1.3.2 Fórmulas para calcular los valores promedios y desviaciones cuadráticas De la interpretación estadística de la función de ondas De Broglie e imposibilidad de medición simultanea exacta de coordenada y el momento lineal conjugado surge necesidad de reemplazar los parámetros clásicos por las observables que se caracterizan por sus valores esperados (promedios) e incertidumbres (dispersiones). Para calcular los valores esperados e incertidumbres a cada observable le ponen en correspondencia un operador. Por ejemplo, si un parámetro clásico L L r, p es una función del vector de posición r x, y, z y del momento lineal p px , p y , pz , entonces según regla establecida en la sección 1.2.5 el operador correspondiente a esta observable es: Lˆ L r, i ; x , y , z , (1) Como el valor esperado de la observable está asociado con un valor promedio de un parámetro físico, que obligatoriamente debe ser un valor real, entonces según el teorema 1 del párrafo anterior es conveniente sugerir que los operadores asociados a las observables deben ser auto-adjuntos. El valor esperado de una observable A cuyo operador  es auto-adjunto es real. El valor esperado de una observable definida mediante la relación (1) en un estado con función de onda r,t se calcula como: L Lˆ r, t * L r, i r, t dr (2) Podemos conseguir más información sobre el sistema si calcularemos no solo el valor esperado de la observable sino también la dispersión (incertidumbre) L2 , siendo la nueva observable L L L . El operador correspondiente a esta observable es: Lˆ Lˆ L L r, i L Como el cuadrado desviación es (3) L2 L L (4) 2 Utilizando la regla general para calcular valores esperados tenemos: L2 Lˆ2 r, t * Lˆ2 r, t dr (5) De esta manera si se conoce el operador L̂ entonces uno puede calcular el valor esperado del cuadrado de incertidumbre- Según el Teorema 2 del párrafo anterior para un operador L̂ autoadjunto es no negativo. Si el operador L̂ es autoadjunto entonces el operador L̂ también es autoadjunto y por eso L2 0 (6) Este resultado es muy importante ya que nos permite hallar un criterio para establecer si una observable se puede medir con absoluta exactitud o no. Según (6) esto es posible solamente para los estados con la función de onda r,t , para la cual L2 0 .