎢ ~ ⎥ , Ca
Abb ⎦ ⎣ Bb ⎦
[
⎫⎪
0⎬
⎪⎭
]
es un subsistema controlable. El resto de variables, {xc (t ), xd (t )} forman el subsistema no
controlable. Su comportamiento está desacoplado de las entradas.
~
~
~
~
3. El subsistema formado por las variables {xa (t ), xc (t )} , representado por las matrices:
~
⎧⎪⎡ A
aa
⎨⎢
⎪⎩⎣ 0
~
~
Aac ⎤ ⎡ Ba ⎤ ~
~ ⎥ , ⎢ ⎥ , Ca
Acc ⎦ ⎣ 0 ⎦
[
~ ⎪⎫
Cc ⎬
⎪⎭
]
es un subsistema observable. El resto de variables,
observable, y su evolución no influye sobre las salidas.
{~xb (t ), ~xd (t )}
forman el subsistema no
4. El subsistema formado por las variables {xd (t )}, es el subsistema no controlable y no
observable simultáneamente. Su comportamiento está desacoplado de las entradas y de las
salidas.
~
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Gráficamente, la separación en subsistemas se representa como:
• Existe un subsistema Sa que es controlable y observable. Le afectan las entradas y afecta a la
salida.
• Existe un subsistema Sb que junto con el anterior, forma un subsistema controlable, pero está
separado porque Sb es no-observable. No afecta a la salida.
• Existe un subsistema Sc que, junto con el primero, es observable, pero está separado porque Sc
es no controlable. No le afecta la entrada.
• Existe un subsistema Sd que no pertenece a la parte controlable ni a la observable. Se
encuentra totalmente desconectado de la entrada y de la salida.
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La matriz T que realiza esta transformación se construye de la siguiente forma:
T = [Ta | Tb | Tc | Td ]
Donde:
• Ta y Tb separan la parte controlable, por tanto, son la base del subespacio controlable.
• Ta y Tc separan la parte observable, por tanto, Tb y Td son la base del subespacio noobservable.
• Tb debe ser entonces una base de la intersección del subespacio controlable y del subespacio
no-observable.
Desde el punto de vista práctico, las distintas submatrices de T se deben calcular en el siguiente orden:
1. Tb : Base del subespacio de intersección entre el subsistema no-observable y el subsistema
controlable.
2. Ta : Conjunto de vectores columna que conjuntamente con Tb forman la base del subespacio
controlable.
3. Td : Conjunto de vectores columna que conjuntamente con Tb forman la base del subespacio noobservable.
4. Tc : Conjunto de vectores columna linealmente independientes a todos los demás, de forma que
exista la inversa de T.
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Ejemplo 5:
Realizar la separación de Kalman de los siguientes sistemas:
⎡0 1 0⎤
⎡1⎤
r&
r
⎢
⎥
x (t ) = ⎢− 1 2 − 1⎥ ⋅ x (t ) + ⎢⎢1⎥⎥ ⋅ u (t )
⎢⎣ 1 − 1 0 ⎥⎦
⎢⎣0⎥⎦
a)
r
y (t ) = [0 0 1]⋅ x (t )
9⎤
⎡2⎤
⎢3⎥
⎥
1 17 ⎥ r
⋅ x (t ) + ⎢ ⎥ ⋅ u (t )
⎢ − 2⎥
2 − 9⎥
⎢ ⎥
⎥
2 − 6⎦
⎣ − 1⎦
b)
r
y (t ) = [5 0 1 4]⋅ x (t )
5
⎡4
⎢ 4 12
r
x& (t ) = ⎢
⎢− 2 − 5
⎢
⎣ 1 −5
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