Controlabilidad

Controlabilidad
Tres características importantes en sistemas de control
1. Controlabilidad.
2. Observabilidad.
3. Estabilidad.
Nota. Para poder controlar un sistema sin problemas se requiere al
menos dos de estas características.
Controlabilidad y observabilidad
Controlabilidad. Un sistema es controlable si existe un control que
transfiera el estado de x (t0 ) a cualquier otro estado.
Observabilidad.
Un sistema es observable si es posible determinar el
estado inicial x (t0 ) a través de mediciones de la salida.
I
La existencia de una solución completa depende de si el
sistema es controlable y observable.
I
La solución puede no existir si el sistema es no controlable.
Excurso
Figure 1: Rudolph E. Kálmán (n. 1930)
I
Kálmán introdujo ambos conceptos.
Desviación: Teorema Cayley–Hamilton
I
Sea la matriz A ∈ Rn×n y con ecuación caracterísitca
1. |λI − A| = λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an = 0
I
Entonces A satisface su propia ecuación
2. An + a1 An−1 + · · · + an−1 A + an I = 0.
Resultado importante
I
Se puede definir un polinomio matricial tal que
3. e At = α0 (t)I + α1 (t)A + α2 (t)A2 + αm−1 (t)Am−1
donde m ≤ n.
Definición formal de controlabilidad completa en sistemas
LTI continuos
I
Sea el sistema
4. ẋ = Ax + Bu
donde x ∈ Rn×n es el vector del estado, u ∈ R es la señal de
control.
I
Se dice que el sistema (4) es controlable en t = t0 , si es posible
construir una señal de control sin restricciones que transfiera un
estado inicial a cualquier estado final en un intervalo finito
t0 ≤ t ≤ t1 .
Definición formal (II)
I
I
Sin perder generalidad, se asume que x(t1 ) = 0 y t0 = 0.
Entonces, aplicando la solución de x(t) para t = t1
5. x(t1 ) = e At1 x(0) +
I
R t1 A(t −τ )
1
Bu(τ ) dτ = 0
0 e
Lo que es igual
6. x(0) = −
R t1 −Aτ
Bu(τ ) dτ
0 e
Definición formal (III)
I
Tomando en cuenta (3) se tiene que
7. e −Aτ =
I
Pn−1
k=0 αk (τ )A
k
Combinando (6) y (7) se tiene
8. x(0) = −
k R t1
k=0 A B 0
Pn−1
αk (τ )u(τ ) dτ
Definición formal (IV)
I
Si se define
9. βk =
I
R t1
0
αk (τ )u(τ ) dτ
Entonces
10. x(0) = −
Pn−1
k
k=0 A Bβk

11. x(0) = − B AB · · ·


An−1 B 


β0
β1
..
.
βn−1






Condición de controlabilidad completa
I
Sea la matriz
12. C = B AB · · ·
I
An−1 B
La matriz C debe ser de rango pleno (no singular).
Controlabilidad de la salida
I
En ocasiones lo que interesa es controlar la salida.
13. Definición. Un sistema es de salida controlable completamente
si es posible construir un vector de control sin restricciones
u(t) que transfiera cualquier salida inicial y(t0 ) a cualquier
salida final y(t1 ) en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 .
Controlabilidad de la salida (II)
14. Teorema. Sea el sistema
ẋ = Ax + Bu
y = Cx + Du,
donde x ∈ Rn , u ∈ Rr y y ∈ Rm . El sistema es de salida
completamente controlable si y sólo si la matriz m × (n + 1)r
CB CAB CA2 B · · ·
es de rango m.
CAn−1 B D
Sistema no controlable
Un sistema se dice no controlable si tiene un subsistema que esta
desconectado de la entrada.
Estabilizabilidad
15. Definición. Un sistema parcialmente controlable se dice
estabilizable si los modos no controlables son estables y los
modos no estables son controlables.
16. Ejemplo.
!
ẋ =
!
1 0
1
u
x+
0
0 −1