Material de estudio MAT-436 Control de Ecuaciones en Derivadas

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática
Semestre I, 2016
Prof: E. Cerpa
Material de estudio
MAT-436 Control de Ecuaciones en Derivadas Parciales
Pregunta 1 (Pregunta Certamen 2014. Prof: E.
Considere el siguiente sistema

 yt (t, x) − yxx (t, x) = 0,
yx (t, 0) = 0, yx (t, π) = h(t),
(1)

y(0, x) = y0 (x),
Cerpa y A. Mercado)
(t, x) ∈ (0, T ) × (0, π),
t ∈ (0, T ),
x ∈ (0, π),
en donde y representa el estado, h el control e y0 la condición inicial.
(a) Muestre que h lleva y0 a 0 en tiempo t = T si y solo si
Z
(2)
∀ϕT ,
−
π
Z
h(t)ϕ(t, π)dt
y0 (x)ϕ(0, x)dx =
0
T
0
en donde ϕ es la solución de

(t, x) ∈ (0, T ) × (0, π),
 −ϕt (t, x) − ϕxx (t, x) = 0,
ϕx (t, 0) = 0, ϕx (t, π) = 0, t ∈ (0, T ),
(3)

ϕ(T, x) = ϕT (x),
x ∈ (0, π).
(b) Plantee (2) como un Problema de Momentos. ¿Se puede resolver?
(c) Si para estudiar la controlabilidad a cero de (1), usáramos la dualidad con la observabilidad, ¿qué desigualdad debiésemos probar?
Pregunta 2 (Pregunta Certamen 2014. Prof: E. Cerpa y A. Mercado)
Estudiaremos el siguiente problema de control

ytt (t, x) + yxxxx (t, x) = 0,
(t, x) ∈ (0, T ) × (0, 2),



y(t, 0) = 0, y(t, 2) = 0,
t ∈ (0, T ),
(4)
yx (t, 0) = h1 (t), yx (t, 2) = h2 (t), t ∈ (0, T ),



y(0, x) = y0 (x), yt (0, x) = y1
x ∈ (0, 2),
en donde (y, yt ) representa el estado, (h1 , h2 ) el control e (y0 , y1 ) la condición inicial. Suponga
que si h1 , h2 ∈ L2 (0, T ), y0 ∈ L2 (0, 2) e y1 ∈ H −2 (0, 2), entonces existe una única solución
(y, yt ) ∈ C([0, T ]; L2 × H −2 (0, 2)).
(a) Plantee el problema de control exacto y expréselo como la sobreyectividad de un operador
lineal.
(b) Usando dualidad, escriba la desigualdad de observabilidad que es equivalente con la
controlabilidad exacta de (4).
(c) En el caso h1 = h2 = 0, y0 ∈ H02 (0, 2), y1 ∈ L2 (0, 2), realice una estimación de energía
que permita ver que el sistema es conservativo.
(d) En el caso (c) utilice un multiplicador de la forma q(x)yx (t, x) para demostrar un resultado de regularidad escondida asociado a la observabilidad.
(e) Plantee el problema de minimización que permite encontrar el control (h1 , h2 ) que lleva
el sistema desde la condición inicial (0, 0) a una condición final (yT 0 , yT 1 ).
Pregunta 3 (Pregunta Examen Calificación 2014. Prof: E. Cerpa y A. Mercado)
Considere la ecuación:

zt + zxxxx + λzxx = 0, (t, x) ∈ (0, T ) × (0, L),



zxx (t, 0) = u1 (t), zxx (t, L) = 0, t ∈ (0, T ),
(5)
z

xxx (t, 0) = u2 (t), zxxx (t, L) = 0, t ∈ (0, T ),


z(0, x) = z0 (x), x ∈ (0, L).
1. Determinar el sistema adjunto de (5).
2. Demostrar que la ecuación (5) es controllable a cero en tiempo T > 0 en L2 (0, L) si y solo
si para todo z0 ∈ L2 (0, L) existen (u1 , u2 ) ∈ L2 (0, T )2 tales que para todo qT ∈ L2 (0, L)
se cumple
Z
L
Z
0
Z
u1 (t)qx (t, 0) dt −
z0 (x)q(0, x) dx =
(6)
T
0
T
u2 (t)q(t, 0) dt,
0
donde q = q(t, x) es la única solución del sistema adjunto.
3. Probar que el sistema (5) no es controlable con un solo control: Si u2 = 0, entonces existe
z0 ∈ L2 tal que no existe u1 control
√
√ z0 .
R L a cero de
Sugerencia: Suponiendo que 0 z0 (x) cos ( λx) dx 6= 0, tomar qT (x) = cos ( λx) en el
sistema adjunto.
Pregunta 4 (Pregunta Examen Calificación. Prof: E. Cerpa y A. Mercado)
Sea T > 0, Ω = (0, 1) y Q = Ω × (0, T ). Considere el problema de control del siguiente sistema
acoplado


ut − uxx + u = v + h1 1ω1 ,
(x, t) ∈ Q,





(x, t) ∈ Q,
vt − vxx + v = u + h2 1ω2 ,
(7)
u(0, t) = 0, u(1, t) = 0,
t ∈ (0, T ),


v(0, t) = 0, v(1, t) = 0,
t ∈ (0, T ),



u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), x ∈ Ω,
0
0
donde ω1 , ω2 son abiertos no vacíos de Ω y h1 , h2 son controles.
Asuma que para todo u0 , v0 ∈ L2 (Ω), para todo h1 ∈ L2 (0, T ; L2 (ω1 )), h2 ∈ L2 (0, T ; L2 (ω2 ))
el sistema (7) posee una única solución (u, v) ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)2 ).
El objetivo de este problema es probar la controlabilidad a cero del sistema (7).
Asuma la siguiente desigualdad de observabilidad tipo Carleman para la ecuación del calor:
Si ω ⊂ Ω es un abierto no vacío, entonces existe ϕ ∈ C 2 (Q), λ0 > 0 y C > 0, tal que para todo
λ > λ0
Z
ZZ
ZZ
2
3
2λϕ
2
(8)
|y(x, T )| dx + λ
e |y| dxdt + λ
e2λϕ |yx |2 dxdt
Ω
Q
Q
ZZ
2λϕ
≤C
e
2
Z
T
Z
|yt − yxx | dxdt + C
Q
0
e2λϕ |y|2 dxdt
ω
para toda y ∈ L2 (Q) tal que y(0, t) = y(1, t) = 0 y (yt − yxx ) ∈ L2 (Q).
(a) Determine el sistema adjunto de (7).
(b) Encuentre una desiguladad de observabilidad para el sistema adjunto, que caracterice la
controlabilidad a cero del sistema (7).
(c) Demostrar la controlabilidad del sistema (7), (bajo condiciones adecuadas, que debe establecer, para ω1 , ω2 ).
Sugerencia: usar la desiguladad (8) de manera adecuada.
Atención: la función peso ϕ y la constante C en (8) dependen de ω.
(d) Discuta sobre la posibilidad de controlar con un solo control, por ejemplo tomando h2 = 0
en (7).