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Observabilidad
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Introducción
Definiciones
Observabilidad en sistemas lineales
Observabilidad en sistemas lineales e
invariantes.
– Subespacio no-observable
– Subsistema observable
– Separación del subsistema
controlable y observable
U.P.M.-DISAM
P. Campoy
Control en el Espacio de Estado
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Introducción
• Concepto: "observar" el estado del
sistema a partir de su relación
entrada-salida.
u(t)
y(t)
Sistema
x(t)
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Observabilidad: ejemplo
R1C1
u
R2C2
R1
R2
C1
C2
uc2
x(t)
uc1
y=x1-x2
• ¿se puede conocer x(t) conocido y(t)=x1(t)-x2(t) ?
• en el supuesto R1C1≠R2 C2: ¿se puede conocer x(t0) conocido
y(τ)=x1(τ)-x2(τ) para t0<τ≤t? o bien ¿cada estado inicial
distinto genera una salida distinta?
• ¿y si y(t)=3x1(t)-5x2(t)?
• ¿y para R1C1=R2C2? ¿existen estados en los que y(t)=0?
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Definiciones: (1/1)
observabilidad de un punto del estado
• x0 es observalable en [to,t1], si y sólo si partiendo de
x(t0)=x0, el conocimiento de la entrada u(τ) y la salida
y(τ) en el intervalo to ≤ τ ≤t1, permite asegurar que
x(t0)=x0
• x0 es observalable, si y sólo si para todo instante
inicial t0 existe un intervalo finito [to,t1], tal que x0 es
observable en [to,t1].
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Definiciones: (1/2)
observabilidad de un sistema
• Un sistema es observalable en [to,t1], si y
sólo si todos los puntos del espacio de
estado son observalables en [to,t1],
• Un sistema es observalable si y sólo si
todos los puntos del espacio de estado
son observalables
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Observabilidad de sistemas
lineales: introducción
• En un sistema lineal e invariante:
t
y( t ) = C( t )x( t ) + D( t )u( t ) = C( t )!( t, t 0 )x 0 + " C( t )!( t,# )B(# )u(# )d# + D( t )u( t )
t0
agrupando términos que no dependen de x0:
t
(
y( t ) # y( t ) " $ C( t )!( t,% )B(% )u(% )d% + D( t )u( t ) = C( t )!( t, t 0 )x 0
t0
con lo que el objetivo de la observabilidad es el cálculo de
(
x0 a partir de y( t ) o salida del sistema ante entrada nula
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Observabilidad de sistemas
lineales: teorema
• Dado el sistema:
x& ( t ) = A( t )x( t ) + B( t )u( t )
y( t ) = C( t )x( t ) + D( t )u( t )
es observalable en [to,t1] si y solo si el
gramiano de observabilidad V(to,t1) es
invertible, definido como:
t1
V( t1, t 0 ) = ! " T (# , t 0 )C T (# )C(# )"(# , t 0 )d#
t0
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Observabilidad de sistemas
lineales: demostración
∃ V-1(t1,t0) ⇔ sistema observalable en [t0,t1]
• suficiente (⇒) :
t1
(
x 0 = V ( t1, t 0 ) ! " T ($ , t 0 )C T ($ )y($ )d$
#1
t0
 por
tanto se puede calcular el estado inicial x0
• necesaria (⇐):
si no existe V-1(t1,t0) entonces partiendo de x(t0) igual al
el vector propio de V asociado al valor propio 0, se
(
obtiene: y( t1 ) = 0
 por
tanto existen estados cuya salida es
indistinguible con la salida desde el origen
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Observabilidad de sistemas
lineales: estados no-observables
• definición: estados no-observables son aquellos a
partir de los cuales su salida es
permanentemente nula ante entrada nula
(
y( t ) = 0
!t > t 0
• si existen estados no-observables, ningún estado
del sistema es observable
• si el sistema no es observable, existen estados
no-observables
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Observabilidad de sistemas
lineales e invariantes: teorema
• Dado el sistema:
x& ( t ) = Ax( t ) + Bu( t )
y( t ) = Cx( t ) + Du( t )
es observable si y solo si la matriz P es de
rango máximo (n).
& C #
$ CA !
$
!
P = $ CA 2 !
$
!
$ M !
$%CA n'1 !"
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Observabilidad de sistemas lineales
e invariantes: demostración
rango (P) = n ⇔ sistema es observable
• necesario (⇐):
(
y (t) = [" 0 (t)C + "1 (t)CA + ...+ " n#1 (t)CA n#1 ] x 0
por
tanto si el rango(P)<n, existen estados
iniciales x0, tales que y( ( t ) = 0
! • suficiente (⇒):
si no es observable existen vectores ⊥ a P

por tanto si no es observable el rango(P) < n
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Sistemas lineales invariantes:
Suespacio no-observable
• Todos los puntos no-observables forman
un subespacio, denominado subespacio noobservable
• El subespacio no-observable esta generado
por el nucleo de P (vectores x/ Px=0) de
dimensión n-rP, siendo rP=rango(P)
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Subsistema no-observable: lema
Dado un sistema lineal e invariante con dimensión
del subespacio no-observable n-rP<n, existe una
matriz de cambio de base T tal que:
~
&A
~
'1
A = T AT = $ ~ aa
% A ba
0 #
~ !
A
bb "
C˜ = CT = [C˜ a
~
0]
~
en el que el subsistema (A aa Ca ) de dimensión rPxrP
!
es observable
siendo T=[TaTb], donde Tb es una base del subespacio
no-observable del sistema
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Subsistema observable:
representación gráfica
D
u(t)
~
&A
~
A = $ ~ aa
% A ba
C˜ = [C˜ a
0 #
!
~
A bb "
0]
~
Ba
∫
Observable
No observable
~
Bb
~
xa
~
Ca
y(t)
~
A aa
~
A ab
∫
~
xb
~
A bb
!
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Separación del subsistema
controlable y observable: lema
Dado un sistema lineal e invariante con rango(Q)=rQ y
rango(P)=rP, existe una matriz de cambio de base T tal que:
~
&A
aa
$~
A
~
'1
ba
A = T AT = $
$ 0
$
% 0
0
~
A bb
0
0
donde:
~
&&A
aa
• el subsistema $% $% A~ ba
~
A
ac
~
A
bc
~
A
cc
~
A dc
0 #
!
~
A bd ! ~
B = T '1B =
0 !
~ !
A
dd "
~ #
0 # &B
~
a
!, $ ~ !, Ca
~
A bb " %Bb "
[
~
]
C˜ = CT = [C˜ a
0 C˜ c
0]
dimensión rQxrQ es controlable
~ # &B
~ #
A
~
~ #
ac
a
!, $ !, Ca Cc ! de dimensión rPxrP es observable
~
0
A
0
"
cc " %
%%
"
~
~ ,B
~ ,C
A
subsistema aa a a
es controlable y observable
• el subsistema &$ &$ A aa
• el
#
0!
" de
~ #
&B
a
$~ !
B
$ b!
$0!
$ !
%!0 "
[
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[
]
]
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Separación del subsistema
controlable y observable: matriz T
siendo la matriz del cambio de base:
T=[TaTb Tc Td]
donde:
Ta Tb es una base del subespacio controlable
Tb Td es una base del subespacio no-observable
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Separación del subsistema
controlable y observable: gráfica
~
&A
aa
$~
A
~
ba
A=$
$ 0
$
% 0
0
~
A bb
0
0
~
A
ac
~
A
bc
~
A
cc
~
A
0 #
!
~
A bd !
0 !
~ !
A
dd "
dc
~ #
&B
a
$~ !
B
~ = $ b!
B
$0!
$ !
%0"
~ = CT = C
~
C
a
[
Controlable y observable
~
xa ~
~~
∫
BB
Ca
a a
~
Bb
~
0 C
c
U.P.M.-DISAM
0
]
P. Campoy
Observable
∫
~
A aa
Controlable
u(t)
∫
~
Cc
~
A cc
~
A ac
~
A ba
~
xc
y(t)
~
A dc
~
A bc
~
xb
∫
~
A bb
~
xd
~
A dd
~
A bd
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